现代平差技术2.ppt

1、现代平差理论,序贯平差,序惯平差也叫逐次相关间接平差，它是将观测值分成两组或多组，按组的顺序分别做相关间接平差，从而使其达到与两期网一起做整体平差同样的结果。分组后可以使每组的法方程阶数降低，减轻计算强度，现在常用于控制网的改扩建或分期布网的平差计算，即观测值可以是不同期的，平差工作可以分期进行,序惯平差原理,设某平差问题，观测向量 ，现把它分为两组 ，组内相关，组间互不相关，即： 按间接平差原理选取参数 ，取近似 ，改正数为 ，分组后两组的误差方程分别为 权阵 权阵 （i=1、2）,序惯平差原理,若按整体平差，误差方程可以写为 权阵为 按间接平差原理可得其法方程为 即 由上式可得,序惯平差原

2、理,按分组平差，先对第一组误差方程进行第一次平差（因未顾及第二组观测值，所以第一次平差只能得到的第一次近似值，用 表示）。函数模型可改写为 权阵 按间接平差原理，可直接给出公式，其法方程为 未知参数的第一次改正数 未知参数的第一次平差值,序惯平差原理,第一次平差后未知参数的权阵为 观测值的第一次改正数 ，而 。 再单独对第二组误差方程作第二次平差，此时，应把第一次平差后求得的参数 作为虚拟观测值参与平差，其权阵为 。误差方程为： 联合第二组误差方程。即： 其中 或 。,序惯平差原理,联合组成法方程为 即 由上式可得参数的第二次改正数为 将上式代入 即可求得第二组观测值的整体改 正数。那么第一组

3、观测值的第二次改正数如何求 呢？我们可以用 分别代替 ， 即：,序惯平差原理,因为经过第一次平差后，已使 成 立，所以有 最后的平差值为：,秩亏自由网平差,不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要的起算数据的个数。即有： 在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。为求得唯一解，还必须增加新的约束条件，来达到求唯一解的目的。秩亏自由网平差就是在满足最小二乘和最小范数的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法。,秩亏网平差,秩亏网平差主要有以下三种: 普通的秩亏网平差.它是在最小范数的要求下选择基准,以求定未知参数的

4、唯一估值 XTX=Min,秩亏网平差,拟稳平差.将网中的未知的参数分为两类,即设 XT=X1T, X2T 它是在部分参数最小范数的要求下选择 X2T X2= Min 基准,以求定未知参数的唯一估值.,秩亏网平差,加权秩亏网平差.它是在加权最小范数的要求下选择基准,以求定未知参数的唯一估值 XT PXX= Min,直接解法,根据广义逆理论，相容方程组 虽然 具有无穷多组解，但它有唯一的最小范数解， 即： （5-1) 式中 ，称为矩阵的最小范数g逆。 称 为矩阵 的g逆。代入上式得 (5-2) 上式就是根据广义逆理论直接求解参数的唯一最 小范数解的公式。由于广义逆计算较为复杂，下 面将公式做进一步

5、改化：,直接解法,令 (5-3） 式中 行满秩，即 ，于是有 （5-4） 而 ，所以 为满秩方阵， 按照降阶法求矩阵广义逆的方法，即：如果有矩 阵,直接解法,其中 存在凯利逆，则有 的g逆 （5-5） 根据上式可得 （5-6） 代入（5-1）式，得 （5-7） 未知参数的协因数阵为：,附加条件法（伪观测值法）,附加条件法的基本思想：由于网中没有起算数据，平差时多选了d个未知参数，因此在u个参数之间必定满足d个附加条件式，即在原平差函数模型中需要加入d个未知参数间的限制条件方程，从而可以按附有条件的间接平差法求解。问题的关键是如何导出等价于的限制条件方程的具体形式。,附加条件法（伪观测值法）,设

6、等价于约束条件的限制条件方程为 （5-8） 式中 且满足 称为附加阵。故秩亏自由 网平差的函数模型为 权阵为,按照附有条件的间接平差可得法方程 （5-9） 式中 ， 且 ， 唯一不同的是这里为秩亏阵。,附加条件法（伪观测值法）,为解决秩亏问题，将（5-9）中的第二式左乘矩阵后，再加到第一组中得： （5-10） 式中 ，且 根据附有条件的间接平差原理，上式的解为 （5-11） （5-12） 由于上述解是通过增加未知参数间满足的d个附 加条件，按照附有条件的间接平差法而实现的，,附加条件法（伪观测值法）,因此人们把此法称为附加条件法。但它又不同于 经典的附有条件的间接平差法，其主要表现为： 当 阵

7、满足 时，必定有下式成立 （5-13） 将（5-13）式代入（5-12）式，得参数的解为 （5-14） 实质上最小二乘原则与未知参数附加基准条件无关， 是一个不变量。,拟稳平差,设 则有 若令,拟稳平差,拟稳平差的函数模型和平差原则为 由附条件的间接平差法，组成法方程 令,秩亏水准网的动态平差,假设某一时期内各水准点的高程变化时匀速的，则平差模型可采用线性运动模型 式中，X是某一中心时刻T0时的水准点高程参数， 为复测期间内的水准点的高程速率参数 某一水准网经过m期重复观测后，有观测向量,秩亏水准网的动态平差,第K期的误差方程,式中令,秩亏水准网的动态平差,以第K期的第ij测段的高差观测值hi

8、j为例，导出误差方程的纯量形式,秩亏水准网的动态平差,组成法方程 式中， 自由网平差时，系数矩阵B是列秩亏阵，按照秩亏网动态平差的解计算公式为,附加系统参数的平差,经典平差中总是假设观测值中不含系统误差，但测量实践表明，尽管在观测过程中采用各种观测措施和预处理改正，仍会含有残余的系统误差。消除或减弱这种残余系统误差可借助于平差方法，即：通过在经典平差模型中附加系统参数对系统误差进行补偿，这种平差方法称为附加系统参数的平差法。,附加系统参数的平差,经典的高斯马尔可夫模型为 （5-1） 当观测值中含有系统误差时，显然 在这种情况下，需要对经典的高斯马尔可夫模 型进行扩充。设观测误差 包含系统误差

9、和偶 然误差 ，即 考虑平差是线性模型，可设 ，于是有 （5-2） 及,附加系统参数的平差,将（5-2）式代入（5-1）式，即得附加系统参 数的平差函数模型为： （5-3） 由（5-3）式得误差方程为 （5-4） 其法方程为 （5-5） 令 上式可简写为,附加系统参数的平差,（5-6） 由分块矩阵求逆公式得 （5-7） 式中 如果平差模型中不含有系统误差，即 ，则有 考虑到此关系式，则（5-7）式可写成,附加系统参数的平差,（5-8） 由（5-7）式知， 和 的协因数阵为 （5-9） （5-10） 单位权中误差为 （5-11）,方差分量估计,平差前观测值向量的方差阵一般是未知的，因此平差时随机

10、模型都是使用观测值向量的权阵。而权的确定往往都是采用经验定权，也称为随机模型的验前估计，对于同类观测值可按第一章介绍的常用定权方法定权；对于不同类的观测值，就很难合理地确定各类观测值的权。为了合理地确定不同类观测值的权，可以根据验前估计权进行预平差，用平差后得到的观测值改正数来估计观测值的方差，根据方差的估计值重新进行定权，以改善第一次平差时权的初始值，再依据重新确定的观测值的权再次进行平差，如此重复，直到不同类观测值的权趋于合理，这种平差方法称为验后方差分量估计。,赫尔默特方差分量估计公式,按间接平差时的数学模型为 （函数模型） （6-1） （ 随机模型） （6-2） 其误差方程为 权阵 （

11、6-3） 权阵 （6-4）,赫尔默特方差分量估计公式,作整体平差时，法方程为 （6-5） 式中 一般情况下，由于第一次给定的权 、是不 恰当的，或者说它们对应的单位权方差是 不相等的，设为 和 ，则有 （6-6）,赫尔默特方差分量估计公式,但只有 才认为定权合理。方差分量估计的目的就是根据事先初定的权 、 进行预平差，然后利用平差后两类观测值的 、 来求估计量 ，再根据（6-6） 式求 ，由这个方差估值再重新定权，再平差，直到 为止。为此需要建立 、 与估计量 之间的关系式。,赫尔默特方差分量估计公式,由数理统计知识可知，若有服从任一分布的q维随机变量 ，已知其数学期望为 ，方差阵为 ，则向量

12、的任一二次型的数学期望可以表达为： （6-7） 式中 为任意q阶的对称可逆阵。 现用向量 代替上式中的 向量，则其中的 应换为 ， 应换为 ， 阵可以换成权阵 ，于是有,赫尔默特方差分量估计公式,前面已经证明 ，于是有： （6-8） 而 对上式应用协因数传播律得,赫尔默特方差分量估计公式,将 代入上式，整理后得 将上式代入（6-8）式，得 顾及矩阵迹的性质，上式可写为,赫尔默特方差分量估计公式,去掉上面两式的期望符号，相应的单位权方差 也改用估值 符号表示，整理顺序后得 （6-9） （6-10） 其矩阵形式可写为 （6-11） （6-12 ）,赫尔默特方差分量估计公式,两式即为赫尔默特方差分量估计的严密公式。由此式可以求得两类观测值的单位权方差估值，从而可以根据（6-6）式求得观测值方差的估值，以此方差估值再次定权，再次平差，直至满足要求为止 。,论文题目,1、谈谈现代平差理论在变形监测中的应用前景和发展现状 2、秩亏自由网平差在变形