数学建模易拉罐的设计问题

1、.易拉罐的形状和尺寸的最优设计 一旅五队 赵久国（3782011040） 摘要 现实生活中，我们会发现销售量很大的易拉罐饮料（例如：体积为355毫升的可乐，啤酒，雪碧，七喜等）的形状和尺寸几乎都一样，联系利润问题，我们可能会猜想同样是355毫升的容量，设计成那样的形状可能会节约易拉罐的制造成本。带着这样的猜想，我通过数学建模的方法去寻找原因。本文就是通过建立简化的数学模型，找到在易拉罐体积一定（355毫升）的条件下，使得易拉罐材料最省（通过计算易拉罐的表面积来表示用料）的外形及尺寸。 我第一步是实际调查研究（发现：实际生活中没有把易拉罐设计成长方体的形状的，都是接近圆柱体的，可以断定长方体没有

2、圆柱体节省材料，于是对于后面的模型只考虑圆柱体的情况）；第二步是通过简化建模所需的条件（假定易拉罐的侧面和底面用的材料都一样且厚度都一样（注：现实生活中肯定不一样，这需要前面模型的优化）；第三步是建立的简单模型，并且进行求解；第四步是对模型所得的数据进行分析，和与实际生活中所测的易拉罐的数据进行对比；第五步是得出基本的结论和对模型进行改进，粗略确定易拉罐外形和尺寸的最佳设计方案。关键词： 355毫升易拉罐 简化条件 模型设计 导数求极值对比分析 优化设计 第一步：对于体积恒定的355毫升的易拉罐，在保证体积不变的情况下设计他的形状，尺寸，要求是表面积最小。第二步：假设： 1.易拉罐设计的形状为

3、圆柱体，侧面和底面用的材料都一样且厚度都一样. 2.易拉罐的体积一定. 3.确定变量和参数：设易拉罐内半径为r,高度为h，厚度为a，体积为v，表面积为s。其中r和h是自变量，易拉罐面积s是因变量，而体积v是固定参数，则s和v分别为： 第三步： 根据前两步建立模型： V是已知的，g(r,h)是约束条件，目标函数s就是要求在体积V一定的条件下求S的最小值，此时r和s的比值。 第四步：模型求解： 在设计中不好假设其厚度a和内径r，因此我采用了现实生活中所测的数据，其中我了解到很小，为了简化计算，我将带这两项的忽略了。于是目标函数s化简后为： 模型简化为求目标函数s(r,h(r)的最小值了。令其导数为

4、零，即：解得其零界点为： 于是：所以当r:h=1:2时，s最小，为最优解。第五步： 在假设易拉罐是圆柱体，厚度相同，体积一定的条件下，易拉罐的（用料）表面积S最小时，通过求导，得到高是半径的两倍，h:r=2：1,此时，s为最优解。 但是考略到现实生活中易拉罐的底明显要比侧面厚，因此需要对上述模型进行优化，即：易拉罐两个底面的厚度是侧面的3倍。相同方法建立第二个模型： 目标函数S=mins(r,h) r0,h0 g（r,h)=0同样求s的最优解。模型求解： 相同的方法的 求s(r,h(r)的最小值，求导得： 所以h=6r时，s为最优解。分析： 分析上两个模型，可以推测出厚度比例不同，会影响半径与高的比值。因此为了使模型更加一般化，我设：a为侧面厚度，b为比率，则，底的厚度为ab 解出： 当r:h=1:2b时，s为最优解。 最后：我通过建立了简单的数学模型，发现了易拉罐设计形状，尺寸大小的原因是，当半径与高有特定比例