新定义数列求解差策略

1、新定义数列求解策略1、高考考情:以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一个热点,考查频次较高.2、命题形式:常见的有新定义、新规则等.3、求解策略：（1）准确转化:解决数列新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,将题目所给定义转化成题目要求的形式,切忌同已有概念或定义相混淆.（2）方法选取:对于数列新定义问题,搞清定义是关键,仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意,从而找到恰当的解决方法.课前预习：1、若数列满足 (为常数),则称数列为“调和数列”.已知正项数列为“调和数列”,且=90,则的最大值是 。【解析】由已知得bn为等差数列,且b4+b6=20,又bn0,所以b4b6

2、100,当且仅当b4=b6时等号成立.变式、若数列满足为非零数列，则称数列为“放飞”数列。已知正项数列为“放飞”数列，且，则的最小值是 。变式：依题意可得，则数列为等比数列.又，则.，当且仅当即该数列为常数列时取等号.2、定义运算符号:“”,这个符号表示若干个数相乘.例如,可将123n记作.记i,其中 为数列 中的第项.(1)若,则=.(2)若 ,则=.【解析】(1)an=2n-1,则a1=1,a2=3,a3=5,a4=7,所以T4=1357=105.（2）例题：1、设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H数列”.(1)若数列的前n项和(N),证明: 是“H数列”;(2

3、)设 是等差数列,其首项,公差.若 是“H数列”,求的值；解：（1）证明：= ，=（n），又=2= ，（n）。存在m=n+1使得（2）=1+（n-1）d ，若是“H数列”则对任意的正整数n,总存在正整数m,使得 。=1+（m-1）d成立。化简得m= +1+，且d0 ，又m ， ，d，且为整数。2、已知两个无穷数列an，bn分别满足|an+1-an|=2， ，且a1=1，b1=-1.(1) 若数列an，bn都为递增数列，求数列an，bn的通项公式.(2) 若数列cn满足：存在唯一的正整数r(rN*)，使得cr+1cr，称数列cn为“梦r数列”.设数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn.若数列a

4、n为“梦5数列”，求Sn.若an为“梦r1数列”，bn为“梦r2数列”，是否存在正整数m，使得Sm+1=Tm?若存在，求m的最大值；若不存在，请说明理由.【思维引导】(1) (2) (3) 【规范解答】(1) 因为数列an，bn都为递增数列，所以an+1-an=2，b2=-2b1，bn+2=2bn+1，nN*，所以an=2n-1，bn=4分(2) 因为数列an满足：存在唯一的正整数r=5，使得ar+17，在数列an中，(Sm+1)max=1+3+(2m+1)=(m+1)2，而在数列bn中，bm必然为正，否则Tm=-1+b2+(-2m-1)-1+21+2m-2+(-2m-1)=-30(m7)，所

5、以dm(m7)为递增数列，且d70进而cm(m7)为递增数列，而c80，所以(Tm)min(Sm)max，即m614分当m=6时，构造：an为1，3，1，3，5，7，9，bn为-1，2，4，8，-16，32，64，此时r1=2，r2=4，所以mmax=6，对应的r1=2，r2=416分3、若数列中不超过的项数恰为（），则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.（1）已知，且，写出、；（2）已知，且，求的前项和；（3）已知，且（），若数列中，是公差为（）的等差数列，且，求的值及的值.解：（1），则 ；，则， ，则， 3分（2）为偶数时，则，则；为奇数时，则，则； 5分为偶数时，

6、则；为奇数时，则； 8分（3）依题意：，设，即数列中，不超过的项恰有项，所以，同理：即故由得，为正整数 ， 10分当时， ， 不合题意，舍去；当时， ， 不合题意，舍去；当时， ，适合题意，12分此时， 为整数 或， 14分当时， 无解当时， 无解当时， 当时， 无解 或综上：，或 16分 备用：若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为 “等比源数列”。（1）已知数列中，。求数列的通项公式；试判断数列是否为“等比源数列”，并证明你的结论。（2）已知数列为等差数列，且.求证：为“等比源数列”【答案】（1）；略；（2）略【命题立意】本题旨在考查数列的概念、等差数列、等比数列的的通项公式

7、与求和公式、不等式的求解等基本性质考查学生创新意识难度较大【解析】（1）由an+12an1，得an+112(an1)，且a111， 所以数列an1是首项为1，公比为2的等比数列2分 所以an1=2n-1 所以，数列an的通项公式为a n2n-1+14分 数列an不是“等比源数列”用反证法证明如下： 假设数列an是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak (mnk)按一定次序排列构成等比数列 因为an2n-1+1，所以amanak 7分 所以an2amak，得 (2n-1+1)2(2m-1+1)(2k-1+1)，即22n-m-1+2n-m+12k-12k-m1 又mnk，m，n，kN*， 所以

8、2nm11，nm+11，k11，km1 所以22n-m-1+2n-m+12k-12k-m为偶数，与22n-m-1+2n-m+12k-12k-m1矛盾 所以，数列an中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列 综上可得，数列an不是“等比源数列” 10分 （2）不妨设等差数列an的公差d0 当d0时，等差数列an为非零常数数列，数列an为“等比源数列” 当d0时，因为anZ，则d1，且dZ，所以数列an中必有一项am0 为了使得an为“等比源数列”， 只需要an中存在第n项，第k项(mnk)，使得an2amak成立， 即am+(nm)d2amam+(km)d，即(nm)2am+(nm)dam(

9、km)成立13分 当nam+m，k2am+amd+m时，上式成立所以an中存在am，an，ak成等比数列 所以，数列an为“等比源数列”16分当堂反馈：1、已知数列an的前n项和Sn=(-1)nn，若对任意正整数n，(an+1-p)(an-p)0恒成立，则实数p的取值范围是. 6. (-1，3)【解析】当n=1时，a1=S1=-1；当n2时，an=Sn-Sn-1=(-1)n(2n-1)，当n=1时，a1=-1也符合此式，所以an=(-1)n(2n-1).当n为奇数时，an0an+1，由不等式(an+1-p)(an-p)0可得，1-2n=anpan+1=2n+1对于任意的n为奇数恒成立，故-1p0an+1，由不等式(an+1-p)(an-p)0可得，-2n-1=an+1pan=2n-1对于任意的n为偶数恒成立，故-5p3，综上，p(-1，3).2、若数列满足，则称数列为凹数列。已知等差数列的公差为，且数列为凹数列，则的取值范围是 。2. 3、