数学归纳法经典例题详解

1、范例1。用数学归纳法证明。.证明：n=1时左，右，左=右，等式成立。假设如果n=k，则等式成立。.N=k 1时。这表明当n=k 1时，方程也成立。如上所述，等式成立了。范例2 .什么自然数N，等式：A1 2 A2 3 A3.NAN=N (N1) (N2)牙齿成立，有能证明你结论的等差数列an牙齿吗？解决方案：分别赋予N=1，2，3等式。而且，理解a1=6、a2=9、a3=12、d=3。因此，有一个等差数列an=3n 3的牙齿，当N=1，2，3时，已知等式成立。下面用数学归纳法证明等差数列an=3n 3牙齿，对于大于3的自然数，等式A1 2 A2 3 A3.NAN=N (N1) (N2)牙齿都成

2、立。因为启动值已确认，所以可以确认第二步。假设N=k，则等式成立。也就是说a1 2 a2 3 a3.kak=k (k1) (k2)那么，当n=k 1时，a1 2 a2 3 a3.kak (k1) ak1=k(k 1)(k 2) (k 1)3(k 1) 3=(k 1)(k2 2k 3k 6)=(k 1)(k 2)(k 3)=(k 1)(k 1) 1(k 1) 2也就是说，当n=k 1时，它也存在。如上所述，an=3n 3等差数列，所有自然数N，等式A1 2 A2 3 A3.可以看出NAN=N (N1) (N2)牙齿都成立。范例3 .不等式证明(N-N-N).证明： n=1时左=1，右=2。左右，

3、不等式成立。假设n=k，不等式成立。N=k 1时，也就是说，如果n=k 1，那么不等式就成立了。如，所示，原始不等式对任意自然数n成立。范例4 .解决方法：(1)当时左、右、命题成立。(2)假设当时的命题成立，而且，当时，左边。常识表明，当时的命题也成立。根据(1)(2)，命题对所有正整数都成立。范例5 .用数学归纳法证明：所有大于1的自然数N，不等式成立。分析：当时左=，右，左，不等式成立。假设时，不平等成立。而且，当时，而且，时，不平等也成立。知道对于所有大于1的自然数N，不等式是成立的。范例6 .如果不等式对所有正整数N成立，求正整数A的最大值并证明你的结论。分析：导入，是的，是的，还有

4、，所以，以下是用数学归纳法证明的。而且，(1)当时的结论证明是正确的(2)假设时，那时，在那里而且，因为，所以，所以，立刻，结论也成立了。(1)(2)表明，都有。因此，a的最大值为25。*示例7。已知序列an满足a1=0、a2=1且nn时，an2=an1 an。验证：序列an中的4m 1项目(m证明：当m=1时，可以用a4 m1=a5=a4 a3=(a3 a2)(a2 a1)=a2 a1 a2 a2 a1=3除以3。当m=k时，a4k 1可除以3，当n=k 1时，A4(k 1) 1=a4k 5=a4k 4 a4k 3=a4k 3 a4k 2 a4k 2 a4k 1=a4k 2 a4k 1 a4k 2 a4k 2 a4k 1=3a4k 2 2a4k 1假设A4k 1可以被3整除，3a4k 2可以被3整除，3a4k 2 2a4k