2013一维射影变换.ppt

1、一、一维射影坐标系,定义. 在射影直线 l 上取定一个有序三点组 P*、P0、E，则称 P*, P0, E 为射影坐标系。直线 l 上任意一点 P 的非齐次射影坐标规定为,其中P0 叫原点，E叫单位点.,在这坐标系下， P0的非齐次射影坐标为0，E的非齐次射影坐标为1， P*没有非齐次射影坐标。,一维基本形的射影变换,如果把P*看成是无穷远点，则非齐次射影坐标就变成非齐次仿射坐标，此时,如果把P*看成是无穷远点，且P0E=1，则非齐次射影坐标就变成非齐次笛卡儿坐标，此时 x=P0P。,有了非齐次射影坐标系，就可定义齐次射影坐标系，P0的齐次射影坐标为(0,1)，E的齐次射影坐标为(1,1)，并

2、规定P*的齐次坐标系为(1,0)。,二、一维射影变换,1、一维射影变换的定义,定义. 一个一维基本形到自身的射影对应称为一维射影变换.,即若 : ,，且=，则称为一维基本形,上的一个一维射影变换。,一个一维射影变换可由不超过3次透视对应得到.,一维射影变换是特殊的射影对应.,一维基本形的射影变换,定理. 在一维非齐次射影坐标系下，交比的表达式为,注记. 交比的这个表达式与它在一维非齐次笛卡儿坐标系下的表达式一样。,2、一维射影变换的代数表示,(1). 坐标表示,其中对应点的坐标是关于一维基本形上的同一坐标系取得的.,一维基本形的射影变换,b. 齐次坐标表示,其中对应点的坐标是关于一维基本形上的

3、同一坐标系取得的.,a. 非齐次坐标表示,定理 . 一维基本形上的一个变换为射影变换其对应元素的参数, 满足一个双线性方程,即在一维基本形上取定基元素AB, 则对应元素为A+B A+B.,一维基本形的射影变换,(2). 参数表示,三、一维射影变换的分类与性质,1、一维射影变换的分类,设有射影变换,若存在,使a02+(b+c)0+d=0, 则称A+0B为的一个不变元素.,定理. 在实-复射影平面上, 任一个一维射影变换至少有一个不变元素. 非恒同的一维射影变换至多有两个相异的不变元素.,证明 在(*)中, 令=. 则有一维射影变换的不变元素方程,立刻可得结论. 据此可得一维射影变换的分类：,一维

4、基本形的射影变换,2、一维射影变换的性质,(1). 双曲型、椭圆型射影变换,定理. 对于双曲、椭圆型射影变换，任一对相异的对应元素与两个不变元素的交比为定值，该定值称为双曲、椭圆型射影变换的特征不变量.,证明 设X, Y为两个不变元素, PP为任一对相异的对应元素. 设X, Y, P, P的坐标依次为x, y, x+y, x+y. 则这四元素的参数依次为0, , 1, . 于是,从而,常数。,一维基本形的射影变换,(2). 抛物型射影变换,定理. 抛物型射影变换的不变元参数与任一对相异的对应元素的参数, 满足,证明.,一维基本形的射影变换,要证明的式子等价于,令射影变换式为,所以是方程,的重根

5、，因此有,因为是自对应元的参数，,代入射影对应式得,即,于是,是常数。,例1 设A, B, C为相异的共线点且有,求证：X=P.,证明. 因为,A B C P Q R,B C A Q R X,(AB, CP) =,(BC, AQ) =,(CA, BR) =,(AB, CX) .,所以,从而有X=P.,一维基本形的射影变换,例2 设P, P与 Q, Q为点列l(P)上射影变换的两对对应点, E是不变点, V, V是过E的直线l上任意两点. PVPV=P, QVQV=Q. 求证：PQl=F为另一个不变点.,证明. 如图有,所以, E, F为两个不变点.,一维基本形的射影变换,思考. 已知P, P; Q, Q为点列l(P)上双曲型射影变换的两对相异的对应点， E为一个不变点, 如何作的另一个不变点F？,例3. 设点列l(P)上射影变换为抛物型的, E是不变点, P, P为一对相异的对应点, 且(P)=R. 求证：(EP, PR)= 1.,证明. 代数法.