3.5 线性系统稳定性分析

1、3-5线性系统的稳定性分析，如球在B点的平衡位置，受外界扰动的影响，从B点到B点，外力消除后，球绕B点反复振荡几次，当球的运动稳定后，最终回到B点。如果球的位置在点A或点C，一旦它在轻微的扰动下偏离平衡位置，球无论如何也不会回到它原来的位置，这是不稳定的。第一，稳定性的基本概念，定义：系统在扰动的作用下偏离原来的平衡状态，当扰动消失时，系统可以回到原来的平衡状态，这时系统被称为稳定；否则，系统就不稳定。系统的稳定性可分为两种类型：一是大范围稳定，即初始偏差可以很大，但系统仍然稳定；另一个是小尺度稳定性，即在系统稳定之前，初始偏差必须在一定的限度内，超过这个限度，就是不稳定的。对于线性系统，如果

2、它在小范围内是稳定的，那么它在大范围内也一定是稳定的。非线性系统没有类似的结论。对于线性时不变系统，如果脉冲响应收敛，系统是稳定的，否则是不稳定的。线性系统的稳定性只取决于系统的结构参数，与外界作用和初始条件无关，这是系统的一个固有特性。一般来说，线性时不变系统的稳定性是由其时域响应的收敛性来表征的。控制系统的时域响应可分为稳态分量和瞬态分量。如果瞬态分量随着时间的推移逐渐衰减到零，并且系统的响应最终收敛到稳态分量，则控制系统被认为是稳定的。如果过渡过程是发散的，系统是不稳定的。2.线性系统稳定的充分必要条件必须满足，并且所有分量必须趋于零。也就是说，系统的所有闭环特征根都有负实部。线性系统稳

3、定的充要条件是闭环极点严格位于S的左半平面(或者所有闭环极点都有负实部)。对于在复平面的右半平面上没有极点，但在虚轴上有极点的线性时不变系统，称之为临界稳定，干扰消除后系统的响应通常是等幅振荡。在工程中，临界稳定性是不稳定的。线性系统稳定的充要条件是闭环极点严格位于S的左半平面(或者所有闭环极点都有负实部)。3.劳斯-赫维茨稳定性准则。求解高阶方程不容易，通过寻找特征根来判断稳定性是不现实的。让系统的特征方程为：并根据特征方程的系数来判断系统的稳定性；1.赫兹稳定性准则；(1)必要条件：ai0(无遗漏项，系数同数)。如果ai0不满足，则系统不稳定。如果满意，需要进一步判断。不稳定、不稳定(缺少

4、三次项)、可能是稳定的，需要进一步判断以确定以下系统的稳定性。(2)线性系统稳定性的充要条件：特征方程的所有系数都大于零，也就是说，下列行列式和每阶主子公式都是正的。证明了当特征方程的系数都大于零时，赫维茨的奇行列式都是正的，那么赫维茨的偶行列式都必须是正的；反之亦然，达拉斯以礼堂为例，来判断系统的稳定性。解决方案：所有系数都大于零，所以系统不稳定。2.劳斯稳定性准则。(1)系统稳定的必要条件是特征方程的所有系数ai0都大于零。不缺物品。系数有相同的数字。它是系统稳定的必要条件，也就是说，它只能用来判断系统的不稳定性，而不能用来判断稳定性。(2)劳斯判据：线性系统稳定的充要条件是劳斯表第一列中

5、所有项的系数都大于零，符号数变化将原始方程乘以(s 3)得到6，-7，-3，-2/3，0，3，6，1，第一列系数改变符号两次，有两个正的实根，实际上是20，6，在这种情况下，可以用全零行的上一行的系数形成一个辅助方程，用这个辅助方程的导数的系数来代替全零行，最后用routh准则来判断。从辅助方程可以得到绝对值相等、符号不同的特征根。控制系统的特征方程是勒劳斯表。显然，这个系统处于一个临界(不稳定)状态。5.用劳斯判据判断稳定性，确定正实根数，确定使系统稳定的参数范围。示例：考虑图示的系统，并确定使系统稳定的K范围。解系统的闭环传递函数为，所以系统的特征方程如下：Lelaus表为：根据劳斯判据，系统的稳定性必须满足：因此，系统闭环稳定性的K值范围是当K=14/9时，系统处于临界稳定状态。k，2，3，7/3，0，3，k，1，k，实际系统预计s的左半平面上的特征根与虚轴有一定距离。检查稳定裕度，s，-a，s1，0，示例：系统图，=2，当系统的闭环极点全部落在s=-1的左侧时