成考高等数学(二)重点及解析(详细版)

1、成考专升本高等数学成考专升本高等数学（二）（二）重点知识及解析重点知识及解析（占（占 130130 分左右）分左右） 第一章、函数、极限和连续（第一章、函数、极限和连续（2222 分左右）分左右） 第一节、函数第一节、函数（不单独考，了解即可）（不单独考，了解即可） 一、复合函数：一、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。 2 例如例如：y lnsin x是由y lnu，u v和v sin x这三个简单函数复合而成. v 例如：例如：y arctane是由y arctanu，u e和v 3x这三个简单函数复合而成. 3x 2 该部分是后面求导的关键！ 二、基本初等函数二、

2、基本初等函数： （1） 常值函数：y c（2） 幂函数：y x（3） 指数函数：y a(a 0,且a 1) （4）对数函数：y log a x(a0,且a 1) （5）三角函数：y sin x，y cosx，y tan x，y cot x，y secx，y cscx （6）反三角函数：y arcsin x，y arccosx，y arctanx，y arccot x 其中：（正割函数）secx x 11 ，（余割函数）cscx cosxsin x 三、三、初等函数：初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算，并能用一个解析式表 示的函数称为初等函数。他是高等数学的主要研究对象！ 第

3、二节、第二节、 无穷小与无穷大无穷小与无穷大（有时选择题会单独考到，（有时选择题会单独考到，也是后面求极限的基础）也是后面求极限的基础） 一、无穷小一、无穷小 1 1、定义：、定义：以 0 为极限的量称为无穷小量。 注意：注意： （1）一个变量否是无穷小量与他的自变量的变化趋势紧密相关。 （2）只有 0 能能作为无穷小的唯一常量，千万不能将无穷小与很小的常量混为一谈。 2 例例 1 1：极限lim x 1 0，即当x 1时，变量x 1是无穷小； x1 2 但是当x 0时，x 1就不是无穷小，因为此时他的极限值不为零。所以表述无穷小时必 须指明自变量的变化趋势。 例例 2 2：下例变量在给定的变

4、化过程中为无穷小的是（）. 1 1x3 2 A、sin (x 0) B、ex(x 0) C、ln1 x (x 0) D、 2 x 3 xx 9 2 1 / 41 E、1cosx(x 0) F、2x1(x 0) G、 1 x1 (x 1) H、 2 sin x (x 0) x 答案答案：选 C、E、F、H ，因为上述选项的极限值均为零！ 二、无穷大二、无穷大 1 1、 定义：定义： 当x xo（或x ） 时，f (x)无限地增大或无限减小， 则称f (x)是当x xo （或x ）的无穷大。 注意注意： （1）无穷大是变量，不能与很大的常量混为一谈。 （2）无限增大是正无穷大（） ，无限减小是负无

5、穷大（） 。 三、无穷小和无穷大的关系：三、无穷小和无穷大的关系：若f (x)为无穷大，则 1 为无穷大 f (x) 2 1 为无穷小；若f (x)为无穷小 f (x) （f (x)0） ，则 1 为无穷大。 2x 4 1 当x 时，2x1为无穷大，则为无穷小。 2x1 例如：例如：当x 2时，x 4为无穷小，则 第三节、极限的运算方法第三节、极限的运算方法（重中之重！选择、填空和解答题都会考到）（重中之重！选择、填空和解答题都会考到） 一、直接代入法：一、直接代入法：对于一般的极限式（即非未定式） ，只 要将x0代入到函数表达式中，函数值即是极限值。 注意：注意： （1）常数极限等于他本身，

6、与自变量的变化趋势无关.即limC C，C为任意常数 （2）求极限时首先考虑用代入法， 但是该方法只能针对x x0的时候，而x 时 则不能用代入法，因为是变量，并非实数！ 例例 1 1：lim 4 4，lim3 3，limlg 2 lg2，lim，lim 0 0 xx1x x x100 6 x3123177 lim 2 例例 2 2：lim 2 lim x2 x 5x3 x22 523x23 3 例例 3 3：lim(e sin x)lim e sin010 1 x0 x0 x 0 x2333 0 例例 4 4：lim 2 lim 0 x 3 x 1 x 3 31 4 二、未定式极限的运算法二

7、、未定式极限的运算法（重点，每年必考一题！（重点，每年必考一题！） 2 / 41 0 1 1、未定式定义：、未定式定义：我们把 、， ， ，1等极限式称为未定式，因为它们的极限值 0 是不确定的，可能是无穷小，可能是不为零的常数，也可能是无穷大。 注意：注意：确定式是指极限值是确定的一个值，不用通过计算就可以推断出。 2 2、四则运算中常见的几个未定式和确定式、四则运算中常见的几个未定式和确定式 0 为未定式 0 （2） 为未定式， 为未定式， ，为未定式 上述和下述的0都代表无穷小，即极限值为零的量。 （1）00 0，00 0，00 0， 3 3、几个重要未定式的计算方法几个重要未定式的计算

8、方法 0 （1）对于未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将x0代入后函数值即是 0 极限值。 （对于分子、分母有根号的特殊情况，要先消去根号，然后提取公因式） （2）对于 未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无 0 0 穷小的这一关系进行计算。 （3）对于未定式：先通分将转化成或 算方法进行计算。 0 的形式，然后再用上述或的计 0 x22x10 例例 1 1：计算lim.未定式，提取公因式 x1 x210 x1x1 解：原式lim lim x1 x1x1 x1 x1 2 0 0 2 x380 例例 2 2：计算lim.未定式，提取公因式 x2 x20

9、 (x2)(x22x4) 2 解：原式= lim = lim(x 2x4) 12 x2x2 x2 13x210 例例 3 3：计算lim.未定式，先去根号再提取公因式 2 x0 x0 解：原式lim x0 ( 13x21)( 13x21) x2( 13x21) lim x0 3x2 x2( 13x21) lim x0 3 213x 12 3 3x22x1 3 x 例例 4 4：计算lim 3 .未定式，分子分母同除以 x2x x25 3 / 41 321 2 3x 0 0 无穷大倒数是无穷小，因此分子是0 分母是 2解：原式lim xx x 15 2 3 2 xx n 23 例例 5 5：计算

10、lim 2 .未定式，先求极限再开三次方 n 2n 1 3 31 2 2 n 3 n 解：原式lim 2 lim nn 2n 1 2 1 n2 例例 6 6：计算lim 3 131 2 8 3 41 2 . 未定式，先通分，后计算 x2 x2x 4 解：原式lim x2x24x211 limlimlim x2 x24 x2x24x2 x2x2 x2x2 4 22 注意常用的几个代数转换公式：注意常用的几个代数转换公式： a b abab 2a3b3aba2abb2a3 b3aba a b 2b 三、利用两个重要的极限三、利用两个重要的极限（重点掌握公式（重点掌握公式，一般考选择、填空），一般考

11、选择、填空） sin x 1 1、公式、公式：lim =1（把结论记住即可，重点掌握后面的等价无穷小的替换） x0 x 1 1 2 2、公式、公式：lim1 =e或 lim1 xx=e x0 x x x （1 1）适用范围）适用范围：一般用于“1” 未定式的极限式 （2 2）解题方法）解题方法： 通常用换元法，先将复杂的变量换元成新变量t，再将原极限式中的变量 x用新变量 t 的进行代换，然后转化为公式的形式，最后进行计算。 注意：注意：由于换元时引入了新变量，要求出新变量的变化趋势。 例例 1 1：计算lim13x.1未定式，先换元然后用公式求解 x0 1 x 解：令t 3x，得x ，即 t

12、 3 13 将复杂的变量3x换元成新变量 t xt 3 当x 0时，t 0求出新变量的变化趋势 所以原式lim1t t0 3 t 1 lim 1tt e3 转换成新变量的极限式后再用公式求 t0 4 / 41 1 例例 2 2：计算lim1 x 2x 解：令t x1 .1未定式，先换元然后用公式求解 111 ，得x ，即x1 1先换元 2x2t2t 当x 时，t 0求出新变量的变化趋势 所以原式lim1t t0 1 1 2t lim1t t0 1 2t lim(1t)lim 1t t0t0 1 1 t 1 2 1e 1 2 四、利用等价无穷小的代换求极限四、利用等价无穷小的代换求极限（重点、每

13、年必考一题！（重点、每年必考一题！） 1 1、等价无穷小的定义：、等价无穷小的定义： 设和是同一变化过程中的两个无穷小，即lim lim 0 如果lim =1，称与是等价无穷小，记作. sin x =1 ，所以当x 0时，sinx与x是等价无穷小. x0 x f (x)1 例例 2 2：当x 0时，函数f (x)与tanx是等价无穷小，则lim=. x02tan x 2 2 2、用等价无穷小的代换求极限、用等价无穷小的代换求极限 （1 1）定理：）定理：设、均为无穷小，又，且lim存在 则lim=lim或 lim lim 例例 1 1：由公式可知极限lim 注意：注意： 利用等价无穷小的代换求

14、极限能起到简化运算的作用， 但是等价无穷小的代换只能对 分子、分母的乘除因子进行代换，不能对分子、分母的加减式子进行代换。 （2 2）常用的等价无穷小代换（）常用的等价无穷小代换（7 7 个）个） ：当x 0时，1cosx 1 2x ，ln(1 x)x， 2 ex1x，sin xx,tanxx,arcsinxx,arctanxx, , 注意：注意：这 7 个等价无穷小务必熟记，是我们做一些极限题目的必备“工具” 。在使用时要注 意这 7 个等价无穷小的代换前提是x 0的时候，代换时也要根据题意要灵活运用！ tan(3x)3x,arcsin(x)x,arctan4x 4x,例例 1 1： 当x

15、0时，sin2x2x， 22 1 cosx1x2，1cos2x2x2，ln(12x)2x，e5x15x 2 sin2x2x2 2 limlim 例例 2 2：极限limsin2x用 2x等价代换 x0 5x x05xx05 5 5 / 41 极限lim tan3x3x limlim3 3 tan3x用3x等价代换 x0 x x0 x x0 1cos2x 例例 3 3：计算lim. x0 xsin x 2 解：当x 0时，1cos2x2x，sin xx等价代换 2x2 所以原式lim 2 lim22 计算 x0 x x0 例例 4 4：计算lim ln(13x) . x0 sin2x 解：当x

16、0时，ln(13x)3x，sin2x2x等价代换 所以原式lim 3x33 lim 计算 x0 2x x0 22 x0 例例 5 5：计算lim x11 . tan2x 解：当x 0时，tan2x2x等价代换 x11 lim 所以原式lim x0 x0 2x x11 2x x11 x11 lim x0 x 2xx11 lim x0 1 2x11 = 1 先去根号，再计算 4 第四节、函数的连续性第四节、函数的连续性（每年考一题，都以选择或填空形式出现）（每年考一题，都以选择或填空形式出现） 一、函数的连续性一、函数的连续性（往往考已知函数在某点（往往考已知函数在某点x 0 处连续，求一个未知量

17、常数）处连续，求一个未知量常数） 1 1、函数在点、函数在点x 0 处的连续处的连续 定义：定义：设函数f (x)在x0的某范围内有定义，如果函数f (x)满足 xx0 lim f (x) f (x 0 ) ，则称f (x)在点x0处连续 xx0 xx0 f (x) lim f (x) f (x 0 )2 2、 函数在点函数在点x 0 处连续的充要条件处连续的充要条件lim 即函数在x0既满足左连续又满足右连续（左连续对应左极限，右连续对应右极限） 6 / 41 x9 3 ，x 0 x 例例 1 1：设函数f (x)=在x 0处连续，求k.（分段函数） k ，x 0 解：因为函数f (x)在x

18、 0处连续，即满足lim f (x) f (0) x0 因为lim f (x)lim x0 x0 x9 3x1( x9 3)( x9 3) limlim x0 x0 xx( x9 3)6 x( x9 3) 且f (0)=k，所以k= 1 . 6 2xke ， x0 例例 2 2：设函数f (x)=在x 0处连续，求k.（分段函数） 1cosx ，x 0 解：因为函数f (x)在x 0处连续，lim f (x) lim f (x) f (0) x0 x0 ke 因为lim f (x)=lim x0 x0 2x k ，lim f (x)=lim(1cosx) 2，且f (0)=2 x0 x0 所以

19、k 2. sin2x ， x0 x 例例 3 3：设函数f (x)=在x 0处连续，求a. 3x22xa ，x 0 解：因为函数f (x)在x 0处连续，lim f (x) lim f (x) f (0) x0 x0 因为lim f (x)lim x0 x0 sin2x2x x22xa) alimf (x)=lim(32 ， lim x0 x0 x x0 x 且f (0)=a，所以a 2 注：以上三题均为分段函数，由于数学编辑器问题，大括号打不出来，请同学们自己填加！ 7 / 41 第二章、一元函数微分学（第二章、一元函数微分学（4545 分左右）分左右） 第一节、导数与微分第一节、导数与微分

20、 一、导数的概念一、导数的概念（知道导数的符号如何表示即可）（知道导数的符号如何表示即可） 1 1、导数的表示符号、导数的表示符号 （1）函数f (x)在点x 0 处的导数记作： f(x 0 )，y xx0， dy dxxx0 或 df (x) dxxx0 （2）函数f (x)在区间（）内的导数记作： f (x )，y， dydf (x) 或 dxdx 二、求导公式二、求导公式（重点，是解题的关键，必须记住！（重点，是解题的关键，必须记住！） （1）(c) 0（C 为常数）（2）(x ) x xxxx 1 （3）(a ) a lna，(e ) e（4）(log a x) 11 ，(ln x)

21、xlnax （5）(sin x) cos x（6）(cos x) sin x （7）(tan x) sec x （9）(arcsin x) 2 11 2 （8）(cot x) csc x cos2xsin2x 2 1 1 x （10）(arccosx) 1 1 x2 （11）(arctan x) 11 （12）(arccot x) 221 x1 x 例：例：1、 x =3x 3 x 2 2、 1 1 xx2 3、 sin =0 26 4、 (2 ) 2 ln2 5、lg2 0 6、lgxlog 10 x x 1 xln10 三、导数的四则运算三、导数的四则运算（必考题型，选择、填空、解答题均有

22、可能出现）（必考题型，选择、填空、解答题均有可能出现） 1 1、运算公式、运算公式（设 （设 U U，V V 是关于是关于 X X 的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的U U 和和 V V 即可，代入后用导数公式求解即可，代入后用导数公式求解. .） （1）(u v) u v（2）(uv) uvuv u uvuv （3）(Cu) Cu（C为常数）（4）( ) 2vv 8 / 41 例例 1 1：已知函数y x 3cos x2，求y. 334 解：y x 3cosx24x 3sin x0 4x 3sin x 4 例例 2 2：已知函数f (x)

23、 x ln x，求f (e). 222 解：f (x) xln x x ln x 2xln x x 2 1 2xlnx x x 所以f (e)=2elnee 2ee 3e 例例 3 3：已知函数f (x) x f (1). ，求 21 x 2 解：f (x) x1 x x 1 x 1 x x2x 1 x 1 x 1 x 1 x 22 2 2 2 2 2 2 2 所以f (1) 112 11 2 2 0 四、复合函数的求导法则四、复合函数的求导法则（必考题型，选择、填空、解答题均有可能出现）（必考题型，选择、填空、解答题均有可能出现） 1 1、方、方 法法 一一： 例如例如求复合函数y sin

24、x的导数. （1 1）首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的）首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的. . 如y sin x由y sinu和u x这两个简单函数复合而成 （2 2）用导数公式求出每个简单函数的导数）用导数公式求出每个简单函数的导数. . 即 2 2 2 dydu =cosu，=2x dudx dydydu =2xcosu=2xcosx2 dxdudx （3 3） 每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数； 注意中间变量要用原变量注意中间变量要用原变量x替代回去替代回去. . 所以 2 2、方、方 法法 二（直接求导法）二

25、（直接求导法） ： 如果对导数公式很熟悉， 对复合函数的过程十分清楚， 可以不必写出中间变量而直接对复合 2 函数从外往里求导.例如例如(sin x ) cos x (x )2xcosx 222 例例 1 1：设函数y 1 x2，求y.（用方法一求解） 解：该函数是由y u和u 1 x2复合而成， 9 / 41 1dy1 1 du u2 且，=2x. du2dx2 u 所以 x1xdydydu 2x= 2dxdudx2 uu1 x sin 1 x例例 2 2：设函数y e 解：ye ，求y.（用方法二求解） 1 1 1 1 sin x 2 ecos x x x sin 1 x sin 1 1

26、sin 1 1 xxee(sin)cos xx 注意：注意：同学们在解题是要结合自己的基础以及对公式的熟练程度选择其中的一种求解方法. 五、导数的几何意义五、导数的几何意义（可能会考到选择、填空）（可能会考到选择、填空） 1 1、导数的几何意义、导数的几何意义：y f (x)在点x 0 处的导数f (x 0 )就是曲线在点x 0 处切线的斜率， 即 k 切 f (x 0 ) 2 2、切线方程的求法：、切线方程的求法：用点斜式（即已知点和斜率）去求切线方程 设函数y f (x)，则该函数在点x0, y0处的切线方程为：y y0 f 例例 1 1：求函数y e 解：因为y e 即k 切 y x0

27、2x x 0 xx 0 在点M(0,1)处的切线方程. 2x e2x2x2e2x 先求导 x0 2e2x2 再求切线斜率，即把x0代入导数中 所以切线方程为：y1 2x0，即y 2x1.用点斜式求出切线方程 六、高阶导数六、高阶导数（每年考一题，一般考求二阶或三阶导数）（每年考一题，一般考求二阶或三阶导数） 1 1、定义：、定义：如果函数y f (x)的导数f (x )在点x处可导，就称f (x )的导数为函数 d2yd2f (x) y f (x)的二阶导数，记作：y ，f (x)， 2 或 2 dxdx 我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数. 2 2、求法：、求法： （1）二阶导数就是对一

28、阶导数再求一次导 （2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导 （3）同理得四阶、五阶导数的求法 10 / 41 d3y 例例 1 1：已知y 5sin x，求 3 . dx d2yd3ydy 解：因为=5cos x，且 2 =5sin x，所以 3 =5cos x dxdxdx 例例 2 2：已知y e，求y 2x x0 . 解：y e 即y x0 2x2x2e2x，所以y=2e2x2x=4e2x =4 七、微分七、微分（每年考一题，考选择、填空或者解答题）（每年考一题，考选择、填空或者解答题） 1 1、微分的求法、微分的求法： （1）求出函数y f (x)的导数f (x ). （

29、2）再乘以dx即可.即dy f (x)dx. （因为我们习惯用dx表示x） 例例 1 1：已知y ln x，求dy和dy 解：因为yln x 所以dy= 2 x1 . 2 12 2 1 x2x x2x2x x1 2 dx ，即dy x 4 =2dx（dx是微分的一个标志，故切勿将x 1代入dx中） 例例 2 2：设函数y x cos x，求dy. 解：因为y x4cosx x4cosx 4x3cosx x4sin x 所以dy=4x3cosx x4sin x dx 第二节、洛必达法则第二节、洛必达法则（考的话考解答题，考的可能性为百分之（考的话考解答题，考的可能性为百分之 5050左右）左右）

30、 1 1、洛必达法则介绍：、洛必达法则介绍： 在一定条件下通过分子、 分母分别求导， 再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 f (x)f(x) lim A(或) 公式：lim g(x)g (x) 2 2、使用洛必达法则应当注意的地方：、使用洛必达法则应当注意的地方： 00 （1）只能对或才能使用洛必达法则，如果是未定式一定要先通分化成或 00 才能使用洛必达法则. 11 / 41 （2）在使用洛必达法则时，是对未定式的分子、分母分别同时求导，再求极限. （3）在应用一次洛必达法则后，仍然是 0/0 或/，则可继续使用洛必达法则，如此 继续下去直到求出极限为止。在重复使用洛必达法则时，必

31、须一步一检查，一旦发 现不是未定式，就要停止使用. （4）洛必达法则是求未定式的重要方法之一，使用时最好与等价无穷小代换等求极限的 方法一起使用，这样才能较快、简便地求极限. ex1x 0 例例 1 1：求lim未定式，因不能提取公因式，故用洛必达法则 x 0 sin2x 0 ex1 x 解：原式=lim为了简化计算，先将sinx用x作等价替换 x0 x2 ex1 =lim用洛必达法则，分子、分母同时求导 x0 2x ex0 =lim上式还是未定式，故继续使用洛必达法则 x0 20 e01 上式不是未定式，故将0 代入函数中 22 ln x .未定式，故用洛必达法则 x x2 1 1 解：原式

32、lim x lim0 分子、分母同时求导 x2xx2x2 例例 2 2：求lim 第三节、导数的应用第三节、导数的应用（非常重要，每年必考，选择、填空和解答都会考到）（非常重要，每年必考，选择、填空和解答都会考到） 一、函数的单调性及单调区间的求法一、函数的单调性及单调区间的求法 1 1、 定理定理：设函数f (x)在区间(a,b)内可导 （1）如果在(a,b)内，恒有f (x)0，则f (x)在(a,b)内单调递增. （2）如果在(a,b)内，恒有f (x)0，则f (x)在(a,b)内单调递减. 2 2、 单调区间的求法单调区间的求法（重点）（重点）： （1）求出f (x)的导数f (x)

33、. （2）令f (x)=0，求出函数f (x)的驻点. （3）可以通过数轴，判断出上述驻点将函数的定义域划分成了几个部分区间. 12 / 41 （4）判断f (x)在每个部分区间的符号，如果f (x)0，则该区间为单调递增区间，如 果f (x)0，则该区间为单调递减区间. 例例 1 1：求函数y x 3x 1的单调区间. 2 解：y 3x 6x=3xx2， 令y 0，得驻点x 1 0和x 2 2 32 因为函数y的定义域为 ,，故驻点 x 1 ，x2将定义域划分成 ,0，0,2和 2,三个区间. 当 x0 时，y0，所以y在区间,0上单调递增. 当 0 x2 时，y0，所以y在区间0,2上单调

34、递减. 当 x2 时，y0，所以y在区间2,上单调递增. 例例 2 2：求函数y xln(x1)的单调区间. 解：y 1 1x =，令y 0，得驻点x 1 0 x1x1 因为函数y的定义域为1,，故驻点x 1 0将定义域划分成1,0和0,两个部 分区间. 当-1x0 时，y0，所以y在区间1,0上单调递减. 当 x0 时，y0，所以y在区间0,上单调递增. 注意注意：因为对数函数的定义域大于零，所以题目中的对数函数ln(x1)的定义域为 10， 即 x-1. 二、函数的极值及其求法二、函数的极值及其求法 1 1、 极值的定义：极值的定义：极大值点对应的函数值是极大值，极小值点对应的函数值是极小

35、值. 2 2、驻点的定义：、驻点的定义：我们把满足f(x) 0的点x 0 称为函数的驻点. 3 3、极值的必要条件：、极值的必要条件：对于可导函数而言，极值点一定是驻点，但是驻点未必是极值点 4 4、极值的第一充分条件、极值的第一充分条件（必须掌握）（必须掌握）： 若x0是可导函数f (x)的驻点，则有以下三种情况： （1）若xx0时，f (x)0；xx0时，f (x)0，则f (x0)为f (x)的极大值，x0为 13 / 41 极大值点 （2）若xx0时，f (x)0；xx0时，f (x)0，则f (x0)为f (x)的极小值，x0为 极小值点 （3）若xx0和xx0时，f (x)不变号，

36、那么f (x0)不是极值，x0不是极值点 5 5、求极值的步骤、求极值的步骤（重点）（重点） （1）求出f (x)的导数f (x) （2）令f (x)=0，求出f (x)的驻点，记为xi（i 1,2,3） （3）再用第一充分条件去判断，若f (x)在xi的左右两侧互为异号的，则xi是极值点， （左 正右负是极大值点，左负右正是极小值点，可根据实际题意作图判断） ；若f (x)在xi的左 右两侧互为同号的，则xi不是极值点。 （4）将极值点代入函数表达式中，极大值点对应的是极大值，极小值点对应的是极小值。 例例 1 1：求函数y x 3x 1的极值. 2 解：y 3x 6x=3xx2， 令y 0

37、，得驻点x 1 0和x 2 2 32 因为函数 y的定义域为 ,，故驻点 x 1 ，x2将定义域划分成 ,0，0,2和 2,三个部分区间. 当 x0 时，y0，当 0 x2 时，y0，故x 1 0是极大值点. 当 x2 时，y0， 故x2 2是极小值点. 所以函数的极大值为f (0) 1，极小值为f (2) 5. 例例 2 2：求函数y xe的极值. 解：y xe x x xex ex xexex(1 x)，令y 0，得驻点x 1 1 因此x 1 1将函数定义域,划分成,1和1,两个部分区间. 当x1时，y0，当x1时，y 1 0，故x 1 1是极大值点. 所以函数的极大值为f (1) e.

38、14 / 41 三、曲线的的凹凸性及拐点三、曲线的的凹凸性及拐点 1 1、 定理定理：设f (x)在(a,b)内二阶可导 （1）如果在(a,b)内的每一点x，恒有f (x) 0，则曲线在(a,b)内是凹（下凸）的. （2）如果在(a,b)内的每一点x，恒有f (x) 0，则曲线在(a,b)内是凸（上凸）的. 2 2、 拐点的定义拐点的定义：把曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点. 3 3、 曲线凹凸区间和拐点的求法（曲线凹凸区间和拐点的求法（重点，出现在解答题的概率较大重点，出现在解答题的概率较大） （1）求出函数f (x)的二阶导数f (x) （2）求出f (x) =0 的点，记为xi（i 1,

39、2,3） （3）检验f (x) 在上述每个点 x i 两侧的符号，若在 x i 的两侧，f (x) 互为异号，则 x i , f (x i )为曲线的拐点；若在x i 的两侧，f (x) 互为同号，则xi, f (xi)不是曲 线的拐点. （4）使f (x) 0 的x的取值范围，为f (x)的凹区间；使f (x) 0 的x的取值范围， 为f (x)凸区间. 例例 1 1：求函数y x 3x 1的凹凸区间和拐点. 解：y 3x 6x，则y=6x6，令y=0，得x 1 1 2 32 当 x1 时，y0，所以,1是函数的凸区间. 当 x1 时，y0，所以1,是函数的凹区间. 所以拐点坐标为1,3.

40、例例 2 2：求函数y lnx 的凹凸区间和拐点. x lnx xlnxx 解：f (x) x2 = 1ln x x2 22 31ln xx 1ln xx 2ln x3 则f (x).令f (x)=0，得x 1 e2 43xx 15 / 41 33 因此x 1 e 将函数定义域0,分成两个区间：0,e2和e2,. 3 2 当 0 xe时，f (x) 0，故0,e2是函数的凸区间. 3 2当 xe时，f (x)0，故e ,是函数的凹区间. 3 2 3 2 3 3 33 所以拐点坐标为e2, e2 . 2 注意：注意：对数函数的定义域大于零，切记！ 例例 3 3：曲线y ax bx 1以1,3为拐

41、点，求a、b. 32 解：由题意得y 3ax 2bx，y=6ax2b 2 因为该曲线以1,3为拐点，得方程组ab13（1） 6a2b 0（2） 由（1） 、 （2）方程解得a 1和b 3. 注意：注意：拐点不仅是函数坐标上的点，也一定是函数二阶导数等于零的点！ 16 / 41 第三章、一元函数的积分学第三章、一元函数的积分学 （4848 分左右）分左右） 第一节、不定积分第一节、不定积分 一、原函数一、原函数（一般考一题选择或填空）（一般考一题选择或填空） 1 1、原函数的定义 原函数的定义：设F(x)是区间 I 上的一个可导函数，对于区间 I 上的任意一点x， 都有F (x) f (x)，

42、或dF(x) f (x)dx 则称F(x)是f (x)在区间 I 上的一个原函数. 例例 1 1：(sin x) cos x，因此sinx是cosx的一个原函数.而cosx是sin x的导数. 由于(sin xc) cosx，其中 C 为任意常数，可见只要函数有一个原函数，那么他的原函 数就有无穷多个. 例例 2 2：设f (x)的一个原函数为 1 ，求f (x). x 1111 解：因为是f (x)的一个原函数，即F(x)=，所以f (x)F (x) 2 . xx x x 1 2 得f (x) 2 3 x x 例例 3 3：函数f (x)=e的一个原函数是（ C ）. A、e B、e C、e

43、 D、e 解：可以用逐项排除法，只有e xxxx x x =ex ，故选 C. 二、不定积分二、不定积分 1 1、定义定义：我们把f (x)带有任意常数项的原函数（或称原函数的全体）称为f (x)在区间 I 上的不定积分，记作： 其中： f (x)dx F(x)C x为积分变量， 为积分号，f (x)为被积函数，f (x)dx为被积表达式，F(x)为f (x) 的一个原函数，C 为任意常数. 注意：注意：不定积分是原函数的的全体，因此计算结果常数勿忘！ C 2 2、不定积分的性质、不定积分的性质 1f (x) g(x)dx f (x)dxg(x)dx 2kf (x)dx kf (x)dx（k为

44、常数） 3 3、基本积分公式、基本积分公式（一定要熟记，可以结合求导公式去记忆）（一定要熟记，可以结合求导公式去记忆） 17 / 41 10dx C2kdx kxC（k 为常数） x11 C( 1) 4 dx ln x C 3x dx 1x 5cosxdx sin xC6sin xdx cosxC 7 11 8dx tan xC cos2x sin2x dx cotxC x ax C 10exdx exC9a dx lna 11 dx 1 x2 arcsin xC 12 dx arctan xC 21 x 2x C2sin xdx -2cos xC 例例 1 1：3dx 3xC 2 dx ln

45、2 x x4 Cx dx 4 3 2 11 dx C x2x 3 3 4 xdx x3C 4 tan3x C （前后变量都是tanx，故计算此类积分将tanx看例例 2 2：tan xd tan x 3 成一个整体变量u，套用公式3进行计算！ ） 又如： 32 ln xd ln x ln x2 C 3 cos1xd cosx ln cosx C 例例 3 3：设f (x)dx cos2xC，求f (x). 解：因为f (x)的原函数为cos2xC，即F(x) cos2xC 所以f (x)F (x) cos2xC 2sin 2x. 三、不定积分的计算方法三、不定积分的计算方法（重中之重，选择、填

46、空，计算都会考到）（重中之重，选择、填空，计算都会考到） 1 1、直接积分法、直接积分法：对被积函数进行恒等变形，并用积分性质和积分公式进行积分的方法. 通常用到的变形有 （1）将有带有根号的函数去根号从而转换为幂函数的形式. 然后利用积分公式进行积分. 例如：例如： 3 3 5 x dx x dx x3 5 2 2 3 1 2 dx 2x2dx 4 x C x （2）被积函数为假分式时，可以通过把分子拆成2 项或者分子加、减某一项后，使被积函 18 / 41 数化成 2 个分式之和. 然后利用积分公式进行积分. x2x2111 dxdx 例如：例如：（分子+11） (1)dxxarctanx

47、C 222 1 x1 x1 x （3）此外还会经常用到对数函数和指数函数的运算法则. (2e)x C 例如：例如：2 e dx 公式:a b (ab)= (2e) dx ln(2e) xxxxxx x52 3x xC 例例 1 1： x 1 dxx 2x 1dxx dx2x dxdx 53 2 2 4242 例例 2 2：(32 11 )dx 3dx2dx=3x2tan xC 22 cos xcos x 2 2、第一类换元法（又称凑微分法）、第一类换元法（又称凑微分法）（重点掌握，每年都会考到）（重点掌握，每年都会考到） （1 1）适用范围：）适用范围：如果被积函数是两个函数相乘、相除或者被积

48、函数中含有复合函数的情 况，此时可以考虑用第一类换元法. （2 2）第一类换元解法步骤）第一类换元解法步骤 1将被积函数中的复合函数的复合部分换元成简单函数u. 2对换元后的简单函数u求微分. 3由于引入了新变量u，此时要将对原变量x的积分形式转换成对新变量u的积分形式. 4用直接积分法求出新变量u的积分. 5最后的计算结果中的新变量u用原变量x替代回去. . 该方法又称为变量代换法 变量代换法 例例 1 1：求不定积分xcosx2dx 解：令u x（第一步，换元） 得du 2xdxxdx 原式= 2 1 du （第二步，求微分） 2 1 2 cosudu （第三步，转换） 11 = cosu

49、du=sinu C （第四步，求积分） 22 1 2 = sin x C （第五步，反换元） 2 例例 2 2：求不定积分 sinx x dx 1 2 x dx，即 dx 2du x 解：令u x，得du 19 / 41 原式2sinudu2cos uC2cos x C 注意：注意：如果能熟练掌握变量代换法， 且对积分公式铭记于心， 此时就可以不必写出中间变量 而直接用凑微分凑微分法法进行积分。 凑微凑微分分时要注意凑完微分后前后变量要统一！ 同学们结合自己 的实际情况在解题时选择变量代换法或凑微分法。 ln2xln3xdx 2dx =ln xd(lnx)=C 例例 3 3：（将凑成d ln

50、x， 此时前后变量均ln x为） x3x 1 3x2 1 3x2 1 =（将凑成ed(3x2)eCd3x2）dx 333 1sin xd(xcosx) 例例 5 5：dxln xcosx C（将1sinxdx凑成d(xcosx)） xcosxxcosx 例例 4 4：e3x2dx= 3 3、第二类换元法、第二类换元法（了解下即可，考的不多）（了解下即可，考的不多） （1 1）适用范围：）适用范围：如果被积函数中带有根号，直接积分法和第一类换元法又不能适用，此 时考虑用第二类换元法。第二类换元法的目的就是去掉被积函数中带有根号的式子。 （2 2）第二类换元法解法步骤）第二类换元法解法步骤 1令被

51、积函数中带有根式的式子换元成简单函数u. 2由于引入了新变量u，再将对原变量x的积分转换成对新变量u的积分. 3用直接积分法或第一类换元法求出对新变量的积分. 4最后将计算结果中的新变量u用原变量x替代回去 例例 1 1：求不定积分 dx 2x11 t21 解：令t 2x1，得x ，dx tdt （第一步， 换元去根号） 2 则原式= tdt t 1 （第二步，转化） 1 d(t 1)1 dt1dt t ln t 1 C （第三步，求积分） t 1t 1 (t 11)dt t 1 = 2x1ln2x11C （第四步， 反换元） 4 4、分部积分法、分部积分法（重点掌握，很重要）（重点掌握，很重

52、要） （1 1）适用范围：适用范围：当两个可导函数相乘时，如果第一类换元不能用，则考虑用分部积分法 . 公式：公式： udv uv vdu （2 2）选取）选取 U U 的常用方法的常用方法 1 、当被积函数是幂函数与指数函数或幂函数与三角函数相乘时，通常选幂函数为 u. 2 、 当被积函数是幂函数与对数函数或幂函数与反三角函数相乘时， 通常选对数函数和反 20 / 41 三角函数为 u. （3 3）分部积分法解法步骤）分部积分法解法步骤 1根据上面u的选取方法，找出是u的那个函数 2然后求出v 3套用公式进行积分. 注意u是写在被积函数的位置上（即d的左边） ，v是写在微分符 号的位置上（即

53、d的右边） ， 例例 1 1：求不定积分xexdx（被积函数是幂函数与指数函数相乘，故选幂函数x为u） 解：令u=x，则dv e dx，即v=e xx 原式xdex xexexdxxexexC v=x） 例例 2 2： 求不定积分ln2xdx（对照公式和u的选取方法， 可很容易发现u=ln x， 2 解：原式xln 2x xd ln2x xln2x2 lnxdx （因为d ln x 2 2ln x dx） x x为v） =xln x2 xln x xd ln x（对积分lnxdx， 选ln x为u， =xln 2 2 x2 xln x1dx 2 2xln x2xlnx 2xCx(ln x2ln

54、 x2)C 例例 3 3：求不定积分xcosxdx（被积函数是幂函数与三角函数相乘，故选幂函数x为u） 解：令u x，则dv cosxdx，即v sin x 原式xdsin x xsin xsin xdx xsin xcosxC 第二节、定积分第二节、定积分 一、定积分的概念一、定积分的概念（每年至少考一题选择或填空）（每年至少考一题选择或填空） 1 1、定积分的定义：、定积分的定义：由曲边梯形的面积引出定义公式 b a f (x)dx （A 为曲边梯形的面积） 其中f (x)为被积函数，f (x)dx为被积表达式，x为积分变量，a,b为积分区间，a为积 分下限，b为积分上限. 2 2、定积分

55、的几何意义：、定积分的几何意义：它是由x轴、曲线y f (x)、直线x=a和x=b所围成的曲边 梯形的面积的代数和.在x轴上方的面积取正，在x轴下方的面积取负. 3 3、定积分所要注意的三个事项、定积分所要注意的三个事项 （1 1）因为定积分是曲边梯形的面积，因此定积分的值一定是一个常数，且值仅与被积函数 f (x)和积分区间a,b有关，与积分变量的字母无关，即f (x)dx=f (t)dt.并且对定 aa bb 21 / 41 积分求导，导数值必为零。 1lnt ln xd 1 例如：例如： dx dt，arctanxdx 0， 0 x 0 tdx 0 1 t sintdt 0 b 2 a

56、（2 2）当时， b a f (x)dx=0 因为定积分上限 ba，当 ba 时， 1 b a f (x)dx=f (x)dx b a 32 sin x 例如：例如： dx 0，f (x)dx f (x)dx 2311cosx ( 3 )( 3 ) 由定积分的几何意义可得出下列重要结论： 当f (x)在a,a上连续，当f (x)为奇函数时， 当f (x)在a,a上连续，当f (x)为偶函数时， 2 a a a f (x)dx=0 f (x)dx=2f (x)dx 0 a a 例如：例如： 2 x sin xdx=0 xcosxdx 02 4 sin x dx 0 1cos2x 2 注意注意：三

57、角函数中sinx、tanx、cotx为奇函数，cosx为偶函数，所以可判断出上题中 的x sin x，xcos x， 4 sin x 均为奇函数，由于积分区间对称，故积分值必为零。 21cos x b 4 4、定积分的性质、定积分的性质（了解即可）（了解即可） 1 2 3 4 f (x) g(x)dx a b a f (x)dxg(x)dx a b b a b kf (x)dx kf (x)dx a b a b f (x)dx=f (x)dxf (x)dx ，a c b ac cb 1dx ba a 5若在区间a,b上总有f (x) g(x)，则 b a f (x)dx g(x)dx a b 二、定积分的计算二、定积分的计算（重中之重，每年至少考两至三题）（重中之重，每年至少考两至三题） 1 1、变上限积分的计算、变上限积分的计算 （1 1） 定义：定义：积分上限x为变量时的定积分称为变上限积分， 变上限积分是上限x的函数， 记作(x) x a f (t)dt （2 2）变上限积分的导数）变上限积分的导数（是每年选择、填空的必考题）（是每年选择、填空的必考题） 、 x a f (t)dt f (x) 、 b(x) a f (t)dt f b(x)b(x) 2