成人高考专升本高等数学二概念和笔记公式

1、1.1函数 一、 主要内容 函数的概念 1. 函数的定义: (x), xD 定义域: D(f),值域: Z(f). 2.分段函数:y y f f ( (x x) )x x D D 1 1 g g( (x x) ) x x D D 2 2 3.隐函数: F()= 0 4.反函数: (x) (y)1(y) 1 (x) 定理:如果函数: (x), D(f), Z(f) 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： 1(x), D(1), Z(1) 且也是严格单调增加(或减少)的。 函数的几何特性 1.函数的单调性: (x)1、x2D 当 x1x2时,若 f(x1)f(x2), 则称 f(x)在

2、 D 内单调增加( )； 若 f(x1)f(x2), 则称 f(x)在 D 内单调减少( )； 若 f(x1)f(x2), 则称 f(x)在 D 内严格单调增加( )； 若 f(x1)f(x2), 则称 f(x)在 D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f()(x) 奇函数：f()(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f()(x), x(-，+) 周期：T最小的正数 4.函数的有界性： (x)|M , x() 基本初等函数 1.常数函数：， (c 为常数) 2.幂函数： , (n 为实数) 3.指数函数： , (a0、a1) 4.对数函数： x ,(a0、

3、a1) 5.三角函数： x , x x , x x , x 6.反三角函数： x, x x, x 第一章 函数、极限和连续 1 / 40 复合函数和初等函数 1.复合函数： (u) , (x) (x) , xX 2.初等函数: 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示 的函数 1.2 极 限 一、主要内容 极限的概念 1.1.数列的极限: lim y n n A 称数列y n以常数 A 为极限; 或称数列 定理: 若 y n 收敛于 A. n y n 的极限存在 y必定有界. 2.函数的极限： 当 x 时， f ( x ) 的极限： lim

4、f (x) A f (x) A lim f (x) A lim x x x 当 x x 0 时， f(x) 的极限： xx0 lim f (x) A x x0 左极限： 右极限： lim f (x) A lim f (x) A x x0 函数极限存的充要条件： 定理： xx0 lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A xx0 xx0 无穷大量和无穷小量 1.无穷大量： lim f (x) f (x) 为无穷大量。称在该变化过程中 2 / 40 X 再某个变化过程是指： x , x , x,x x ,x xx x 000 , 2.无穷小量： lim f (x) 0 f(

5、x)为无穷小量。 1 ,( f (x) 0) f (x) 称在该变化过程中 3.无穷大量与无穷小量的关系： 定理：lim f (x) 0 lim 4.无穷小量的比较：lim 0,lim 0 若lim 0,则称 是比 较高阶的无穷小量； 若lim 若lim ，则称 与 同阶的无穷小量； c（c 为常数） 1，则称 与 是等价的无穷小量，记作： ； 若lim ,则称 是比 较低阶的无穷小量。 定理：若： 1 1 ， 2 2 ； 1 2 则： lim lim 1 2 两面夹定理 1数列极限存在的判定准则： 设： y n x n z n （1、2、3） n n 且： lim y n lim z n a

6、 n 则： lim x n a 2函数极限存在的判定准则： 设：对于点 x0的某个邻域内的一切点 （点 x0除外）有： g (x) f (x) h(x) 且： 则： 3 / 40 x x0 x x0 lim g(x) lim h(x) A x x0 limf (x) A 极限的运算规则 若： limu(x) A,limv(x) B 则： limu(x) v(x) limu(x) lim v(x) A B limu(x)v(x) lim u(x)lim v(x) AB u(x)lim u(x)A v(x)lim v(x)B lim ( l i m v(x) 0) 推论： lim u 1 (x)

7、u 2 (x) u n (x) limu 1(x)limu2 (x)limu n (x) lim c u(x) lim c lim u(x) u(x)n lim u(x)n 两个重要极限 sin(x) sin x lim1 1 或 1lim (x)0 x 0 (x) x 1 x(1 x)x e 2lim (1 ) el i m x0 x x 1.3 连续 一、主要内容 函数的连续性 1.函数在 x 0处连续： 1o 2o x0 x0 1 f(x) 在 x 0的邻域内有定义， lim y lim f (x 0 x) f (x 0 ) 0 xx0 lim f (x) f (x 0 ) xx0 左连

8、续： lim f (x) f (x 0 ) lim f (x) f (x 0 ) 右连续： xx0 2.函数在 x 0 处连续的必要条件： 定理： 4 / 40 f(x) 在 x 0处连续 f(x) 在 x 0处极限存在 3.函数在 x 0处连续的充要条件： 定理： 4.函数在 xx0 lim f (x) f (x 0 ) lim f (x) lim f (x) f (x 0 ) xx0 xx0 a,b上连续： f(x) 在 a,b 上每一点都连续。 在端点 xa a 和b连续是指： lim f (x) f (a) 左端点右连续； limf (x) f (b) 右端点左连续。 xb 0 x 5

9、.函数的间断点： 若 f(x)在 x 0处不连续，则 x 0为 f(x) 的间断点。 间断点有三种情况： 1o f(x) 在 x 0 处无定义； xx0 2o lim 3o f (x) 不存在； 0 lim f (x) 存在， f (x) 在 x 0 处有定义，且 xx xx0 但 lim f (x) f (x 0 ) 。 两类间断点的判断： 1o第一类间断点： 特点： x x0 lim f (x) 和 lim f (x) 都存在。 xx0 可去间断点： xx lim f (x) 存在，但 0 xx0 lim f (x) f (x 0 ) ，或 f (x) 在 x 0处无定义。 5 / 40

10、2o第二类间断点： 特点： xx0 lim f (x) 和 lim f(x) 至少有一个为， xx0 或 xx0 lim f (x) 振荡不存在。 lim f (x) 和 lim f(x) 至少有一个为 xx0 无穷间断点： xx0 函数在 x 0处连续的性质 1. 连续函数的四则运算： 设 xx0 1o xx0 lim f (x) f (x 0 ) ， lim g(x) g(x 0 ) xx0 lim f (x) g(x) f (x 0 ) g(x 0 ) lim f (x)g(x) f (x 0 )g(x 0 ) 2o xx0 3o f (x)f (x 0 ) limlimg(x) 0 x

11、x0 g(x) xx g(x 0 ) 0 2. 复合函数的连续性： y f (u),u (x), xx0 y f(x) lim(x) (x 0 ), xx0 u(x0) lim f (u) f(x 0 ) xx0 则： lim f(x) flim(x) f(x 0 ) 3. 反函数的连续性： 6 / 40 y f (x), xx0 x f 1(x), yy0 y 0 f (x 0 ) lim f (x) f (x 0 ) lim f 1(y) f1(y 0 ) 函数在a,b上连续的性质 1.最大值与最小值定理： f(x)在a,b 上连续 f(x) 在a,b上一定存在最大值与最小值。 yy M

12、f(x)f(x) 0abx m 0ab x a) 有界定理： f (x) 在a,b上连续 f (x) 在a,b上一定有界。 3.介值定理： f (x) 在a,b上连续在 (a,b) 内至少存在一点 ，使得： f () c ， M 其中： mc yy M f(x) Cf(x) 0ab x m 0a 1 2 bx 推论： f (x) 在a,b上连续， 且 f (a) 与 f (b) 异号在(a,b)内至少 存在一点 ， 使得：f ( ) 0 。 b) 初等函数的连续性： 初等函数在其定域区间内都是连续的。 7 / 40 第二章 一元函数微分学 2.1 导数与微分 一、主要内容 导数的概念 1导数：

13、 y yf f( (x x) )在x x 0 0 的某个邻域内有定义， y yf f( (x x 0 0 x x ) )f f( (x x 0 0 ) ) l l x x i im m 0 0 x x l l x x i im m 0 0 x x f f( (x x) ) x x limlim f f( (x x 0 0 ) ) x x0 0 x xx x 0 0 y yx x dydy x x x x0 0 f f ( ( 0 0 ) ) dxdx x x x x0 0 2左导数： f f ( (x x 0 0 ) ) f f( (x x) )f f( (x x 0 0 ) ) x x li

14、mlim x x 0 0 x xx x 0 0 f f( (x x) )f f( (x x 右导数： f f0 0 ) ) ( (x x 0 0 ) ) x x limlim x x0 0 x xx x 0 0 定理： f f( (x x) )在 x x 0 0的左（或右）邻域上连续在 其内可导，且极限存在； 则： f f ( (x x 0 0 ) ) x x limlim x x f f ( (x x) ) 0 0 （或： f f ( (x x 0 0 ) ) x x limlim x x ( (x x) )） 0 0 f f 3. 函数可导的必要条件： 定理： f f( (x x) )在

15、x x 0 0处可导 f f( (x x) )在 x x 0 0处连续 4. 函数可导的充要条件： 定理： y y x xx x0 0 f f ( (x x 0 0 ) )存在 f f ( (x x 0 0 ) )f f ( (x x 0 0 ) )， 且存在。 5. 导函数： y yf f ( (x x),),x x( (a a, ,b b) ) f f( (x x) )在( (a a, ,b b) )内处处可导。 6. 导数的几何性质： f f ( (x x 0 0 ) ) 是曲线y y f f( (x x) )上点 M Mx x 0 0 , ,y y 0 0 处切线的斜率。 求导法则 1

16、. 基本求导公式： 2. 导数的四则运算： 8 / 40 y f (x0) f(x) y x ox0 x 1o（ （u u v v) ) 2o（ （u u v v) ) u u v v u u v v u u v v 3o u u v v u u v v u u ( (v v 0 0) ) 2 2v v v v 3.复合函数的导数： y y f f ( (u u), ),u u ( (x x), ), dydydydy dudu ，或 dxdxdudu dxdx y y f f ( (x x) ) f f ( (x x) ) f f ( (x x) ) ( (x x) ) f f ( (x x

17、) ) 与 f f ( (x x) ) 的区别： f f ( (x x) ) 表示复合函数对自变量 x x 求导； 注意 f f ( (x x) ) 表示复合函数对中间变量 ( (x x) ) 求导。 4.高阶导数： f f ( (x x), ),f f ( (x x), ),或或f f ( (3 3) )( (x x) ) f f ( (n n) )( (x x) ) f f( (n n 1 1) )( (x x) ) , ,( (n n 2 2, ,3 3, ,4 4) ) 函数的 n 阶导数等于其 1 导数的导数。 微分的概念 1.微分： f f ( (x x) ) 在 x x 的某个邻

18、域内有定义， y y A A( (x x) ) x x o o( ( x x) ) 其中： A A( (x x) ) 与 x x 无关， o o( ( x x) ) 是比 x x 较高 o o( ( x x) ) 0 0 x x0 0 x x 阶的无穷小量，即： limlim 则称 y y f f ( (x x) ) 在 x x 处可微，记作： dydy A A( (x x) ) x x dydy A A( (x x) )dxdx ( ( x x 0 0) ) f f ( (x x) ) 在 x x 处可微 f f ( (x x) ) 在 x x 处可导， 2.导数与微分的等价关系： 定理：

19、且： 9 / 40 f f ( (x x) ) A A( (x x) ) 3. 微分形式不变性： d d y yf f ( (u u) )d d u u dydy 都具有相同的形式。 不论 u 是自变量，还是中间变量，函数的 微分 2.2 中值定理及导数的应用 一、主要内容 中值定理 1. 罗尔定理: f f( (x x) ) 满足条件: 1 10 0 a a , ,b b 上连续；上连续；在在 ( (a a , ,b b ) ) 内至少内至少 . . 在在 2 20 0在在 ( (a a , ,b b ) ) 内可导内可导; ;, ,存在一点存在一点 . . 3 30 0使使 得得 f f

20、( () )0 0 . . . . f f ( (a a ) )f f ( (b b ).). yf f ( ( ) )f f ( ( ) )f f( (x x) ) f f( (x x) ) aobxaobx 2. 拉格朗日定理： f f( (x x) ) 满足条件: 在在( (a a, ,b b) ) 内内 至至 少少 存存 1 1 在在 a a, ,b b 上上 连连 续续 ， ， 使使 得得 ： 0 0 在在 一一 点点 2 2 在在( (a a, ,b b) ) 内内 可可 导导 ； f f( (b b) )f f( (a a) ) f f ( ( ) ) b ba a 0 0 罗必

21、塔法则： （ 0 0 , , 0 0 型未定式） 定理： f( x) 和 g(x)满足条件： limf(x)0(或 ） 1o；limg(x)0(或 ） xa xa 2o在点 a的某个邻域内可导，且 o g (x)0 ； 3 f (x) limA,（或 ） xa( )g (x) 10 / 40 则： lim xa() f (x)f (x) lim A, （或 ） xa() g(x)g(x) 注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。 2o若不满足法则的条件，不能使用法则。 0 即不是 0 型或型时，不可求导。 3o应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。

22、 4o若 f (x) 和 g(x) 还满足法则的条件， 可以继续使用法则，即： f f ( (x x) )f f ( (x x) )f f ( (x x) ) limlim limlim limlim A A （或（或 ） x xa a( ( ) ) g g( (x x) ) x xa a( ( ) ) g g ( (x x) ) x xa a( ( ) ) g g ( (x x) ) 5o若函数是 0 0 , , 型可采用代数变 0 0 形，化成 0 0 0 00 0 1 1 , ,0 0 , , 或型；若是型可 0 0 采用对数或指数变形，化成或型。 0 0 导数的应用 1 切线方程和法线

23、方程： 设： y y f f ( (x x), ),MM( (x x 0 0 , , y y 0 0 ) ) 切线方程： y y y y 0 0 f f ( (x x 0 0 )( )(x x x x 0 0 ) ) 1 1 ( (x x x x 0 0 ), ),( ( f f ( (x x 0 0 ) ) 0 0) ) f f ( (x x 0 0 ) ) 法线方程：y y y y0 0 2 曲线的单调性： f f ( (x x) ) 0 0 x x ( (a a, ,b b) ) f f ( (x x) )在在( (a a, ,b b) )内单调增加；内单调增加； f f ( (x x)

24、 ) 0 0 f f ( (x x) ) 0 0 x x ( (a a, ,b b) ) f f ( (x x) )在在( (a a, ,b b) )内单调减少；内单调减少； x x ( (a a, ,b b) )在在( (a a, ,b b) )内严格单调增加；内严格单调增加； f f ( (x x) ) 0 0 x x ( (a a, ,b b) ) 在在( (a a, ,b b) )内内 严严 格格 单单 调调 减减 少少 11 / 40 3.函数的极值： 极值的定义： 设 f (x) 在 (a,b) 内有定义， x 0是 (a,b) 内的一点； x 若对于 0的某个邻域内的任意点 x

25、x 0 ，都有： f (x 0 ) f (x)或f (x 0 ) f (x) 则称 f (x 0 ) 为 是 f (x) 的一个极大值（或极小值） ， 称 x 0 f (x) 的极大值点（或极小值点） 。 极值存在的必要条件： 定理： 10.f (x)存在极值f (x 0 ) f (x0) 0 02 .f (x 0 )存在。 x 0称为 f (x) 的驻点 极值存在的充分条件： 定理一： 10.f (x)在x 0处连续； f (x 0 )是极值； 20.f (x 0 ) 0或f (x 0 )不存在； x 是极值点。 0 30.f (x)过x 0时变号。 当 则 当 x 渐增通过 x 0时， f

26、 (x) 由（+）变（-） ； f (x0) 为极大值； f(x 0) x 渐增通过 x 0时， f (x) 由（-）变（+） ；则为极小值。 定理二： f (x 0 )是极值；10.f (x 0 ) 0； 0 x 0是极值点。 2 .f (x 0 )存在。 若 若 f (x0) 0 ，则 f (x0) 为极大值； 为极小值。 f (x 0 ) 0 ，则 f (x0) 注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。 4曲线的凹向及拐点： 若 f (x) 0,xa,b；则f (x) 在 (a,b) 内是上凹的（或凹的） ， （） ； f (x) 0,xa,b；则 f (x) 在 (a,b) 内

27、是下凹的（或凸的） ， （） ； 12 / 40 x 0 , f (x 0 )称10.f (x 0 ) 0， 02 .f (x)过x 0时变号。 为f (x)的拐点。 5。曲线的渐近线： 水平渐近线： 若 lim f (x) A y A是f (x) x 或 lim f (x) A 。 x 的水平渐近线 铅直渐近线： 若 lim f (x) x C是f (x) xC 或 lim f (x) 的铅直渐近线。 xC 第三章 一元函数积分学 3.1不定积分 一、主要内容 重要的概念及性质： 1原函数：设： f f( (x x), ),F F( (x x), ), f f ( (x x) ) x x D

28、 D 若： F F ( (x x) ) 则称 并称 F F( (x x) ) 是 f f ( (x x) ) 的一个原函数， F F( (x x) ) C C 是 f f ( (x x) ) 的所有原函数, 其中 C 是任意常数。 2不定积分： 函数 f f ( (x x) ) 的所有原函数的全体， 称为函数 f f ( (x x) ) 的不定积分；记作： f f ( (x x) )d d x x F F( (x x) ) C C f f ( (x x) ) 称为被积函数；其中： f f ( (x x) )d d x x称为被积表达式； x x 称为积分变量。 3. 不定积分的性质： f f

29、( (x x) )dxdx f f ( (x x) ) 13 / 40 或：d d f f ( (x x) )dxdx f f ( (x x) )dxdx f f ( (x x) )dxdx f f ( (x x) ) C C 或： dfdf( (x x) ) f f( (x x) ) C C 1 12 2n n f f ( (x x) ) f f ( (x x) ) f f ( (x x) )dxdx f f 1 1 ( (x x) )dxdx f f 2 2 ( (x x) )dxdx f f n n ( (x x) )dxdx 分项积分法 kfkf ( (x x) )dxdx k k f

30、 f ( (x x) )dxdx (k 为非零常数) f f ( (x x) )d d ( (x x) ) 4.基本积分公式： 换元积分法： 第一换元法： （又称“凑微元”法） f f ( (x x) ) ( (x x) )dxdx 令令t t ( ( x x) ) 凑微元凑微元 f f ( (t t) )dt dt F F( (t t) ) C C 回代回代t t ( (x x) ) F F ( (x x) ) C C ( (a a, ,b b为为 常常 数数 ， a a 0 0) ) 常用的凑微元函数有： 1o dxdx 1 11 1 d d( (axax) ) d d( (axax b

31、b) ) a aa a 2o x xm mdxdx 1 11 1 dxdxm m 1 1 d d( (axaxm m 1 1 b b) )（m m为常数）为常数） m m 1 1a a( (m m 1 1) ) 1 1 d d( (aeaex x b b) ) a a 3oe ex xdxdx d d( (e ex x) ) a ax xdxdx 1 1 d d( (a ax x), ),( (a a 0 0, ,a a 1 1) ) lnlna a 4o 1 1 dxdx d d(ln(ln x x) ) x x 5o o sinsindxdx d d(cos(cos x x) )cosco

32、s xdxxdx d d(sin(sin x x) ) s s e e2 2c cx x d d x x d d( (t ta an n x x) )c c s s 2 2c cx x d d x x d d( (c c o ot t x x) ) 1 1 1 1 x x2 2 6 dxdx d d(arcsin(arcsin x x) ) d d(arccos(arccos x x) ) 14 / 40 1 1 1 1 x x2 2 dxdx d d( ( a a r r c c t t a a x x) ) n n d d( (a a r rc c c c o o t t x x) ) 2

33、.第二换元法： f f ( ( x x) )dxdx 令令x x ( (t t ) ) f f ( (t t) )d d ( (t t) ) ( (t t) ) f f ( (t t) )d d x x F F( (t t) ) C C 1 1 F F ( (x x) ) C C 反代反代t t 1 1( (x x) ) 第二换元法主要是针对含有根式的被积函数， 其作用是将根式有理化。 一般有以下几种代换： 1o x x t tn n, ,n n为偶数时为偶数时, ,t t 0 0 (当被积函数中有 n n x x 时) 2o x x a asinsint t, ,( (或或x x a aco

34、scos x x), ),0 0 t t 2 2 (当被积函数中有 a a2 2 x x2 2 时) 3o x x a atantant t, ,( (或或x x a acotcott t), ),0 0 t t 2 2 , , (当被积函数中有 a a2 2 x x2 2 时) 4o x x a asecsect t, ,( (或或x x a acsccsct t), ),0 0 t t 2 2 , , (当被积函数中有 x x2 2 a a2 2 时) 分部积分法： 1. 分部积分公式： udvudv u u v v vduvdu u u v v dxdx u u v v u u v v

35、d d x x 2.分部积分法主要针对的类型： 15 / 40 ( (0 0 t t 2 2 ) ) ( (0 0 t t 2 2 ) ) P P( (x x) )sinsinxdxxdx, , P P( (x x) )coscosxdxxdx x xP P( (x x) )e e dxdx P P( (x x) )lnln xdxxdx P P( (x x) )arcsinarcsin xdxxdx, , P P( (x x) )arccosarccosxdxxdx axaxaxax P P( (x x) )arctanarctan xdxxdx, , P P( (x x) )arcarcc

36、otcot xdxxdx e esinsinbxdxbxdx, , e ecoscosbxdxbxdx n nn n 1 1P P( (x x) ) a a x x a a x x a a n n （多项式）其中： 0 01 1 3.选 u 规律： 在三角函数乘多项式中，令 P P( (x x) ) 其余记作;简称“三多选多” 。 在指数函数乘多项式中，令P P( (x x) ) 其余记作;简称“指多选多” 。 在多项式乘对数函数中，令 u u ， u u ， lnln x x u u ， 其余记作;简称“多对选对” 。 在多项式乘反三角函数中，选反三角函数 为 u，其余记作;简称“多反选反”

37、 。 在指数函数乘三角函数中，可任选一函数 为 u，其余记作;简称“指三任选” 。 简单有理函数积分： 1. 有理函数： P P( (x x) ) f f ( (x x) ) Q Q( (x x) ) 其中 P P( (x x) )和和Q Q( (x x) ) 是多项式。 P P( (x x) ) , , 1 1 x x f f ( (x x) ) P P( (x x) ) 1 1 x x2 2 2. 简单有理函数： f f ( (x x) ) P P( (x x) ) f f ( (x x) ) ( (x x a a)( )(x x b b) ) P P( (x x) ) ( (x x a

38、a) )2 2 b b 16 / 40 f f ( (x x) ) 3.2 定积分f(x) 一主要内容 （一）.重要概念与性质 1.定积分的定义：Oa x1x2 1i 1 b x b b a a f f( (x x) )dxdx lim lim f f( ( i i ) ) x x i i i i x x i i 1 1, ,x xi i x x0 0 i i 1 1 n n n n 定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。 定积分的几何意义：是介于x 轴，曲线(x), 直线之间各部分面积的代数和。 x 轴上方的面积取正号，y x 轴下方的面积取负号。+ a 0-bx 2.定积分存在定理： 设

39、：设：y y f f ( (x x) )x x a a, ,b b 若：f(x)满足下列条件之一: 1 1. . f f ( (x x) )连续，连续，x x a a, ,b b ; ; 2 2 . . f f ( (x x) )在在 a a, ,b b 上有有限个第一类间断上有有限个第一类间断 点点; ; 3 3 . . f f ( ( x x) )在在 a a, ,b b 上单调有界上单调有界; ; 则：则： f f ( ( x x) )在在 a a, ,b b 上可积。上可积。 若积分存在，则积分值与以下因素无关： b b 1 1 与积分变量形式无关，与积分变量形式无关，即即 f f (

40、 ( x x) )dxdx a a b b a a f f ( (t t) )dt dt ; ; a a, ,b b 可以任意划分可以任意划分2 2与在与在 a a, ,b b 上的划分无关，即上的划分无关，即; ; 3 3与点与点 i i的选取无关，即 的选取无关，即 i i 可以在可以在x x i i 1 1, , x x i i 上任意选取。上任意选取。 3.牛顿莱布尼兹公式： 积分值仅与被积函数积分值仅与被积函数f f ( (x x) )与区间与区间 a a, ,b b 有关。有关。 17 / 40 若若F F( (x x) )是连续函数是连续函数f f ( (x x) )在在 a a

41、, ,b b 上的任意一个原函数：上的任意一个原函数： b b则：则： f f ( (x x) )dxdx F F( (x x) ) a a F F( (b b) ) F F( (a a) ) a a b b 牛顿莱布尼兹公式是积分学中的核心定理， 其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数 及计算差量的问题。 4.原函数存在定理： 若若f f ( (x x) )连续，连续， x x a a, ,b b , , 则：则： ( (x x) ) x x a a f f ( (t t) )dt dt, ,x x a a, ,b b ( (x x) )是是f f ( (x x) )在在 a a,

42、 ,b b 上的一个原函数，上的一个原函数， 且：且： ( (x x) ) ( ( x x a a f f ( (t t) )dt dt) ) f f ( (x x) ) 5.定积分的性质： 设设f f( (x x), ),g g( (x x) )在在 a a, ,b b 上上 可可 积积 ， 则则 ： 1 1 b bb b a a kfkf( (x x) )dxdx k k a a f f( (x x) )dxdx 2 2 b b a a f f ( (x x) )dxdx a a b b f f ( (x x) )dxdx 3 3 b b a a f f ( (x x) ) g g( (x

43、 x) ) dxdx b bb b a a f f ( (x x) )dxdx a a g g( (x x) )dxdx 4 4 a a a a f f ( (x x) )dxdx 0 0 5 5 b b a a f f ( (x x) ) c c f f ( (x x) )dxdx b b a ac c f f ( (x x) )dxdx( (a a c c b b) ) 6 6 b b a a 1 1dxdx b b a a yyy f(x)g(x) 1 f(x) 0acbx0abx0abx 18 / 40 7 7 f f ( (x x) ) g g( (x x), ),( (a a x

44、x b b) ) 则则 f f ( (x x) )dxdx g g( (x x) )dxdx a aa a b bb b 8 8 估值定理：估值定理： 其中其中m m, ,MM分别为分别为f f ( (x x) )在在 a a, ,b b 上的最小值和最大值。上的最小值和最大值。 yy Mf(x)f(x) m 0abx0abx m m( (b b a a) ) f f ( (x x) )dxdx MM( (b b a a) ) a a b b 9 9 积分中值定理：积分中值定理： 若若f f ( (x x) )连续连续x x a a, ,b b , ,则：必存在一点则：必存在一点 a a, ,

45、b b , , 使使 f f ( (x x) )dxdx f f ( ( ) ) ( (b b a a) ) a a b b （二）定积分的计算： 1.换元积分 设设f f ( (x x) )连续，连续，x x a a, ,b b ，x x ( (t t) ) 若若 ( (t t) )连续，连续，t t , , , , 且当且当t t从从 变到变到 时，时， ( (t t) )单调地从单调地从a a变到变到b b, , ( ( ) ) a a, , ( ( ) ) b b, , 则：则： f f ( (x x) )dxdx f f ( (t t) ) ( (t t) )dt dt a a b

46、b 19 / 40 2.分部积分 b b b b b b a a u ud d v v u u v v a a a a v v d d u u 3.广义积分 0 0 f f ( (x x) )dxdx f f ( (x x) )dxdx 0 0 f f ( (x x) )dxdx 4.定积分的导数公式 x x 1 1（ a a f f ( (t t) )dt dt) ) x x f f ( (x x) ) 2 2 ( (x x) ) a a f f ( (t t) )dt dt x x f f ( (x x) ) ( (x x) ) x x) ) 3 3 2 2 ( ( f f ( (t t)

47、 )dt dt 1 1 ( (x x) ) x x f f 2 2 ( (x x) ) 2 2 ( (x x) ) f f 1 1( (x x) ) 1 1 ( (x x) ) (三)定积分的应用 1.平面图形的面积: 1 1 由由y y f f ( (x x) ) 0 0, ,x x a a, ,x x b b, ,( (a a b b) ) 与 x 轴所围成的图形的面积yf(x) b b s s a a f f ( (x x) )dxdx 2 2 由由y y 1 1 f f ( (x x), ),y y 2 2 g g( (x x), ),( ( f f g g) ) 与与x x a a,

48、 , x x b b所围成的图形的面积所围成的图形的面积 s s b b a a f f ( (x x) ) g g( (x x) ) dxdx 3 3 由由x x 1 1 ( (y y), ),x x 2 2 ( (y y), ),( ( ) ) 与与y y c c, , y y d d所所 围围 成成 的的 图图 形形 的的 面面 积积 s s d d ( ( y y) ) ( ( y y) ) d d y y c c 4 4 . .求平面图形面积的步骤求平面图形面积的步骤： .求出曲线的交点，画出草图； .确定积分变量，由交点确定积分上下限； .应用公式写出积分式，并进行计算。 2.旋转

49、体的体积 20 / 40 1 1 曲线曲线y y f f ( (x x) ) 0 0, ,与与x x a a, , x x b b 及 x 轴所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积： 2 2V V f f x x ( (x x) )dxdx a a 0abx b b 2 2 由曲线由曲线x x ( (y y) ) 0 0, ,与与y y c c, , y y d d 及 y 轴所围成图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积： V V y y 2 2( (y y) )dydy c c d d 第四章 多元函数微积分初步 4.1偏导数与全微分 一. 主要内容： .多元函数的概念 c) 二元函数的定义：

50、z z f f ( (x x, , y y) )( (x x, , y y) ) D D 定义域：定义域：D D( ( f f ) ) d) 二元函数的几何意义： 二元函数是一个空间曲面。 （而一元函数是平面上的曲线） .二元函数的极限和连续： 1.极限定义：设()满足条件： 21 / 40 1 1在点在点( (x x 0 0 , , y y 0 0 ) )的某个领域内有定义。的某个领域内有定义。 （点（点( (x x 0 0 , , y y 0 0 ) )可除外）可除外） 2 2limlim f f ( (x x, , y y) ) A A x xx x0 0 y yy y0 0 则称则称z

51、 z f f ( (x x, , y y) )在在( (x x 0 0 , , y y 0 0 ) )极限存在，且等于极限存在，且等于 A A。 2.连续定义：设()满足条件： 1 1在点在点( (x x 0 0 , , y y 0 0 ) )的某个领域内有定义。的某个领域内有定义。 2 2limlim f f ( (x x, , y y) ) f f ( (x x 0 0 , , y y 0 0 ) ) 则称则称z z f f ( (x x, , y y) )在在( (x x , , y y ) )处连续。处连续。 x xx x0 0 0 00 0 y y y y0 0 .偏导数： 定义定义

52、 : : f f ( (x x, , y y), ),在在( (x x 0 0 , , y y 0 0 ) )点点 f f ( (x x 0 0 x x, , y y 0 0 ) ) f f ( (x x 0 0 , , y y 0 0 ) ) f f x x ( (x x 0 0 , , y y 0 0 ) ) limlim x x0 0 x x f f ( (x x 0 0 , , y y 0 0 y y) ) f f ( (x x 0 0 , , y y 0 0 ) ) f f y y ( (x x 0 0 , , y y 0 0 ) ) limlim y y0 0 y y ( (x x

53、 0 0 , , y y 0 0 ), ), f f y y ( (x x 0 0 , , y y 0 0 ) )分别为函数分别为函数f f x x f f ( (x x, , y y) )在在( (x x 0 0 , , y y 0 0 ) ) 处对处对x x, , y y的偏导数。的偏导数。 z z f f ( (x x, , y y) )在在D D内任意点内任意点( (x x, , y y) )处的偏导数记为：处的偏导数记为： f f x x ( (x x, , y y) ) f f ( (x x, , y y) ) z z z z x x x x x x f f ( (x x, , y

54、 y) ) z z f f y y ( (x x, , y y) ) z z y y y y y y .全微分： 1.定义：() 若若 z z f f( (x x x x, , y y y y) ) f f( (x x, , y y) ) A A x x B B y y o o( ( ) ) 其中，其中，A A、B B与与 x x、 y y无关，无关，o o（ ）是比）是比 22 / 40 x x2 2 y y2 2较较 高高 阶阶 的的 无无 穷穷 小小 量量 。 是是z z f f ( (x x, , y y) ) 3. 则则: :dzdz dfdf ( (x x, , y y) ) A

55、A x x B B y y 在点()处的全微分。 全微分与偏导数的关系 定理：若定理：若f f x x ( (x x, , y y), ), f f y y ( (x x, , y y) )连续，连续， ( (x x, , y y) ) D D. . 则：则：z z f f ( (x x, , y y) )在点在点( (x x, , y y) )处可微且处可微且 dzdz f f x x ( (x x, , y y) )dxdx f f y y ( (x x, , y y) )dydy .复全函数的偏导数： 1.设： 设：z z f f ( (u u, ,v v), ),u u u u( (x

56、 x, , y y), ),v v v v( (x x, , y y) ) z z f f u u( (x x, , y y), ),v v( (x x, , y y) ) z z z z u u z z v v 则：则： x x u u x x v v x x z z z z u u z z v v y y u u y y v v y y 2. 设设y y f f( (u u, ,v v), ),u u u u( (x x), ),v v v v( (x x) ) y y f f u u( (x x), ),v v( (x x) ) dyy duy dv dxu dxv dx .隐含数的偏导数： 1. 设设F F( (x x, , y y, ,z z) ) 0 0, ,z z f f ( (x x, , y y), ),且且F F z z 0 0 F F y y F F x x z z z z