四星级高中数学高频错题点集中汇编

1、第六课时 例 1 已知偶函数f (x) cossin xsin(x)(tan 2)sin xsin的最小值为 0， 求f (x) 的最大值及此时 x 的集合。 解：f (x) cossin xsin(x)(tan 2)sin xsin sincosx(tan 2)sin xsin，因为f (x)为偶函数， 所以，对xR，有f (x) f (x)，即 sincos(x)(tan 2)sin(x)sin sincosx(tan 2)sin xsin， sin2 cos2 1 亦即(tan 2)sin x 0，所以tan 2，由sin， tan 2 cos 2 5 2 5 sin sin 55 解得

2、，此时f (x) sin(cosx1)，或 cos 5 cos 5 55 2 52 5 (cosx1)，最大值为 0，不合题意， 当sin 时，f (x) 55 2 52 5 (cosx1)，最小值为 0， 当sin 时，f (x) 55 4 5 当cosx 1时，f (x)由最大值，此时自变量 x 的集合为： 5 x| x 2k ，kZ。 例 2 已知函数f (x) absin xccosx(xR)的图像过点A(0，且 b0， 又f (x) 1) B( ， 1)， 的最大值为2 2 1，(1)求函数f (x)的解析式；(2)由函数 y=f (x)图像经过平移是否能得到一 个奇函数 y=g(x

3、)的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。 解 ： (1) f (x) absin xccosx ab c sin(x)(tan ) ， 由 题 意 ， 可 得 22 2 c b ac 1 a 1 ，解得b 2，所以f (x) 12sin x2cos x；ab 1 c 2 22 a b c 2 2 1 (2) f (x) 12sin x2cos x 2 2sin(x)1， 将f (x)的图像向上平移 1 个单位得到函 4 数y 2 2sin(x )的图像， 再向右平移 单位得到y 2 2sin x的图像， 故将f (x)的图像 44 先向上平移 1 个单位，再向右平移单位就可以得到

4、奇函数 y=g(x)的图像。 4 2sin x 例 3已知函数f (x) ， 1cos2x (1)求函数f (x)的定义域、值域、最小正周期； (2)判断函数f (x)奇偶性。 tan x，x(2k ， 2k ) 2sin xsin x 22 kZ， 解：(1)f (x) 3 1cos2x|cosx| tan x，x(2k ， 2k ) 22 定义域：x| x k ，kZ，值域为：R，最小正周期为T 2； 2 sin(x)sin x f (x)，且定义域关于原点对称， (2) f (x) |cos(x)|cos x| 所以f (x)为奇函数。 例 4已知a 2，求y (sin xa)(cosx

5、a)的最值。 2 解：y (sin xa)(cos xa) a(sin xcos x)sin xcos xa， t21 令t sin xcos x 2，2，则有sin xcosx ， 2 11 22 所以y L (t a) (a 1)，因为a 2，则 22 11 22 当t 2时，ymin a 2a，当t 2时，y max a 2a 。 22 备用题 1设函数f (x) sinax3cosax(0 a 1) ，g(x) tan(mx)(0 m 1)已知函 6 数f (x)，g(x)的最小正周期相同，且f (1) 2g(1)，(1)试确定f (x)，g(x)的解析式；(2)求函 数f (x)的单

6、调增区间。 解：f (x) sinax3cosax 2sin(ax)(0 a 1)，由函数f (x)，g(x)的最小正周期相 3 2 同，有 ，即 a=2m，又f (1) 2g(1)，即2sin(a ) 2tan(m)，把 a=2m 代入上 am36 式，得sin(2m ) tan(m)， 36 sin(m) 6 ，所以有2sin(m)cos(m) 66 cos(m ) 6 2 所以sin(m) 0或cos(m ) ， 626 若sin(m ) 0，则有m k,这与0 m 1矛盾， 66 2 若cos(m ) ，则有m k 或m k ， 626464 5 于是有m k 或m k (kZ)，又0

7、 m 1，所以m ，a ， 1212126 所以f (x) 2sin( x)，g(x) tan(x)； 63126 ， k 1， (2)由2k x 2k ，即x12k 512 2632 ， k 1(k Z)。 所以，函数f (x)的单调递增区间为x12k 512 备用题 2已知函数f (x) 4msin xcos2x(xR)，若函数f (x)的最大值为 3，求实数m 的 值。 解：f (x) 4msin xcos2x 2sin x4msin x1 2(sin xm) (2m 1)， 令t sin x11，则函数变为y 2(t m) (2m 1)，分类讨论如下： (1)当m 0时，在 t=1 时

8、，y max 14m 3，m (2)当m 0时，在 t=1 时，y max 综上所述，m 22 222 1 ； 2 1 14m 3，m ； 2 1 。 2 2 3 1 )1 ，x， 2222 3 1 ， ，求得取值范围，使函数f (x)在区间，上是单调函数。 222 2 2222 解：f (x) x 4xsin()cos()1 x 2xsin1 (xsin) cos ，所以 2222 3 1 f (x)的图像的对称轴为x sin，因为函数f (x)在区间，上是单调函数，所以 22 3131 sin 或sin ，即sin 或sin ， 2222 又因为 ， ，所以得取值范围是 ， U ， 。 2

9、 2263 2 作业 2已知函数f (x) 1sin x 1sin x， (1)判断函数的奇偶性；(2)证明是函数的一个周期。 解：(1)定义域xR， f (x) 1sin(x) 1sin(x) 1sinx 1sinx f (x)， 作业 1已知函数f (x) x 4xsin( )cos( 所以函数为偶函数； (2)f (x) 1sin x1sin x2|cos x|，所以f (x) 2(1cos| x|)， 所以f (x) 2(1cos| x |) 2(1cos| x|) f (x)， 所以是函数的一个周期。 作业 3已知sin xcosx ，x(0，)，求cotx的值。 2 2 2 1 5

10、 1124 ， 2sin xcosx ，(1)，所以12sin xcosx 52525 cosx 0， 因为x(0，)，所以sin x 0， 2449 ， (sin xcosx)212sin xcosx 1 2525 743 cosx ，所以sin xcosx (2)，联立(1)(2)解得sin x ， 555 cosx3 。所以cot x sin x4 0 )的图像一部分如图所示， 作业 4函数y Asin(x)(A 0， 0， 解：由sin xcosx (1)求此函数解析式； (2)将(1)中的函数图像如何变化才能得到函数y sin x图像。 解：(1) 依题意知， T 将点A 2 2，

11、62 4，T 16， y 48 6(2， 2 2) 代 入y 2 2sin(x)得 8 x 2 2 2sin(2) 2 2，又 2 2 8 0 ， 所以 ， 所求函数解析式为 4 y 2 2sin(x)； 84 (2)先把函数y 2 2sin(x)的图像横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变 )， 得函数 848 y 2 2sin(x)的图像，再把函数y 2 2sin(x)上所有点向右平移 单位得到函数 444 1 y 2 2sin x的图像，最后将y 2 2sin x的图像上所有点的纵坐标缩短为原来的 倍， 2 2 (横坐标不变)，得到函数y sin x图像。 数数列列 第一课时 1、 设数列an

12、是公差不为零的等差数列，Sn是数列an的前 n 项和，且S 3 9S2，S44S2，求 数列的通项公式 2、已知数列an的前n项和Sn满足Sn 2an(1)n,n 1 （1）写出数列an的前三项a1,a2,a3； （2）求证数列an 2 2 (1)n为等比数列，并求出an的通项公式 3 3、 已知公差大于零的等差数列an的前n项和为S n ，且满足：a 3 a 4 117,a 2 a 5 22. （）求通项a n ； （）若数列bn是等差数列，且bn S n ，求非零常数c； n c 4、数列an的前 n 项和记为 Sn，已知 a1=1,an+1= 证明：(i)数列 Sn是等比数列；(ii)S

13、 n+1=4an. n n 2 Sn(n=1,2,3，) n 答案： 1、设数列an的公差为d 4a (3a 1 3d) 9(2a 1 d) a 1 0 1 9 由题意得：或 d 04a1 6d 4(2a 1 d) d 8 9 4884 因为d 0所以a1,d ann 9999 2 2、 （1）在Sn 2an(1)n,n 1中分别令n 1,2,3得： a 1 2a 1 1 a 1 1 a a 2a 1 解得： 1 a2 0 22 a a a 2a 1a 2 233 1 3 n1 （2）由Sn 2an(1)n,n 1得：S n1 2a n1 (1),n 2 nn1 两式相减得：an 2an (1

14、) 2an1 (1) ,n 2 n 即：an 2an1 2(1) ,n 2 4242 a n 2a n1 (1)n(1)n 2a n1 (1)n1(1)n 3333 22 a n (1)n 2(a n1 (1)n1)(n 2) 33 221 n 故数列an (1) 是以a1 为首项，公比为 2 的等比数列 333 21 n1 1 n1 2 nn 所以 a n (1) 2a n 2(1) 3333 3、 （1）设数列an的公差为d (a 1 2d)(a 1 3d) 117 由题意得：2a 5d 22 1 所以：an 4n 3 （2）S n a 1 1 或d 4 a 1 21 （舍去）d 4 n(

15、1 4n 3) 2n2 n 2 S n S 由于是一等差数列故 n an b对一切自然数n 都成立 n cn c 22 即：2n n (n c)(an b) an (ac b)n bc a 2 a 2 a 2 ac b 1b 0或b 1（舍去） bc 0c 0 1 c 2 1 所以c 2 n 2n 22n 2 4、 （1）由an1S n 得：S n1 S n S n 即S n1 S n nnn SS 所以 n1n n 1n S 所以数列 n是以 1 为首项,公比为 2 的等比数列 n S n1nn1 （2）由（1）得 n 2S n n2S n1 (n 1)2 n 1(n 1) 1(n 1) 所

16、以 a n (n 1)2n2 n2 Sn S n1 (n 2) (n 1)2 (n 2) 所以 S n1 4a n 第二课时 1、已知等差数列an ，公差大于0，且 a2、a5是方程 x212x+27=0 的两个根，数列bn的前 n 项和为 Tn，且 Tn=1 1 bn 2 （1）求数列an 、 bn的通项公式； （2）记 cn= anbn，求证：cn1 cn 2、设an是由正数组成的无穷数列，Sn是它的前 n 项之和，对任意自然数n,an与 2 的等差中 项等于 Sn与 2 的等比中项. （1）写出a1,a2,a3； （2）求数列的通项公式（要有推论过程） ； 2、 已知数列an成等差数列，

17、S n 表示它的前n项和，且a1 a3 a5 6， S 4 12. 求数列an的通项公式a n ； 数列anS n 中，从第几项开始(含此项)以后各项均为负数？ 4、设数列an和bn满足 a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且数列an+1an （nN N*）是等差数列， 数列bn2(nN N*)是等比数列. （）求数列an和bn的通项公式； （）是否存在 kN N*，使 akbk（0， 1 ）？若存在，求出 k；若不存在，说明理由. 2 答案：答案： 1、 （1）设an的公差为d a 2 a 5 12 2a 1 5d 12 a 1 1 由题意得：a2a5 27即：(a1 d)

18、(a1 4d) 27解得： d 2 d 0d 0 所以：an 2n 1 11 b n 得：Tn11 b n1 22 111 两式相减：bn (1bn)(1bn1)即：bnbn1 223 1 所以bn是以为公比b为首项的等比数列 3 112 在Tn1 b n 中令n 1得：b 1 1b 1 所以b 1 223 由Tn1 21 所以bn 3 3 n1 21 n1( ) 33 21 n 21 n1 81 所以：cn1cn (2n 1) ( ) (2n 1)( ) ( )n1(n 1) 333393 因为了n 1所以 c n1 c n （2）cn anbn (2n 1) a 1 2 2 a 2 n a

19、2 2 2S n 2、 （1）由题意得：2令n 1,2,3得：2 a 3 2 an 0 2 a1 0,a 2 解得：a1 2,a2 6,a310 2a 1 2(a 1 a 2 ) 2(a 1 a 2 a 3 ) 0,a 3 0 a n 2 2S n 两边平方得：(an 2)2 8S n 2 2 用n1代替n得：(an1 2) 8S n1 （2）将 2222 两式相减得：(an 2) (an1 2) 8an即：(an 2) (an1 2) 0 即：(an an1)(an an1 4) 0由于an 0所以an an1 4 所以an是以 2 为首项公差为 4 的等差数列 所以an 4n 2 3、 （

20、1）设数列an的公差为d，由题意得： 所以：an 2n 8S n 3a 1 6d 6 a 1 6 解得： d 24a1 6d 12 n(68 2n) n(7 n) 2 （2）令bn anS n 所以 b n (2n 8)(7 n)n 解不等式(2n 8)(7 n)n 0得：n 7或n 4 所以数列从第 8 项开始（含此项）以后各项均为负数 4、 （1）由题意得：an1 an (a2 a1) (n 1)(a3 a2) (a2 a1) = 2 (n 1) n 3 所以 a n a n1 (n 4) a n2 (n 5) (n 4) a 1 (2)(1)0 (n5)(n4) 6(2)(1)0 (n5

21、)(n4) （n 2） 6 上式对n 1也成立 所以an (n1)(2)(n4)1 2 7 n n9 222 1 2 7 n n 9 22 b 2 2 n1 21 ) 4( )n1 ( )n3 b 1 242 1 n3 所以 b n 2( ) 2 b n 2 (b 1 2)( 171 （2）ck akbkk2k 92 22 2 当k 1,2,3时 c k 0 当k 4时 c k k3 1 2 71 k k 7( )k3 222 1 7 2 7 1 k3 1 7 2 7 1 43 1 (k ) ( )(4) ( ) 2 24222422 1 故不存在正整数k使akbk0, 2 第三课时 1、设等

22、差数列an的前 n 项和为Sn；设a1 4，问 S 2n S n 是否可能为一与 n 无关的常数？ S 3n 若不存在，说明理由若存在，求出所有这样的数列的通项公式 2、已知等比数列an及等差数列bn，其中b1 0，公差d 0，将这两个数列对应项相加得 到一个新的数列 1,1,2,求这个新数列的前 10 项之和 3、设 Sn为等差数列an的前 n 项和.(nN*) （）若数列an单调递增，且 a2是 a1、a5的等比中项，证明：S n S n2 2 S n1 . （）设an的首项为 a1，公差为 d，且a1 S n c S n2 3 d(d 0)，问是否存在正常数 c，使 2 c 2 S n1

23、 c对任意自然数 n 都成立， 若存在， 求出 c(用 d 表示)； 若不存在， 说明理由. nn 4、已知数列cn，其中cn 2 3，且数列cn1 pc n 为等比数列，求常数p 设an，bn是公比不相等的两个等比数列，cn an bn，证明数列cn不是等比数列 答案： 1、设等差数列an的公差为d，并假设存在d使 令 S 2n S n 是与n无关的常数k S 3n S 2n S n k S 3n 2n(2n 1)n(n 1)3n(3n 1) d na1 d k3na 1 d 恒成立 222 93 2 11 化简得：( kd )n 3k(a1 d) a 1 d n 0 对一切自然数n恒成立

24、2222 所以2na1 3 9 1kd 0 2 kd 2 所以即3 11 3k(4 d) 4d 0 24k d 18 22 1 解得：d 9 73 解得：k 3(973) 故存在等差数列an使是一与n无关的常数 an 4(973)(n1) 2、设等比数列an的公比为q b 1 0 b 1 0 b 1 0 a b 1a 1a 1 1 11 由题意得：解得：(舍去)或 1 a1q (b1 d) 1 d 1q 2 a q2 (b 2d) 2 q 0d 1 1 1 n1 所以an 2 ,b n n 1 210110(09) 978 所以新数列的前 10 项的和为S10 212 3、 （1）设等差数列a

25、n的公差为d a 2 2 a 1a5 (a 1 d)2 a 1 (a 1 4d) 由题意得：即：解得：d 2a1 d 0d 0 2 所以 a n a 1 (n 1)d 2na 1 a 1 S n n a 1 所以 ( S n S n2 )2(2 S n1 )2 (n a 1 (n 2) a 1 )24(n1)2a 1 4(n 1) a 1 4(n 1) a 1 0 所以 22 S n S n2 2 S n1 （2）假设存在正常数c使得S n c S n2 c 2 S n1 c恒成立 n(n 1)3n(n 1)1 d nd d dn2 dn 2222 令n 1，则有 S 1 c S 3 c 2

26、S 2 c恒成立 S n na 1 即：( 315 d c d c)2 2 4d c 22 2 0 315 d cd c 22 1 两边平方化简得：c d 2 1 以下证明当c d时，S n c S n2 c 2 S n1 c恒成立 2 化简得：7d 2c 2 S n c S n2 c 2 S n1 c 1 2 11111 22 dn dn d dn 2 dn 2d 2dn 1 dn 1d 故 存 在 222222 n 1 ddd n 3 2n 2 0 222 1 正常数c d使S n c S n2 c 2 S n1 c恒成立 2 c n1 pc n q恒成立对一切正整数n恒成立（q为常数）

27、c n pc n1 4、 （1）由题意得： 即：2n13n1 p(2n3n) q 2n3n p 2n13n1 n1 化简得：2 所以： 4 2p 2q pq3n193p 3q pq 0 对一切正整数恒成立 42p 2q pq 0 p 2 p 3 解得：或 93p 3q pq 0q 3q 2 所以：p 2或p 3 （2）设数列an, b n 的公比分别为q1与q2，q1 q2 并假设数列cn,是等比数列，其公比为q 则有：an1bn1 qanbn 即：a1q1 b 1q2 a 1qq1 nnn1 b 1qq2 n1 化简得：a1q1 qq1 n1 n1 b 1 q 2 qq 2 n1 0 q 1

28、 即a1q1 q q b 1 q 2 q 0对一切正整数n恒成立 2 a 1 (q 1 q) 0 所以：即：q1 q2 q这与q1 q2互相矛盾 b1(q2 q) 0 故cn,不是等比数列 函数专题 第一课时 1、 设函数f (x) | x a | ax,其中0 a 1为常数. （1）解不等式 f(x)0; （2）试推断函数 f(x)是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，说明理由. 2 2、 已知函数f (x) ax 4x b,（a0，a,bR， 设关于 x 的方程f (x) 0的两根为x1,x2， ） f (x) x的两实根为、 （1）若|1，求 a，b 关系式 （2）若 a，b

29、均为负整数，且|1，求f (x)解析式 （3）若12，求证：(x11)(x21)7 32 3、已知函数f (x) ax bx 3x在x 1处取得极值 (I)讨论f (1)和f (1)是函数f (x)的极大值还是极小值； (II)过点A(0,16)作曲线y f (x)的切线，求此切线方程 4、已知f (x)是定义在(,)上且以2 为周期的函数，当x0,2时，其解析式为 f (x) x1 （1）作出f (x)在(,)上的图象； （2）写出f (x)在2k,2k 2(k Z)上的解析式，并证明f (x)是偶函数 答案： 1、 （1）由f (x) 0得：xa ax 0(0 a 1) 该不等式等价于：

30、x a 或 (1a)x a 0 x a (1 a)x a 0 x a x a aa 等价于：或 x aa或a即：a x 1a1 ax x 1a1 a aa 所以不等式的解集是：x x 1a 1 a (1 a)x a当x a （2）f (x) (1 a)x a当x a 因为0 a 1，所以当x a时，f (x)为增函数；当x a时，f (x)为减函数 2 所以当x a时，f (x) min a 2、 （1）f (x) x即ax 3x b 0 2 3 a b 2 由题意得：消去,得：a 4ab 9 a 1 （2）由于a,b都是负整数，故a 4b也是负整数，且a 4b 5 2 由a 4ab 9得：a

31、(a 4b) 9 所以 a 1,a 4b 9 所以a 1,b 2 2 所以 f (x) x 4x 2 2 （3）令g(x) ax 3x b，则 1 2的充要条件为： 4x x 2 g(1) a b3 0g(1) 0 1 a 即：又 bg(2) 4a b6 0g(2) 0 x x 12 a (x 1 1)(x 2 1)7 x 1 x 2 (x 1 x 2 )6 所以 b46a b 4 6 aaa 107 g(1)g(2) 3 3 a 因为g(1) 0,g(2) 0,a 0所以(x11)(x 2 1) 7 0 即：(x11)(x 2 1) 7 2 3、 （1）f (x) 3ax 2bx 3由于f

32、(x)在x 1处取得极值 3a 2b3 0 a 1 f (1) 0 所以：即：解得： 3a 2b3 0b 0 f (1) 0 33 所以：f (x) x 3x f (x) 3x 3 当x 1或x 1时，f (x) 0，此时f (x)为增函数； 当1 x 1时，f (x) 0，此时f (x)为减函数 所以f (1)是极小值，f (1)是极大值 （2）设切点为B x0,x03x0 3 x3x 0 16 2 由题意得： 0 3x 0 3 解得：x0 2 x 0 所以切线的斜率为k f (x0) 9 3 所以过点（0，16）的切线方程为：y 9x 16 4、 （1）略 （2）当x2k,2k 2时，有x

33、 2k 0,2，因为 2 为函数的周期， 所以：f (x) f (x2k) x2k 1 对于,内的任一x，必定存在整数k，使得： x2k,2k 2 此时 x 2k 2,2k,x 2k 20,2，又因为 2 为函数的周期 所以：f (x) f (x 2k 2) x2k 21 x2k 1 f (x) 所以：f (x)是偶函数 第二课时 1、设 f(x)=ax2+bx+c(abc),f(1)=0,g(x)=ax+b. （1）求证：函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有两个交点； （2）设 f(x)与 g(x)的图象交点 A、B 在 x 轴上的射影为 A1、B1，求A1B1的取值范围； （3）求证

34、：当 x 3时，恒有 f(x)g(x). x1a (aR ) a x （1）证明函数y f (x)的图象关于点（a，1）成中心对称图形； （2）当xa1，a2时，求证：f (x)2，； 2 2、已知函数f (x) 0,当x a时, xa )2,当a x b时, 3、已知函数f (x) ( ab 1,当x b时. ab ，都有 fx 1 ； 24 ab （）是否存在实数c,使之满足fc？若存在，求出它的取值范围；若不存在，请 2 说明理由 （）证明：对任意x x 1 4、 知函数f (x) (x 0) x 1 a)求函数f (x)的反函数f (x)； b)若x 2时，不等式(x 1) f 1 2

35、 (x) a(a x)恒成立，试求实数a的范围 答案：答案： 1、（1）由题意得： a bc 0 所以a 0,c 0 a b c 22 化简方程：ax bx c ax b 得：ax (b a)x c b 0 (b a)2 4a(c b) (b a)2 4ac 因为a 0,c 0 所以 0 所以：函数y f (x)与y g(x)的图象有两个不同的交点 （2）设方程ax (b a)x c b 0的两根为x1,x2， 则：x1 x2 2 a bb c ,x 1 x 2 aa (b a)24ac 所以：A 1B1 x 1 x 2 由于b (a c) a 所以： (b a)24acc24acc24ac

36、c c A 1B1 x 1 x 2 4 aaaa2 a c 2 4 a 2 2 a (a c) c1 将b (a c)代入a b c得：解得： 2 a2 (a c) c 所以： 3 A 1B1 2 3 2 2、(1)函数y f (x)的图象关于点(a,1)对称的充分必要条件为： f (a x) f (a x) 2 由于 f (a x) f (a x) (a x) 1 a(a x) 1 ax 1 x 1 2 a (a x)a (a x) xx 所以：函数y f (x)的图象关于点(a,1)对称 (2)易证明y f (x)在a 1,a 2上为增函数 所以f (a 1) f (x) f (a 2)

37、3 即： 2 f (x) 2 3、（1）因为a 当 a b1 b所以当x b时，f (x) 1 24 a b x b时，y f (x)为增函数 2 a b1 ) 24 所以f (x) f ( （2）易求得函数的值域为0,1 所以当a b 0时，对一切实数c，都有f (x) a b 2 a b 2 当a b 2时，对c b一切实数c，都有f (x) 当a b 2时，不存在实数c，使f (x) a b 成立 2 x a2 a b 当0 a b 2时，解不等式组： a b2 得： a x b 当b 3a时，(b a) a b x b 2 当b 3a，无解 下结论略 4、（1）因为x 0，所以： x

38、1 1 x x 1 x 1 由 y 得： xx 所以函数f (x)的反函数是f 1 2 y 解得：x 1 x 1 1 y 1 (x) (x 1) （1）不等式(x 1) f 即(x 1) 1(x) a(a x)恒成立 1 x 1 a(a x)(x 1)恒成立 x)(x 1)恒成立 即：( x 1) a(a 2 即： x(a 1) (a 1) 0(x 1)恒成立 所以：(a 1) (a 1) 0 解得：1 a 2 第三课时 1、已知函数f (x) ax bx 1(a,b为实数），xR，F(x) 2 2 f (x)(x 0) f (x)(x 0) （1）若 f (1) = 0，且函数f (x)的值

39、域为 0, ，求F(x)表达式； （2）在（1）的条件下，当x2,2时,g(x) f (x)kx是单调函数，求实数k 的取值范围； 2、设 f(x)=x3+3x2+px, g(x)=x3+qx2+r，且 y=f(x)与 y=g(x)的图象关于点（0，1） 对称 （I）求 p、 q、r 的值； （II）若函数 g(x)在区间(0，m)上递减，求 m 的取值范围； （III）若函数 g(x)在区间 ,n 上的最大值为 2，求 n 的取值范围 3、已知二次函数f x ax2bx1a 0,bR R，设方程 fx x 有两个实数根x 1,x2 如果x 1 2 x 2 4，设函数fx的对称轴为x x 0

40、，求证：x0 1； 如果0 x 1 2，且fx x的两实根的差为 2，求实数b的取值范围 4、某商品在近 30 天内每件的销售价格P（元）与时间 t（天）的函数关系是： P (0 t 25,tN N)t 20 该商品日销售量 Q （件） 与时间 t （天） 的函数关系式是： t 100(25t 30,tN N) Q t 40(0 t 30,tN N)，求这种商品的日销售额的最大值. 答案：答案： a b 1 0 a 1 1、 （1）由题意得：b解得： 1 b 2 2a 2 x 2x 1(x 0) 所以：F(x) 2 x 2x 1(x 0) 2 （2）g(x) x (2 k)x 1 当x 2,2

41、时，g(x)是单调函数的充要条件是： 2 k2 k 2或 2解得:k 6或k 2 22 2、 （1）f (x) x3 3x2 px关于点（0，1）对称的函数为：y x3 3x2 px 2 所以：p 0,q 3,r 2 （2）g(x) x3 3x2 2g(x) 3x2 6x 所以：当g(x) 3x2 6x 0即：x 2或x 0时，g(x)是增函数 当g(x) 3x2 6x 0即：0 x 2时，g(x)是减函数 所以当g(x)在（0，m）上是减函数的充要条件为：m 2 (3)由（2）得：当x 0或x 3时，f (x) 2 所以：n的取值范围是0 n 3 3、 （1）f (x) x即为：g(x) a

42、x2 (b 1)x 1 b 1 2 4 它的两根满足x 1 2 x 2 4的充要条件是：g(2) 4a 2b 1 0 g(4) 16a 4b 3 0 b2a bg(4) g(2) 又x 0 ，所以：x 0 1 2a2a8a 因为：a 0,g(2) 0,g(4) 0，所以：x01 0，即：x0 1 g(0)g(2) 0 4a 2b 1 0 （2）由题意得：即： 2 (a 0) (b 1) 4a 22 (b 1) 4a 4a 2 a 3 2b 0 消去a得：2 (b 1)213 2b，此不等式等价于： 22 4 b 1 1 3 2b 1 解得：b 4 (t 20)(t 40)(0t 25,tN)

43、4、 售额 Z=PQ= (t 100)(t 40)(25t 30,tN) t 2 20t 800(0 t 25,tN) = 2 t 140t 4000(25 t 30,tN) 当0t 25时，此时当t 10,Z max 900 当25t 30时，Z 为减函数，此时当t 25,Z max 1125 所以：当t 25,Z max 1125 概概率率 第一课时第一课时 概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结： 类型一类型一“ “非等可能非等可能” ”与与“ “等可能等可能” ”混同混同 例例 1 1掷两枚骰子，求所得的点数之和为6 的概率 错解错解掷两枚骰子出现的

44、点数之和2，3，4，12 共 11 种基本事件，所以概率为P= 1 11 剖析剖析以上 11 种基本事件不是等可能的，如点数和 2 只有(1，1)，而点数之和为 6 有(1，5)、(2， 4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共 5 种事实上，掷两枚骰子共有 36 种基本事件，且是等可 能的，所以“所得点数之和为6”的概率为 P= 5 36 类型二类型二“ “互斥互斥” ”与与“ “对立对立” ”混同混同 例例 2 2把红、黑、白、蓝4 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4 个人，每个人分得1 张，事件“甲 分得红牌”与“乙分得红牌”是（） A对立事件B不可能事件C互斥但不对立事件D以上均不对

45、错解错解A 剖析剖析本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在： (1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对立概念 只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生 其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件， 这两个事件可能恰有一个 发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C 类型三类型三“ “互斥互斥” ”与与“ “独立独立” ”混同混同 例例 3 3甲投篮命中率为 O8，乙投篮命中率为0.7，每人投3 次，两

46、人恰好都命中2 次的概率是 多少? 错解错解设“甲恰好投中两次”为事件 A，“乙恰好投中两次”为事件 B，则两人都恰好投中两次为 2222 事件 A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)： c 3 0.8 0.2c 3 0.7 0.3 0.825 剖析剖析本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑， 将两人都恰好投中 2 次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和 互斥事件是指两个事件不可能同时 发生； 两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响， 它们虽 然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同 解解：设“甲恰好投中两次”为事件 A，

47、“乙恰好投中两次”为事件B，且 A，B 相互独立， 则两人都恰好投中两次为事件AB，于是 P(AB)=P(A)P(B)= 0.169 类型四类型四“ “条件概率条件概率 P(B /P(B /A)”A)”与与“ “积事件的概率积事件的概率 P(AB)”P(AB)”混同混同 例例 4 4袋中有 6 个黄色、4 个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2 次，求第二次 才取到黄色球的概率 错解错解记“第一次取到白球”为事件 A，“第二次取到黄球”为事件 B,”第二次才取到黄球”为事件 C,所以 P(C)=P(B/A)= 62 . 93 剖析剖析本题错误在于P(AB)与 P(B/A)的含义没有弄

48、清, P(AB)表示在样本空间S 中,A 与 B 同时 发生的概率；而 P（B/A）表示在缩减的样本空间 SA中，作为条件的 A 已经发生的条件 下事件 B 发生的概率。 解解: :P（C）= P(AB)=P（A）P（B/A）= 464 . 10915 备用备用 1.1. 某班数学兴趣小组有男生和女生各名，现从中任选名学生去参加校数学竞赛，求 （I） 恰有一名参赛学生是男生的概率； （II）至少有一名参赛学生是男生的概率； （）至多有一名参赛学生是男生的概率。 解：基本事件的种数为c 6 =15 种 11 （）恰有一名参赛学生是男生的基本事件有c3c3=9 种所求事件概率 P1= 2 9 =0

49、.6 15 （） 至少有一名参赛学生是男生这一事件是由两类事件构成的， 即恰有一名参赛学生是男生 29 c 3 12 0.8 和两名参赛学生都是男生,所求事件概率 P2= 1515 （） 至多有一名参赛学生是男生这一事件也是由两类事件构成的， 即参赛学生没有男生和恰 2c 3 912 0.8 有一名参赛学生是男生,所求事件概率 P3= 1515 2.2.已知两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射击10 次，其中甲击中目标 7 次，乙 击中目标 6 次，若在让甲、乙两人各自向目标靶射击3 次中，求： （1）甲运动员恰好击中目 标 2 次的概率是多少？（2）两名运动员都恰好击中目标 2 次的

50、概率是多少？（结果保留两 位有效数字） 解. 甲运动员向目标靶射击1 次，击中目标的概率为7/10=0.7 乙运动员向目标靶射击 1 次，击中目标的概率为 6/10=0.6 (1)甲运动员向目标靶射击3 次，恰好都击中目标2 次的概率是 2c 3 0.72(10.7)1 0.44 (2)乙运动员各向目标靶射击3 次，恰好都击中目标2 次的概率是 c2 3 20.72(1 0.7)1 c 3 0.62(1 0.6)1 0.19 作业作业 1. 1.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率 是 p2，那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是 () （A）p1p2（

51、B）p1(1 p2) p2(1 p1)（C）1 p1p2（D）1(1 p1)(1 p2) 2. 2.连续掷两次骰子，以先后得到的点数 m、n 为点 P（m，n）的坐标，那么点 P 在圆 x2+y2 17 外部的概率应为（） （A） 121113 （B）（C）（D） 331818 3. 3.从含有 500 个个体的总体中一次性地抽取25 个个体，假定其中每个个体被抽到的概率 相等，那么总体中的每个个体被抽取的概率等于_。 4. 4.若在二项式（x+1）10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 . （结果用分数表示） 5. 5.袋中有大小相同的 5 个白球和 3 个黑球，从中任意摸出 4

52、 个，求下列事件发生的概率. （）摸出 2 个或 3 个白球 ; （）至少摸出一个黑球. 6. 6.已知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.4 和 0.6现让每人各投两次，试分别求下列事件的概 率： （）两人都投进两球； （）两人至少投进三个球. 作业答案作业答案 4 11 1C 5 2C 3 2C 5 2C 3 5. 5.（）P（A+B）= P（A）+P（B） 4C 8 C 8 4 1. 1. B2. 2.D3. 3.0.054. 4. C 5 4 113 ;（） P=1- 4 =1 1414C 8 22 6. 6.（）（两人都投进两球）C 2 (0.4)2(0.6)0C 2 (0.4)0(0.

53、6)2=0.160.36 0.0576. 6 = 7 （）P（两人至少投进三个球）0.0576 0.0768 0.1728 0.3072 第二课时第二课时 例题例题 例例 1 1甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10 个不同的题目，其中选择题6 个，判断题 4 个， 甲、乙二人依次各抽一题. （）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ （）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？(2000 年新课程卷) 例例 2 2如图,用 A、B、C 三类不同的元件连接成两个系统N1、N2.当元件 A、B、C 都正常工作时, 系统 N1正常工作；当元件A 正常工作且元件 B、C 至少有一个正常工作时,

54、系统 N2正常 工作.已知元件 A、B、C 正常工作的概率依次为 0.80,0.90,0.90.分别求系统 N1、N2正常工 作的概率 P1、P2.(2001 年新课程卷) 例例 3 3某单位 6 个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）. （）求至少 3 人同时上网的概率； （）至少几人同时上网的概率小于0.3？(2002 年新课程卷) 例例 4 4有三种产品，合格率分别是0.90，0.95 和 0.95，各抽取一件进行检验. （）求恰有一件不合格的概率； （）求至少有两件不合格的概率.（精确到 0.001） (2003 年新课程卷) 备用备用从分别写有 0，1，2

55、，3，4，5，6 的七张卡片中，任取 4 张，组成没有重复数字的四位数， 计算： (1)这个四位数是偶数的概率； (2)这个四位数能被 9 整除的概率； (3)这个四位数比 4510 大的概率。 133 解：（1）组成的所有四位数共有C6 A6 720个。四位偶数有：个位是0 时有A 6 120,个 112 位不是 0 时有C3C5C5 300,共有 120+300=420 个. 组成的四位数为偶数的概率为 4207 72012 (2)能被 9 整除的数，应该各位上的数字和能被9 整除.数字组合为：1，2，6，0 1，3， 134 5，0 2，4，5，0 3，4，5，6 2，3，4，0此时共有

56、4C3 A 3 A 4 72 24 96. 能被 9 整除的四位数的概率为 962 72015 2 (3)比 4510 大的数分别有：千位是 4，百位是 5 时，有A 5 5 15;千位是 4，百位是 6 213 时，有A 5 20;千位大于 4 时，有C 2 A 6 240;故共有 240+20+18=278. 四位数且比 4510 大的概率为 278139 720360 作业作业 1. 1.一台 X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自 动机床各自独立工作,则在一小时内至多 2 台机床需要工人照看的概率是 () （A）0.1536（B） 0.1808

57、（C） 0.5632（D） 0.9728 2. 2. 种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p 和 q，则恰有一株存活的概率为 () (A)p+q2p q(B)p+qpq(C)p+q(D)pq 3. 3. 有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3 面，在每种颜色的 3 面旗帜上分别标上号码 1、2 和 3，现任取出 3 面，它们的颜色与号码不相同的概率是. 4. 4. 某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成,现从中选出 2 人担任正副班长,其中至少有 1 名女 生当选的概率是(用分数作答) 5. 5. 某产品检验员检查每一件产品时，将正品错误地鉴定为次品的概率为0.1，将次口错误地鉴定 为正品的概率为 0.2，如果这位检验员要鉴定 4 件产品，这 4 件产品中 3 件是正品，1 件是次 品，试求检验员鉴定成