三江--活页作业答案

1、 1 活页课外作业部分活页课外作业部分 力学 习题 1 （质点运动学） 、已知质点做直线运动，其坐标 = ，式中 c，k 均为常量，试求该质 点的速度和加速度。 解：由已知条件可得质点的瞬时速度 = d d = = 质点的瞬时加速度 = d d = d d = 2 = 2 2、一质点的运动方程 = (10 52) + 10求 t=1s 时刻质点的： （1）位置矢量 的大小； （2）速度的大小； （3）加速度的大小。 解： （1）位置矢量的大小 | = (10 52)2+ 1002|=1= 100 1002+ 254+ 1002|=1= 55(m) （2）先求出质点的速度分量，再求出速度的大小

2、= d d = d d (10 52) = 10 = d d = d d (10) = 10 (m/s) 所以 | = 2 + 2|=1 = (10)2+ 102|=1= 102(m/s) （3）先求出质点的加速度分量，再求出加速度的大小 = dv d = 10 (m/s2) = dv d = 0 (m/s2) 所以 | = 2 + 2 = 10 (m/s2) 3、一物体做如图所示的斜抛运动，测得其在轨道的 A 点处速度大小为 v，速度 方向与水平方向的夹角为 0 30。则该物体在 A 点切向加速度的大小 t a=1 2 g， 轨 道的曲率半径 232 3 。 解：物体斜抛运动时只收到重力作用

3、，切向加速度 = sin30= 1 2 法向加速度 2 = cos30= 3 2 由 = 2 可得 = 2 = 232 3 4、 已知质点在直线上运动， 其速度 = ， 式中 b 为一常量， 且 t =0 时， = 0， 试求： （1）该质点的坐标随时间的变化关系； （2）加速度随坐标的变化关系。 解： （1）因为 = d d = 所以有 d = d d = 0 d 0 1 2 ( 2 0 2) = = 2 + 0 2 （2）利用瞬时加速度公式可知 = d d = d( ) d = 2 d d = 2 所以加速度 = 2 = 2 3 *5、一质点沿半径为 R=0.10m 的圆周运动，其转动方程

4、为 = 2 + 2(rad)，求： （1）质点在第一秒末的角速度和角加速度； （2）质点在第一秒末的速度、第一 秒末的总加速度。 解： （1）质点的角速度 = d d = 2，t=1 时 =2(rad/s) 质点的角加速度 = d d = 2，t=1 时 =2(rad/s2) （2）质点的速度 = = 0.2，t=1 时 v=0.2(m/s) 质点的加速度 = = 0.2(m/s2 ) 3 = 2 或= R 2 = 0.42 当 t=1 时 = 0.2+ 0.4 力学 习题 2 （牛顿运动定律） 1、一段路面水平的公路，转弯处轨道半径为 R。轮胎与路面间的摩擦系数为 ， 要使汽车不致侧向打滑，

5、汽车在该处的行驶速度（C） (A) 不得小于 (B) 必须等于 (C) 不得大于 (D) 还应由汽车的质量 m 决定 解：汽车不侧向打滑，此时摩擦力大于等于向心力 2 2、一质量为 m=45.0kg 的物体，由地面以0= 60m/s 的速度竖直向上发射，物体 受到的空气阻力 f=kv (k=0.0352)，求物体发射到最大高度所需时间。 解：建立竖直向上的 y 轴，物体受到重力和空气阻力，根据牛顿运动第二定律 d d = ( + ) 1 ( + ) d = d 1 + d 0 0 = d 0 ln(1 + 0 ) = = 1278.4 ln(1.0047) = 6.11 (s) 3、工地上有一

6、吊车，上吊质量 A 为 100kg，B 为 200kg 的水泥板，忽略钢丝绳 和金属框的质量，问吊车以1= 10m/s2的加速度吊起时，钢丝绳受到的作用力 为多大？A 对 B 的作用力多大？若工地上只有一根承载 4 103N 的钢丝绳，起吊 的最大加速度为多少？ 解：设 A、B 之间的作用力为 N，钢丝的作用力为 F， 建立向上的 y 轴 = = = (+ )( + ) （1）F=300 20=6000(N) （2）物体 B 对 A 的作用力N = ( + ) = 2000(N) 所以 A 对 B 的作用力为-2000(N) （3）起吊的最大加速度 4 = + = 4000 300 10 =

7、3.3(m/s2) 4、一质量为 1000T 的列车，以0= 30m/s的速度在水平的铁轨上行驶，制动后 受到的阻力 f=bv，设 b=6000N s/m，问列车在离站多远开始制动？ 解： 沿列车前进方向建立 x 轴， 开始制动时为原点， 列车在水平方向只受到阻力， 所以在水平方向有 d d = d d d = d d 0 0 = d 0 所以 0= = 0 = 1000 103 30 6000 = 5000(m) 5、一质量可忽略的滑轮的两边分别挂有质量为、的小球，静止时高度 比高0，设 ，问由静止释放到两者处于同一水平面的时间为多少？ 下落时绳子中的张力为多少？ 解：坐标系、受力分析如图，

8、设受到绳子的张力为 T1，受 到绳子的张力为 T2。 设、的加速度大小为 a，分别进行受力分析可得 1= 2 = 滑轮质量可忽略，所以不考虑滑轮的转动惯量，T1=T2。 所以 = + 因为 1 2 0= 1 2 2 =0 = ( + ) 0 ( ) 下落时绳子中的张力 1= ( ) = + = 2 + 力学 习题 3 （牛顿运动定律及其应用） 1、质量为 10kg 的质点在力 F=120t+40(N)的作用下沿 x 轴运动。在 t=0 时质点 Y 5 位于0= 5.0m处，速度为0= 6/。求：质点在任意时刻的速度和位置。 解：根据牛顿第二定律可知 m d d = 120 + 40 因为 m=

9、10kg 所以 d d = 12 + 4 d 0 = (12 + 4) 0 d = 0+ 62+ 4 = 62+ 4 + 6 (m/s) 任意时刻质点的速度 = d d dx=vdt d 0 = (62+ 4 + 6) 0 d = 23+ 22+ 6 + 5(m) 2、一球形容器落入水中，刚接触水面时的速度为 0 v，设此容器受到的浮力与重 力相等，而水的阻力 f=-bv（b 为常数） ，求： （1）速度与时间的关系， （2）位置 与时间的关系。 解：建立竖直向下的 x 轴 （1）根据牛顿第二定律 = = d d = 所以 d 0 = d 0 积分解得 = 0 （2）位置与时间的关系由 d d

10、 = 可知 d d = 0 所以 d x 0 = 0 d 0 6 = 0 (1 ) 3、在高空有一质量为 m=5kg 的小球由静止落下，受到的空气阻力正比于它的速 度。比例系数 = 1.5N s m1，求（1）该物体落下的最大速度； （2）小球落 下 10s 后的速度。 解： （1）在竖直方向小球受到重力和空气阻力，建立竖直向下的 y 轴，根据牛顿 第二定律 = m d d 最大速度时 = 即 = 0 所以 = = 5 9.8 1.5 = 32.7(m/s) （2）改写运动方程，设 10s 时速度为 v： d = ( ) d d 0 = d 10 0 ln( )| 0 = 10 = 10 =

11、(1 10 ) = (1 3) = 31(m/s) 4、(1)有一半径为 R 的公路拐弯处，根据一般的车速0设计成外高内低的坡度， 问即使在摩擦系数为零时。汽车也不侧向滑动的坡度倾角为多大？(2)若拐弯处 为平地，圆弧半径为 R，最大速度为0，路面的摩擦系数 至少多大？ 解： （1）对汽车进行受力分析，汽车不侧向滑动，水平方向受力平衡 sin = 0 2 cos = 所以 tan = 0 2 可以得出 = arctan 0 2 或tan1 0 2 （2）拐弯处汽车受到的摩擦力大于等于向心力，汽车才不发生滑动 7 0 2 0 2 力学 习题 4 （动量定理） 1、一辆运载矿砂的列车以0的速度从矿

12、砂漏斗下匀速通过，设矿砂从漏斗漏出 的量为每秒0kg，忽略摩擦和阻力，问列车需多大的牵引力才能保证以速度0 继续前行？ 解：设 t 时刻列车的质量为 m，速度为0，t+dt 时刻列车的质量为( + 0d)， 速度为0 由动量守恒定律 d = 00d 所以列车的牵引力 = 00 2、正三角形水平光滑轨道 ABC 中有一质量为 m，速度为v的小球经过 A 点时 速度大小不变，作用时间 t=0.1s，求小球受到轨道的作用力。 解：设小球在 t 时间内由速度变为，动量该变量 = = 所以 = 2cos30= 3 利用动量定律 = = = 3 0.1 = 103 所以小球受到轨道的平均作用力为103，方

13、向向下。 *3、水平面上一根截面半径 r =10cm 的水管在某处有一个半径为 8m 的圆弧沿 原先的流进的垂直方向流去，若管中水流的速度 v=2m/s，问水对管子的作用 力。 解： 设在 dt 时间内流出 （流入） 水管水的质量d = d 由 dm 的动量的改变量计算出管子对水的作用力的冲量 d = d( ) = 2( )d 所以 = 2( ) 因为 = 2，所以 | = 22= 2 1000 0.12 22 177.6(N) 则水对管子的作用力大小为 177.6N，方向与管子给水的力相反，即指向左上方 45 。 4、 一宇航员正在空间站外面进行维修工作。 起初， 他沿着空间站以1.00m

14、s1的 速度运动。后来，他需要改变运动的方向 90 ，并且将速度增加到2.00m s1。 求： （1） 使运动作这样的改变宇航员所需要的冲量的大小和方向。（假设宇航员、 8 太空服及推进器的总质量为 100kg） （2）若推进器提供的推动力为 50N，宇航员 完成这样的运动改变至少需要多长时间？ 解： （1）利用动量定律有 = = 冲量的大小 | = 1 2 + 2 2 = 1005 224 (Ns) 冲量的方向 tan = 2 = tan12 = 63.43 = 180 = 116 的方向与成 116 夹角。 （2）F=50N，由动量定律 = 1005 所以 = 25(s) = 4.47(s

15、) 力学 习题 5 （动能定理） 1、质量为1和2的两个物体具有相同的动量。欲使它们停下来，外力对它们做 的功之比为 W1:W2=2:1；若它们具有相同的动能，欲使它们停下来，外力的 冲量之比为 I1:I2=1:2。 解： （1）因为 m1v1=m2v2所以 1:2= 1 2 11 2:1 2 22 2 = 1 1 : 1 2 = 2:1 (2)因为 1 2 11 2 = 1 2 22 2所以 11:22=1 2 11 2:1 2 22 2 = 1:2 2、 质量为1和2的两物体在摩擦系数为 的水平地面上运动。 若它们的动能相 等。则从同一地点出发，它们经过的路程之比为 S1:S2=2:1；若

16、它们的动量相 等，从同一时间出发，它们经过的时间之比为 t1:t2=2:1。 解： （1）因为 m1gS1=m2gS2所以 S1:S2=m2:m1 （2）因为 m1gt1=m2gt2所以 t1:t2=m2:m1 3、 一质量为 m 的质点沿一半径为 R 的圆作圆周运动， 其法向加速度= 4（ 为常数） ，求作用在该质点上的合外力的功率。 （提示： = d d ） 解：法向加速度= 2 所以 2 = 4 9 2= 4 = 1 2 2= 1 2 4 所以 = d d = 23 4、有一质量 m=10kg 的木块，放置在一摩擦系数为 =0.1 的水平木板上。一质量 0= 100g的子弹，以水平速度0

17、= 200m/s打入此木块中，求（1）木块受打击 后的速度（2）木块在木板上滑行的距离。 解： （1）子弹打入木块后木块的速度可根据动量定律解得 00= (0+ ) = 00 ( 0+ ) = 0.1 200 10.1 = 1.98(m/s) （2）子弹打入木块后的总动能 = 1 2 ( + 0)2= ( 00)2 2( + 0) 由动能定理：W=-E 即： ( + 0) = ( 00)2 2( + 0) 所以 = ( 00)2 2( + 0)2 = (0.1 200)2 2 0.1 10.12 9.8 = 2(m) 5、一质量为 m 的质点，系在细绳的一端，绳的另一端固定在水平面上。此质点

18、在粗糙的水平面上作半径为 R 的圆周运动。 若质点的初速度为0。 当它运动一周 时，其速度为0 2 。求（1）质点运动一周摩擦力作的功； （2）滑动摩擦系数； （3） 静止前质点运动了多少圈？ 解： （1）由动能定理，质点运动一圈摩擦力所做功 = 2 1= 1 2 (0 2 4 0 2) = 3 8 0 2 （2）摩擦力所做的功= = 2 2 = 3 8 0 2 所以 = 30 2 16 （3）设质点运动 n 圈后静止，由动能定理可知 10 = 1 2 0 2 所以 = 1 2 0 2 3 8 0 2 = 4 3 所以静止前质点运动了 4/3 圈 力学 习题 6 （守恒定律） 1、一半径为 R

19、 的光滑半球面固定于水平地面上。今使一质量为 m 的小滑块从球 面顶点处无初速滑下，如图所示。试求（1）当小滑块下滑到与竖直方向夹角为 时（此时小滑块还未脱离半球面） ，小滑块受到半球面支持力 N 的大小； （2） 小滑块刚刚脱离半球面时的速度大小。 解： （1）滑块滑到与竖直方向夹角为 时，设速度为 v， 对小滑块进行受力分 析，结合机械能守恒可列出方程组 cos = 2 1 2 2= (1 cos) 解得 = cos 2(1 cos) = 3cos 2 （2）小滑块刚刚脱离半球面时 N=0，设小滑块与竖直方向夹角为 3 2 = 0 = 2 3 1 2 2= (1 cos) = (1 2 3

20、) =2 3 小滑块的速度大小为2 3 2、 一高射炮炮身的质量为m=1000kg， 炮筒的仰角为=60 ， 放置在摩擦系数=0.1 轨道上。 当它发射质量为0=10kg 炮弹后， 炮身在轨道上后退的距离 S=0.125m。 求炮弹射出时相对于炮身的速度0。 解：设炮车的速度为 u，炮弹相对于大地的速度为 + 0cos 由动量守恒： + 0( + 0cos) = 0 所以 = 00 + 0 cos 由动能定理： 11 = 1 2 2 = 1 2 ( 00 + 0) 2 cos2 所以 0= + 0 0cos 2 = 1010 2 10 0.25 = 101(m/s) 3、质量为 m 的弹丸 A

21、，穿过如图所示的摆锤 B 后速率由 v 减少了二分之一。已 知摆锤的质量为，摆线长度为 l，求： （1）摆锤 B 上摆的初速度； （2）如果摆 锤能在竖直平面内完成一个完整的圆周运动，弹丸速率 v 的最小值应为多少？ 解：(1)设摆锤 B 上摆的初速度为，根据动量守恒可得 = + 1 2 所以 = 2 (2) 摆锤能在竖直平面内完成一个完整的圆周运动， 要求摆 锤在最高点时向心力大于等于重力，设摆锤在最高点时速度为 2 所以摆锤在最高点最小速度= 由机械能守恒得 1 2 2= 2 + 1 2 2 所以 2= 4 + = 5 代入第一问结果可得 = 2 5 4、在水平的桌面上，质量为 m 的小球

22、以速度0与另一相同质量静止的小球发 生完全弹性碰撞。 试证明在一般情况下， 两球碰撞以后将互成直角方向分开。（提 示：用动量守恒矢量式表示后计算） 。 解： 设碰撞后小球速度分别为1、2 动量守恒0= 1+ 2 两边消去 m 同时平方得到 0 2 = 1 2 + 2 2 + 212 (1) 小球发生完全弹性碰撞，能量守恒 O l v v/2 B 12 1 2 0 2 = 1 2 1 2 + 1 2 2 2 0 2 = 1 2 + 2 2 (2) 由（1） （2）两式可得1 2= 0，故1 2 力学 习题 7 （刚体的转动惯量 转动定律） 1、一电唱机的转盘以 =1.6rad/s 的转速匀速转动

23、，求： （1）与轴相距 r =15cm 的 转盘上的一点 P 的线速度； （2）法向加速度； （3）若电唱机断电后，转盘在 t =15.0s 时停止转动，转盘在停止前的平均角加速度。 解： （1）线速度 = = 0.24(m/s) （2）法向加速度 = 2= 0.384(m/s2 ) （3）平均角加速度 = = = 0.107(rad/s2) 2、一质量为 m、长为 l 的均匀杆，一端有一质量为 m 的小球，它们一起绕其另 一端的垂直轴转动。求该系统的转动惯量。 解：系统的转动惯量由均匀杆转动惯量和小球转动惯量组成 = 1 3 2+ 2= 4 3 2 3、如图所示，两个完全相同的小球嵌在一质量

24、为 4m，半径为 R 的圆盘的边缘， 可绕 z 轴转动。z 轴与圆盘垂直，且过圆盘的中心，圆盘的直径比小球的直径大 得多。假设小球的质量为 m，求系统的转动惯量。 解：系统的转动惯量由圆盘转动惯量和两个小球转动惯量组成 = 1 2 (4)2+ 22= 42 *4、已质量为 m=200kg 的圆木，半径0=20cm，从一斜坡上作无滑动的滚动，设 木头质量均匀，求滚动时的转动惯量。 解： 圆木无滑动的滚动可视为绕圆心的转动加绕接触点的合运动，将圆木视为有 厚度的圆盘，由平行轴定理 = + 2= 1 2 0 2 + 0 2 = 3 2 0 2 = 3 2 200 (0.2)2= 12(kg m2 )

25、 5、质量为 m、半径为 R 的定滑轮，可绕其光滑水平轴 O 转动，如图所示。定滑 轮的轮缘绕有一轻绳， 绳的下端挂一质量为0的物体， 它由静止开始下降， 设绳 与滑轮之间不打滑。求： （1）滑轮转动的角加速度； （2）t 时刻物体0下降的速 度。 解： （1）设轻绳中的张力为 T，根据刚体的转动定律和牛顿第二定律列出如下 方程组 m4 z mm R 13 0 = 0 = = 0 = 0 0 1 2 2 = 02 所以 = 20 ( + 20) = = 20 + 20 （2）t 时刻物体0下降的速度 = = 20 + 20 力学 习题 8 （转动定律 转动动能定理） 1、通风机的风轮在开始计时

26、时刻的角速度0= 100(1/s)，空气的阻力矩与角 速度的平方成正比， 比例系数 c=0.32， 经过 10s 后， 风轮的转速为20(1/s)， 求： （1）风轮相对于轴的转动惯量（2）计时开始后 10s 内，风轮一共转了多少圈。 解：(1)由转动定律： = d d = 2 d 2 = d 10 0 0 ( 1 )|0 = 10 1 0 1 = 10 所以 = 0 10c 0 = 10002 20 0.32 80 = 250.0(kg m2 ) (2)由式子 = d d = 2可得 d d d = 2 d 因为 = 所以有 d = d d 0 = d 0 14 所以 = ln 0 = 2

27、= 2 ln5 = 201(圈) 2、有一个质量为 m 半径为 R 的定滑轮两边分别挂着质量为1、2的重物，静 止时高度差为 h，若1= = 22，h=9.8m。问由静止释放到两物处于同一高 度的时间（定滑轮的转动惯量为 = 1 2 2） 。 解：对两个重物分别进行受力分析，用隔离法： 1 1 = 1 2 2 = 2 ( 1 2) = = = 1 2 2 由+可得 (1 2) (1 2) = (1+ 2) 所以 ( 1 2) 1 2 2 = (1+ 2 ) 2 2 22 = 322 解得 = 4 和 = 4 两物处于同一高度1下降 2 2 = 1 2 2 t = = 2(s) 3、质量为 0.

28、5kg、长为 0.40m 的均匀细棒，可绕过棒的一端且和棒垂直的水平轴 在竖直平面内转动。 现将棒放在水平位置， 然后任其下落。 求： （1）当棒转过 60 时的角加速度；（2） 此过程中重力矩所做的功；（3） 下落到竖直位置时的角速度。 解： 棒绕一端转动的转动惯量 = 1 3 2 棒转过 60 时重力产生的力矩 = 2 cos60 = 1 4 根据刚体转动定律 = 所以 15 = = 3 4 = 18.4(rad/s2) 重力矩做功 = 2 1 = 1 2 3 0 cos = 1 2 sin 3 = 3 4 = 0.85 (J) 重力矩做功 = 1 2 由刚体的转动动能定理： 1 2 2=

29、 = 2 = 1 3 2 =3 = 8.57(rad/s) 力学 习题 9 （角动量及角动量定理 角动量守恒） 1、一半径为 R 的转台可绕通过其中心的竖直轴转动。假设转轴固定且光滑，转 动惯量为 J。有一个质量为 m 的人站在转台的中心开始时转台以匀角速度0转 动，随后，此人沿半径方向向外走去。当人到达转台的边缘时，转台的角速度为 （D） （A）0 （B） 2 0 （C） (+)2 0 （D） +2 0 解：设人到达转台的边缘时，转台的角速度为 ， 根据角动量守恒 0= + 2 = + 2 0 2、一位溜冰者伸开双臂以 1.0rad/s 绕身体中心轴转动，此时她的转动惯量为 1.33kg m

30、2。 为了增加转速， 她收起了双臂， 转动惯量变为0.48kg m2。 求： （1） 她收起双臂后的转速； （2）她收起双臂前后绕身体中心轴转动的转动动能。 解：角动量守恒： 11= 22 所以 2= 1 2 1= 1.33 0.48 = 2.77(rad/s) 收起双臂前的转动动能 1= 1 2 11 2 = 1 2 1.33 1 = 0.665(J) 收起双臂后的转动动能 2= 1 2 22 2 = 1 2 0.48 2.772= 1.84(J) 3、一质量为 m，长度为 l 的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于 竖直状态。现有一质量为 m 的子弹以速度0射入杆的中心后，随杆一起

31、摆离原 16 来的竖直位置， 试求： （1） 刚射入后系统的角速度； （2） 杆子能上摆的最大角度。 解： （1）碰撞过程中，子弹和细杆动量不守恒，角动量守恒（合外力距为 0） 。设 碰后系统的角速度为 。 2 0= 1 3 2+ ( 2) 2 = 60 7 （2）摆动过程中机械能守恒（仅受重力做功） ，设杆子能上摆的 最大角度为 1 2 1 3 2+ ( 2) 2 2= 1 2 (1 cos) 2 所以 1 cos = 7 24 (60 7 ) 2 = 30 2 14 所以 cos = 1 30 2 14 = cos1(1 30 2 14) *4、质量为0，长为0的均匀棒与质量为 m 的小球

32、发生完全弹性碰撞。碰撞前 棒静止，碰撞后小球静止。问 l、0、m 必须满足什么条件？ 解：碰撞过程，重力矩为零，角动量守恒，均匀棒转动惯量为 J： mlv=J 完全弹性碰撞， 系统的机械能守恒， 因均匀棒势能在碰撞时不 变，故： 1 2 2= 1 2 2 由（1） 、 （2）可得 m2= = 1 3 00 2 所以 = 0 3 0 因为 0所以 00，则 P 点的电场强度 E= 02，= 2 2 02 ( + )。 解：一般点电荷默认为正电荷 = 2 40( 2 2 ) 2 = 02 2、有一半径为 R 的三分之一圆环均匀带电，电荷总量为 q（q0） ，求圆心处的 电场强度的大小和方向。 解：

33、取 + d电荷元 d = d d = d 402 d= d cos = 402 cos d = 40 cos d 3 3 = 20 3 2 由于对称性= 0所以 = 1 3 2 所以 = = 33 8202 方向沿圆弧对称轴向外。 3、均匀带电细圆环半径 R=4.0cm，带电量 = 5.0 109C，求圆环轴线上距环 心 x=3.0cm 处的电场强度，何处的电场强度最大？ 解：取 + d电荷元 d = ( d) d = d 402 d= d cos = d 40 ( 2+2)3 2 = 20 ( 2+2)3 2 = 1.08 104(N/C) 或（V/m） 当 = 22时，E 最大。 4、有一

34、长为 2l 的均匀带电塑料棒，带电量为 q，在棒的延长线上有一点 P，P 点离棒的中点距离为 1.5l，试求 P 点的电场强度。 18 解： 带电棒中心为原点， 建立向右的 x 轴， 取 + d电荷元 d = d = 2 d = 1 40 d (3 2 ) 2 由于电场在 x 方向不变，故 = 40 d (3 2 ) 2 = 40 1 3 2 | = 502 电学 习题 2 （电场强度计算 电场强度通量） 1、如图 OA=OP=2m，OA 上均匀带电。电荷密度mC/0885. 0，求 P 点的电场 强度。 解：均匀带电直线外任意一点的电场强度 = + = 40 (sin2 sin1 ) + (

35、cos2 cos1) 因为1= 0，2= 4所以 = 2 80 = 2.8 108(V/m) = 40 (1 2 2 ) = 1.14 108(V/m) = = 2.8 108 1.14 108 2、一半径为 R 的均匀带电半球面，电荷密度为 ，求在球 心处的电场强度。 解：取 + d， + d电荷元 d = d = (d)(sin d) = 2sin d d d = d 402 由于 d= d cos 所以 19 = 40 sin cos d 2 0 d 2 0 = 20 1 2 sin2| 0 2 = 40 由于对称性= 0所以 = 40 3、两电荷线密度分别为的均匀带电直线，相距为 a。

36、求单位长度带电直线上 受到的作用力。 解：由高斯定理：带电直线处的电场强度 E = 20 单位长度直线受到的电场力 = = 2 20 方向向上（引力） 4、有一半径为 R 的均匀带电半圆环，带电总量为0，在其圆心处有一带电量为 0的点电荷。求它们之间的作用力。 解：取 + d电荷元 d = d d = d 402 = d 402 d= d cos 由于对称性：= 0所以 = = 40 cos d 2 2 E = 2 40 = 0 2202 ( ) 所以 F = 0 2 2202 方向向下，表现为斥力 5、在一个立方体的顶点 P 处放一点电荷 q，通过 P 点的三个面 上的电场强度通量分别为=0

37、，另外三个面上的电场强度通 量分别为= 240。 解：通过 P 点的三个面上无电力线穿过，电场强度通量都为 0； 设有 8 个同样的立方体组成大立方体，P 点在大立方体正中央， 每个小立方体的电场强度通量为大立方体的1 8，小立方体另外三个面上的总电场 a 20 强度通量为1 8 0，则每个面为 1 3 1 8 0 = 240。 电学 习题 3 （高斯定理及其应用） 1、将一点电荷 q 放于球形高斯面的中心处，试问在下列情况下，高斯面上电场 强度通量发生变化的是（B） （A）将另一带电球体 Q 从远处移到高斯面外 （B）将另一带电球体 Q 从远处移到高斯面内 （C）将点电荷在高斯面内移离球心

38、（D）改变高斯面的大小，但 q 仍在高斯面内。 2、根据高斯定理表达式 d 0 1 i i q ，下列说法正确的是（D） （A）高斯面内电荷代数和为零时，高斯面各点电场都为零。 （B）高斯面内电荷代数和为零时，高斯面上各点电场都不为零。 （C）高斯面内电荷代数和不为零时，高斯面上各点电场都不为零。 （D）高斯面内电荷代数和不为零时，高斯面上电场强度通量不为零。 3、在半径为 R 的球面 A 和 B 内球心处各有一个电偶极子（等量异号电荷） 。在 球面 B 的旁边另有一个点电荷 q，下列说法正确的是（B） （A）A= B,A= B（B）A= B,A B （C）A B,A= B（D）A B,A B

39、 4、半径为 R，均匀带电的薄球壳，其电荷总量为 q。求球内外的电场强度。 解：作半径为 r 的同心球面 (1) 当 rR 时 d = 1 0 所以 = 402 5、无限长均匀带电圆柱体半径为 R，电荷密度为 。求其电场强度的分布。 21 解：作一半径为 r，长为 b 的同轴圆柱面 当 rR 时，由高斯定理： 2 = 1 0 (2) 所以 = 2 20 *6、有两个无限大均匀带电平板平行放置，(1) 面电荷密度分别为1、2，且 120，求两平面内外的电场的分布； （2）若1= 2= 0，求两平面内外的 电场分布。 解：带电板外的电场强度 = 20 （1）a 在带电平板内 = + = 1 20

40、( 1 2 ) 方向向下 b 在两带电平面上方 = + = 1 20 ( 1+ 2 ) 方向向上 c 在两带电平面下方 = + = 1 20 ( 1+2 ) 方向向下 (2) 当1= 2时，在带电平面外 E=0，在两平面内 = 0 0 （方向向下） 电学 习题 4 （电势能 电势 电势差） 1、如图，正三角形边长为 l=0.6cm，位于其顶点的电荷1= 1.0 106C、2= 2.0 106C、3= 3.0 106C，A、B 为边长的中点，今将一电子由 A 沿圆弧 移至 B，外力做功 W= +2.010-13(J)。 解： AB= A B= 2 1 20 + 1 2 20 3 = 1 2 20

41、 (1 1 3 ) W=eUAB=-2.0 10-13(J) B 1 q 2 q 3 q A 22 W外=2.0 10-13(J) 2、如图，q、-q 相距为 2a，在 q，-q 的延长线上有一点 D，D 到-q 的距离也为 a 。将单位负电荷沿圆路径由 O 移至 D，电场力做功 W= 60。 解： D= 1 40 ( 3 + ) O= 1 40 ( + ) = 0 = OD= (O D) = 60 *3、一无限长、半径为 R 的均匀带电圆柱面，线电荷密度为 ，以其轴线为电势 零点，求其内外任一点的电势。 解：由高斯定理： rR 时 2= 20 当 rR 时 = d 0 = 2 d + 1 d

42、 0 = 20 ln( ) 当 rR 时 = 1 d 0 = 0 4、长 2l 的棒均匀带电，电荷总量为 q，AB 延长线上有一点 P，P 距 B 的长度为 d，以无限远处为电势零点，求 P 点的电势。 解：建立 ox 轴，取 + d电荷元 dP= d 40(2 + ) 所以 P= 40 ln(2 + )|0 2 = 40 ln( + 2 ) = 80 ln( + 2 ) 5、半径为 R 的均匀带电球面，带电量为 q，= 0，求离球心 r 处的电势。 解：由高斯定理： rR 时 2= 402 q aaa q DO r O 23 当 rR 时 = 2 d = 40 当 rR 时 = 1 d +

43、2 d = 40 电学 习题 5 （电势的计算 电场与电势的关系） 1、A 图中所示为静电场中的等势线，已知1 2= 2 3，比较 a、b 两点的 电场强度的大小 （填 、=、） 。 B 图中所示为静电场的电场线，比较 a、b 两点的电势的大小、=、 或） 。 解：规定：两个相邻等势面的电势差相等，a 等势面越密集的地方场强越大；b 电场线垂直于等势面；c 场强线指向电势降落最快的方向。 2、两个半径分别为1、2（1 1) 两球壳之间的电势差 = = 2 1 1 40 ( 1 1 1 2) 3、设均匀带电圆环的半径为 R。环上线电荷密度为 。 （1）求圆环轴线上任一点的电势（= 0） ； （2

44、）由（1）的所求的电势，计算对 应点的电场强度。 解： （1）由于 d = 1 40 d 所以有 = 2 40 ( 2 + 2) 1 2 = 20 ( 2 + 2) 1 2 a b 1 V 3 V 2 V a b 1 q 2 q 1 R 2 R )(A)(B 24 （2）对应点的电场强度 = d d = 2 20 1 2 2 ( 2 + 2) 3 2 = 20 ( 2 + 2) 3 2 *4、两无限大均匀带电平面，电荷面密度分别为0，相距为 d。在两平面正中 间释放一电子，设电子带电量为 e，则它到达带电平面时的速率为多大？ 解：两平面间的电场强度 = 0 0 OC= d = d 2 0 =

45、0 0 2 电场对电子做功 = |CO| = 0 20 由动能定理 = 1 2 2 所以 2= 0 0 = 0 0 电学 习题 6 （静电场中的导体 电容器的电容） 1、取无限远处为电势零点，半径为 R 的导体球带电后其电势为0，则球外离球 心 r 处的电场强度为0 2 。 解：由于 0= 40 所以 = 402 = 0 2 2、在内、外半径分别为1、2的导体球壳中心有一点电荷 q，求导体球壳中场 强与电势。(V=0) 解：静电平衡时，导体内的场强为零 所以 P= 0 导体球壳中电势 1 R 2 R P q 25 P= d = 1 d 2 + 2 d 2 因为 1= 0，2= 402 （ 2）

46、 所以 P= 402 3、平行板电容器的极板面积为 S，间距为 d，今在两板之间任意位置平行地插入 厚度为 b 面积为2/S的金属板，(1)求其电容值；(2)b0 的电容值。 解： （1）设上平行板到金属板的距离为 x 1= 0 2 2= 0 2( ) 1、2串联，等效电容 = 0 2( ) 无金属板的电容 = 0 2 最后的电容为，的并联，并联后的电容 = + = 0(2 ) 2( ) （2）b0 时 = + = 0(2 ) 2( ) = 0 表明在平行板电容器中平行插入一厚度可忽略的金属板不改变原电容的大小。 4、A、B 两导体平板平行放置。面积为 S，间距为 d，A 板带电量为1，B 板

47、 带电量为2。 (1) 如果 B 板不接地，则 A、B 间的电势差为多少？ (2) 如果 B 板接地，则 A、B 间的电势差为多少？ 解： 不接地，由2= 3，1= 4可得 ( 1+ 2) = 1 ( 3+ 4) = 2 所以 1= 4= 1+ 2 2 2= 3= 1 2 2 两极板内的场强 26 = 2 0 = 1 2 20 A、B 间的电势差为 AB= = ( 1 2) 20 接地以后，1= 4= 0，2= 3= 1 = 1 0 AB= 1 0 电学 习题 7 （静电场中的介质 介质电容器） 1、一平行板电容器充电以后，将其中的一半充以各向同性的介质，则 I、II 两部 分的电场强度相等，

48、电位移矢量不等，极板上的自由电荷面密度不等。 （填相等 或不相等） 。 解：平行板电容器 I、II 两部分的电势差相等，由 于 = ，所以 I、II 两部分的电场强度相等；由于 = 0，所以 I、II 两部分的电位移矢量不等； 由于 = ，所以 I、II 两部分的自由电荷面密度不等。 2、平行板电容器的电容为0，在其中充有相对电容率r介质后的电容1=r0。 在其中充有相同厚度， 相对电容率分别为r1， r2的两种介质， 其电容2=2r1r2 r1+r2 0。 3、一平行板电容器，中间填有相对电容率为r的均匀介质。电容与电源相连，极 板间的电压为0。设极板面积为 S，极板间距为 d。求（1）此电

49、容器的电容 C； （2）极板上的自由电荷密度0。 解： （1）因为0 = ， = = 0r， = 所以 = = 0 0 = 0r （2）因为 = = 0r， = 所以 0= 0r = 0r0 4、计算下列电容器的电容值，图上标出量为已知量。 解：1、2串联 III 27 = 1 2 1+ 2 = 0 22r1r2 1 2 0r1 1 + 0r2 2 = 0 r1r2 r21+ 2r1 解：1、2并联 = 1+ 2= 0r11 + 0r22 = 0 ( r11+ r22) *5、有一同轴电缆其内、外半径分别为 a、b。其中充满了电介质，其相对介电常 数为r= 1000。已知 b=2a=2mm，求

50、单位长度上的分布电容 C。 解：设内径单位长度带有电量 ，外径单位长 度带有电量-。 由高斯定理，介质中电位移矢量 = 2 = 20 = = 20 所以 = 20 ln = = 20 ln = 2 3.14 8.85 1012 103 0.693 = 8.0 108(F) 电学 习题 8 （静电场的能量与能量密度） 1、平行板电容器极板上的电荷为 Q，电压为 u，电容为 C ，静电场能量的表达 式为（C） （A） 2 （B） 2 2 （C） 2 2 (D) 2 2 C u 2 2 2、真空中静电场的电场强度为 E，则能量密度的表达式为（C） （A）02 （B） 1 0 2 （C）0 2 2 （

51、D） 1 20 2 3、有一半径为 R 的导体球带电量为 q、另有一半径为 R 的均匀带电球电量也为 q，则下列说法正确的是：(B) （A）包括带电体在内，两者电场能总量相等，球外的电场能量总量不等； （B）包括带电体在内，两者电场能总量不等，球外的电场能量总量相等； （C）包括带电体在内，两者电场能总量不等，球外的电场能量总量不等； 28 （D）包括带电体在内，两者电场能总量相等，球外的电场能量总量相等； 4、真空中有一半径为 R=0.10m 的导体球，带电量为 q=2.8C， （1）计算在距球心 r=0.5m 处的能量密度； （2）电场的总能量； （3）在导体空间多大半径范围内电场 能为总

52、能量的一半。 解： （1）r 处的电场强度为 E = 402 能量密度 = 02 2 = 2 32204 = 2.8 2.8 32 3.142 8.85 1012 1/16 = 4.47 1010(J/m3) （2）电场的总能量 = 42 = 2 802 = 2 80 = 2.8 2.8 8 3.14 8.85 1012 0.1 = 3.5 1011(J) （3）设在导体空间半径 r 范围内电场能为总能量的一半 42 = 2 160 2 80 (1 1 ) = 2 160 r=2R=0.2m 所以 r=2R 以内电场的能量为总能量的一半。 5、一平行板电容器极板面积 S=100cm2，两板之间

53、距离为 d=2.0mm，其中填有 =800 的介质。将此电容接上 U=220V 的电源。求（1）介质中的电场能量密度 （2）电容的总能量。 解： （1）因为dEU 所以 = = 02 2 = 02 22 = 1 2 8.85 1012 800 (11 104)2= 42.834(J/m3) （2）电容的总能量 总= = 42.834 100 104 2 103= 8.5668 104(J) 稳恒电流 习题 1 （电阻 电流和电流密度） 1、一圆柱形钨丝长1，截面积为1，电阻为 0.75，今将其拉伸到2= 101， 求拉伸后的电阻。 29 解：因为 = 所以钨丝拉长前后电阻之比为 1 2 = 1

54、2 12 2= 21 12 1 代入数据 2= 101 1 1 0.11 1= 1001= 75() 2、设地线插入大地的部分为一半径为0的金属半球。大地具有均匀的电阻率。 求此地线的接地电阻。 解：接地电阻为 R = 22 0 = 2 ( 1 )|0 = 20 3、一铜棒的横截面积1.6 1032，长为 2.0m，两端电势差为 50mV，已知铜 的电导率为 = 5.7 103（SI） ，铜内自由电荷的体密度为1.36 1020C/m3，则 它的电阻 R=0.22，电流 I=0.227A，电流密度 j=1.42 102A/m2，棒内的电场 强度 E=2.49 102V/m，棒内电子的漂移速度 Vd=1.15 103m/s。 解： （1）利用电阻计算公式可知 = = = 2 5.7 103 1.6 103 106 = 2 9.12 104= 0.22() （2）电流 I = = 50 103 0.22 = 0.227(A) （3）电流密度 = = 0.227 1.6 103 = 1.42 102(A/m2) （4）由 j=E 可知电场强度 = = 1.42 10