扬州市高二下学期期末数学试卷理科

1、扬州市扬州市 2014-20152014-2015 学年高二下学期期末数学试卷（理科）学年高二下学期期末数学试卷（理科） 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分，请将答案填写在答题卷相应位置）分，请将答案填写在答题卷相应位置） 1已知集合 A=x|x0，B=1，0，1，2，则 AB=_ 2命题：“xR，3x0”的否定是_ 3已知复数 z=（1i）i（i 为虚数单位） ，则|z|=_ 4“= 5正弦曲线 y=sinx 在 6方程的解为_ 处的切线的斜率为_ ”是“tan=1”的_条件 （填“充分不必要”、“必要不充分”、“

2、充要”或“既不充分也不必要”） 7四位外宾参观某校，需配备两名安保人员六人依次进入校门，为安全起见，首尾一定是两名安保人员，则六 人的入门顺序共有种不同的安排方案（用数字作答） 8若函数 y=f（x）为定义在R 上的奇函数，且在区间（，0上是减函数，则不等式f（lnx）f（1）的解集为 _ 9设数列an满足 a1=3，an+1=an22nan+2，n=1，2，3，通过计算 a2，a3，a4，试归纳出这个数列的通项公式 an=_ 10 把函数 y=sin2x 的图象沿 x 轴向左平移 图象，对于函数 y=f（x）有以下四个判断： 该函数的解析式为 y=2sin（2x+ 该函数图象关于点（ 该函数

3、在 ） ； 个单位， 纵坐标伸长到原来的 2 倍 （横坐标不变） 后得到函数 y=f （x） ）对称； 上是增函数； 上的最小值为，则函数 y=f（x）+a 在 其中，正确判断的序号是_ 11 已知定义在 R 上的奇函数（f x） 和偶函数 g （x） 满足关系 “”，“”，“=”中，选出适当的一种填空） 12 已知cosxsin （2x） ， 若 f （x） =， 0 x， 则 x 的值为_ ， 则 （f 1）g （0） （从 13已知函数 f（x）=若存在 x1，x2，当 1x1x23 时，f（x1）=f（x2） ，则 的取值范围是_ 14若实数 x，y 满足=0，其中 e 为自然对数的底

4、数，则 （cos6x）y的值为_ 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 1010 小题，计小题，计 9090 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15已知 sin=，sin（）=，且 0 （）求 tan2 的值； （）求角 的值 16设命题 p：函数 f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为 R；命题 q：函数 f（x）=x22ax1 在（，1上单调 递减 （1）若命题“p q”为真，“pq”为假，求实数 a 的取值范围； （2）若关于 x 的不等式（xm） （xm+5）0（mR）的解集为 M；命题 p 为真命题时，a 的取值

5、集合为 N当 MN=M 时，求实数 m 的取值范围 17已知函数 f（x）=sin2x2sinxcosx+3cos2x （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）当 （3）当 x（ 并证明你的结论 ， 时，求函数 f（x）的值域； ）时，设经过函数f（x）图象上任意不同两点的直线的斜率为k，试判断 k 值的符号， 18如图，折叠矩形纸片ABCD，使A 点落在边 BC 上的 E 处，折痕的两端点M、N 分别在线段 AB 和 AD 上（不 与端点重合） 已知 AB=2，BC=，设AMN= （1）用 表示线段 AM 的长度，并求出 的取值范围； （2）试问折痕 MN 的长度是否存在最小值，若存在，

6、求出此时cos 的值；若不存在，请说明理由 19 （16 分）已知函数 f（x）=log3x （1）若 g（2x+1）=f（x） ，求函数 g（x）的解析式，并写出 g（x）的定义域； （2）记 h（x）=f（xa） 若 y=|h（x）|在上的最小值为 1，求实数 a 的值； 若 A（x+a，y1） ，B（x，y2） ，C（3+a，y3）为 y=h（x）图象上的三点，且满足y1，y2，y3成等差数列的实数 x 有且只有两个不同的值，求实数a 的取值范围 20 （16 分）已知函数 f（x）=x25x+1，g（x）=ex （1）求函数 y=的极小值； （2）设函数 y=f（x）+ag（x） （a

7、R） ，讨论函数在（，4上的零点的个数； （3）若存在实数 t0，2，使得对任意 x1，m，不等式xf（x）+tg（x）x 恒成立，求正整数 m 的最大值 21已知展开式中各项的二项式系数和为64 （1）求 n 的值； （2）求展开式中的常数项 22我市某商场为庆祝“城庆 2500 周年”进行抽奖活动已知一抽奖箱中放有8 只除颜色外，其它完全相同的彩球， 其中仅有 5 只彩球是红色现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为X （1）若取球过程是无放回的，求事件“X=2”的概率； （2）若取球过程是有放回的，求X 的概率分布列及数学期望E（X） 23如图，正四棱柱 ABCDA

8、1B1C1D1中，AA1=2AB （1）点 P 为棱 CC1上一动点，求证：APB1D1； （2）求 AD1与平面 A1CD 所成角的正弦值 24设 an为下述正整数 N 的个数：N 的各位数字之和为 n，且每位数字只能取 1，3 或 4 （1）求 a1，a2，a3，a4的值； （2）对nN*，试探究 a2na2n+2与 a22n+1的大小关系，并加以证明 江苏省扬州市江苏省扬州市 2014-20152014-2015 学年高二下学期期末数学试卷（理科）学年高二下学期期末数学试卷（理科） 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 707

9、0 分，请将答案填写在答题卷相应位置）分，请将答案填写在答题卷相应位置） 1已知集合 A=x|x0，B=1，0，1，2，则 AB=1，0 考点：交集及其运算 专题：集合 分析：由 A 与 B，求出两集合的交集即可 解答：解： A=x|x0，B=1，0，1，2， AB=1，0， 故答案为：1，0 点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2命题：“xR，3x0”的否定是x0R，使得0 考点：命题的否定 专题：简易逻辑 分析：根据全称命题的否定是特称命题，直接写出该命题的否定即可 解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，得； 命题：“xR，3x0”的“”的否定是： “x0R，

10、使得0” 0故答案为：x0R，使得 点评：本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应熟记全称命题与特称命题的关系是什么，是基础题 3已知复数 z=（1i）i（i 为虚数单位） ，则|z|= 考点：复数求模 专题：数系的扩充和复数 分析：利用复数模的计算公式即可求得复数z 的模 解答：解：z=（1i）i=1+i， |z|=， 故答案为： 点评：本题考查复数求模，属于基础题 4“=”是“tan=1”的充分不必要条件 （填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既 不充分也不必要”） 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑 分析：根据充分条件、必要条件的概念，以及tan=

11、1 时 的取值情况即可判断 解答：解： tan=1 时， 时，tan=1； ，所以不一定得到； 是 tan=1 的什么条件 是 tan=1 的充分不必要条件 故答案为：充分不必要 点评：考查充分条件、必要条件以及充分不必要条件的概念，以及根据tan=1 能求 5正弦曲线 y=sinx 在处的切线的斜率为 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；导数的概念及应用 分析：求出 y=sinx的导数，将代入，由特殊角的三角函数值，即可得到所求 解答：解：y=sinx 的导数为 y=cosx， 即有曲线在 故答案为： 处的切线的斜率为 k=cos = 点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，

12、主要考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键 6方程的解为 4 或 5 考点：组合及组合数公式 专题：方程思想；排列组合 分析：根据组合数的性质，列出方程，求出方程的解 解答：解： 方程， x=2x4，或 x+（2x4）=11； 解得 x=4 或 x=5， 经检验，x=4 与 x=5 都是原方程的解 故答案为：4 或 5 点评：本题考查了组合数性质的应用问题，也考查了解方程的应用问题，是基础题目 7四位外宾参观某校，需配备两名安保人员六人依次进入校门，为安全起见，首尾一定是两名安保人员，则六 人的入门顺序共有 48 种不同的安排方案（用数字作答） 考点：计数原理的应用 专题：计算题；排列组合

13、分析：根据题意，分 2 步进行分析：、首先确定首尾的 2 名人员，要求首尾一定是两名安保人员，、再确定 中间的人员，中间的4 个位置为 4 名外宾，由排列数公式可得每一步的安排方法数目，进而由分步计数原理计算可 得答案 解答：解：根据题意，分 2 步进行分析： 、首先确定首尾的 2 名人员，要求首尾一定是两名安保人员，有A22=2 种不同的安排方案； 、再确定中间的人员，中间的4 个位置为 4 名外宾，有 A44=24 种不同的安排方案； 则一共有 224=48 种不同的安排方案 故答案为：48 点评：本题考查分步计数原理的应用，解题是注意先分析受到限制的元素，如本题的“两名安保人员” 8若函

14、数 y=f（x）为定义在R 上的奇函数，且在区间（，0上是减函数，则不等式f（lnx）f（1）的解集为 （e，+） 考点：奇偶性与单调性的综合 专题：函数的性质及应用 分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化求解即可 解答：解： y=f（x）为定义在 R 上的奇函数，且在区间（，0上是减函数， y=f（x）在 R 上的为减函数， 则不等式 f（lnx）f（1）等价为 lnx1， 即 xe， 故不等式的解集为（e，+） ， 故答案为： （e，+） 点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键 9设数列an满足 a1=3，an+1=an22nan

15、+2，n=1，2，3，通过计算 a2，a3，a4，试归纳出这个数列的通项公式 an=2n+1 考点：数列的概念及简单表示法 专题：点列、递归数列与数学归纳法 分析：先由递推公式求 a2，a3，a4，再猜想通项公式； 解答：解： a1=3，an+1=an22nan+2， a2=a122a1+2=96+2=5， a3=a2222a2+2=2520+2=7， a4=a3223a3+2=4942+2=9， 即 a2=5，a3=7，a4=9， 由归纳推理猜想 an=2n+1 故答案为：2n+1 点评：本题主要考查数列的通项公式的猜想，根据数列的递推关系求出a2，a3，a4是解决本题的关键 10 把函数

16、y=sin2x 的图象沿 x 轴向左平移 图象，对于函数 y=f（x）有以下四个判断： 该函数的解析式为 y=2sin（2x+ 该函数图象关于点（ 该函数在 ） ； 个单位， 纵坐标伸长到原来的 2 倍 （横坐标不变） 后得到函数 y=f （x） ）对称； 上是增函数； 上的最小值为，则函数 y=f（x）+a 在 其中，正确判断的序号是 考点：函数 y=Asin（x+）的图象变换；命题的真假判断与应用 专题：三角函数的图像与性质 分析：根据函数 y=Asin（x+）的图象变换规律求得 f（x）=2sin（2x+ 称中心为（，0） ，可得正确 ，k+ ） ，由此可得不正确求出函数的对 求出函数的

17、单调增区间为k 值为+a= ，kz，可得不正确由于当 x0，时，求得 f（x）+a 的最小 ，可得 a 的值，可得正确 个单位，纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变）后，得到解答：解：把函数y=sin2x 的图象沿 x 轴向左平移 函数 y=f（x）=2sin2（x+ 由于 f（x）=2sin（2x+ 令 2x+ （ ）=2sin（2x+ ） ，故不正确 ）的图象， =k，kz，求得 x=，kz，故函数的图象关于点（，0）对称，故函数的图象关于点 ，0）对称，故正确 2x+2k+，kz，可得 kxk+，kz，故函数的增区间为k，k+，kz，令 2k 故函数在 当 x0， 上不是增函数，故 不正

18、确 时，2x+，故当2x+=时，f（x）取得最小值为，函数y=f（x）+a 取得最小 值为+a=， 故 a=2，故正确 故答案为 点评：本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，复合三角函数的单调性、对称性，正弦函数的定义域 和值域，属于中档题 11已知定义在 R 上的奇函数 f（x）和偶函数 g（x）满足关系 “”，“”，“=”中，选出适当的一种填空） 考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用 ，则 f（1）g（0） （从 分析：由已知奇函数 f（x）和偶函数 g（x）满足关系，可得 ，进而求出函数 f（x）和 g（x）的解析式，求出函数值后，可得答案 解答：解： 奇函数 f

19、（x）和偶函数 g（x）满足关系 f（x）= g（x）= 故 f（1）= ，g（0）=， ，即 ， ， ， ， 故 f（1）g（0） ， 故答案为： 点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质和函数求值，其中根据已知结合函数奇偶性的性质，求出函数f（x） 和 g（x）的解析式，是解答的关键 12已知 考点：三角函数中的恒等变换应用 专题：计算题；三角函数的求值 cosxsin（2x） ，若 f（x）=，0 x，则 x 的值为 分析： 由已知及三角函数中的恒等变换应用化简可得： （f x） =cosx+sinx+sinxcosx=， 设 t=sinx+cosx， 则 t ， = ，由 ， 两边平方

20、整理可得： sinxcosx= x+可得 x+= ， 把化为： t+=， 整理可解得 t=， 既有 sin （x+） ，从而可解得 x 的值 cosxsin（2x）=cosx+sinx+sinxcosx=，解答：解： 设 t=sinx+cosx=sin（x+） ，则 t，两边平方整理可得：sinxcosx=， 故化为：t+ t=sinx+cosx= 解得：sin（x+ = sin（x+ ）= ， ，整理可得：2 ）=， t2+4t3=0，可解得：t=或（舍去） ， 0 x， x+= x+， ，解得：x= 故答案为： 点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，考查了计算

21、能力和转化思想，属于中 档题 13已知函数 f（x）=若存在 x1，x2，当 1x1x23 时，f（x1）=f（x2） ，则 的取值范围是（ ， 考点：分段函数的应用 专题：计算题；作图题；函数的性质及应用 分析：作函数 f（x）的图象，结合图象可得 范围 + x1 ；化简=1+；从而求取值 解答：解：作函数 f（x）=的图象如下， f（ ）= 故令 x+ =1+ 故 +1=1+ 得，x= ； + ； + x1 ； 又 = = =1+ 1； ； 1+； 故答案为： （ ， 点评：本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，属于中档题 14若实数 x，y 满足=0，其中 e 为自然对数的底数，

22、则 （cos6x）y的值为 考点：对数的运算性质 专题：计算题 分析：令 y=3，求出：cos2（3x） ，从而求出 cos（6x）的值，代入（cos6x）y求出即可 解答：解：令 y=3，得： ln3+11+ln3=0， 2cos2（3x）+ =1， 解得：cos2（3x）= ， cos（6x）=2cos2（3x）1= （cos6x）y= 故答案为： 点评：本题考查了对数的运算，令y=3，求出：cos2（3x）的值是解题的关键，本题是一道中档题 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 1010 小题，计小题，计 9090 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出必要的文

23、字说明、证明过程或演算步骤） 15已知 sin=，sin（）=，且 0 = ， （）求 tan2 的值； （）求角 的值 考点：两角和与差的正弦函数 专题：计算题；三角函数的求值 分析： （）由同角的平方关系求得cos，进而求得 tan，再由二倍角的正切公式，即可得到结果； （）先求 cos（） ，再由 cos=cos（），运用两角差的余弦公式，注意到 的范围，计算得到结果 解答：解： （） sin= 即有 tan=4， ，0， cos= ， 则 tan2=； （）由 0，得 0， 又 sin（）=，则 cos（）=， 则 cos=cos（）=coscos（）+sinsin（） =+ ， =

24、， 由于 0 故有 点评：本题考查三角函数的求值，考查同角公式、二倍角公式和两角和差公式及运用，考查运算能力，注意角的变 换，属于中档题 16设命题 p：函数 f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为 R；命题 q：函数 f（x）=x22ax1 在（，1上单调 递减 （1）若命题“p q”为真，“pq”为假，求实数 a 的取值范围； （2）若关于 x 的不等式（xm） （xm+5）0（mR）的解集为 M；命题 p 为真命题时，a 的取值集合为 N当 MN=M 时，求实数 m 的取值范围 考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑 分析： （1）先分别求出p 真，q 真时的 x 的范围，再通过讨论p

25、 真 q 假或 p 假 q 真的情况，从而求出a 的范围； （2） 根据 M、N 的关系，得到不等式组，解出即可 解答：解： （1）若 p 真：即函数 f（x）的定义域为 R x2+ax+10 对xR 恒成立， =a240，解得：2a2， 若 q 真，则 a1， 命题“p q”为真，“pq”为假 p 真 q 假或 p 假 q 真 或，解得：2a1 或 a2 （2） MN=M NM， M=（m5，m） ，N=（2，2） ，解得：2m3 点评：本题考查了集合之间的关系，考查复合命题的性质，本题是一道中档题 17已知函数 f（x）=sin2x2sinxcosx+3cos2x （1）求函数 f（x）的

26、最小正周期； （2）当 （3）当 x（， 时，求函数 f（x）的值域； ）时，设经过函数f（x）图象上任意不同两点的直线的斜率为k，试判断 k 值的符号， 并证明你的结论 考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质；直线与圆 分析： （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）= 求得函数 f（x）的最小正周期； sin（2x）+2，利用周期公式即可 （2）由，可得，由正弦函数的图象和性质可求 ，从而可得函数 f（x）的值域； （3）由，可得，由正弦函数的图象可知f（x）在 上是减函数，可得经过任意两点（x1，f（x1）

27、）和（x2，f（x2） ）的直线的斜率 k=0 解答：（本题满分为 15 分） 解：f（x）=sin2x2sinxcosx+3cos2x=cos2xsin2x+2= （或 （1）T=； （2） f（x）的值域为 （3）k 值的符号为负号； f（x）在 当 ， 上是减函数 ，且 x1x2时，都有 f（x1）f（x2） ， ， 时， ，则 ） ； sin（2x）+2， 从而经过任意两点（x1，f（x1） ）和（x2，f（x2） ）的直线的斜率 k=0 点评：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，直线的斜率 公式的应用，属于基本知识的考查 18如图，折叠

28、矩形纸片ABCD，使A 点落在边 BC 上的 E 处，折痕的两端点M、N 分别在线段 AB 和 AD 上（不 与端点重合） 已知 AB=2，BC=，设 AMN= （1）用 表示线段 AM 的长度，并求出 的取值范围； （2）试问折痕 MN 的长度是否存在最小值，若存在，求出此时cos 的值；若不存在，请说明理由 考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用 分析： （1）先设出AM，结合图象的对称性得到方程cos（x2）= 的关系得到不等式组，解出即可； （2）先求出 MN，通过换元得到，设 ，解出即可，再根据AM、AB、AN、AD ，通过 求导得到函数的单调性

29、，从而求出MN 的最小值 解答：解： （1）设 AM=x，由图形的对称性可知：AM=ME=x， BME=2， BM=2x， cos（x2）=，整理得：x=， 又，即， ，解得：； （2）在 RtAMN 中， 令 ， ， 设 h（t）=13t2=3（t+ 令 h（t）=0，则 t= 列表得： t h（t） h（t） + 增 ）=， ） （t ， ） ， 或 t=（舍） ， （ 减 ，） 0 极大值 h（t）max=h（ 当 cos=时，MN 有最小值为 点评：本题考查了三角函数问题，考查导数的应用，考查转化思想，换元思想，是一道中档题 19 （16 分）已知函数 f（x）=log3x （1）若

30、g（2x+1）=f（x） ，求函数 g（x）的解析式，并写出 g（x）的定义域； （2）记 h（x）=f（xa） 若 y=|h（x）|在上的最小值为 1，求实数 a 的值； 若 A（x+a，y1） ，B（x，y2） ，C（3+a，y3）为 y=h（x）图象上的三点，且满足y1，y2，y3成等差数列的实数 x 有且只有两个不同的值，求实数a 的取值范围 考点：对数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应用 分析： （1）由已知中 g（2x+1）=f（x）=log3x，利用换元法可求出函数g（x）的解析式，进而根据真数大于0，写 出 g（x）的定义域； （2）求出 h（x）=f（xa）的解析式； 将

31、 y=|h（x）|化为分段函数，结合对数函数的图象和性质及y=|h（x）|在上的最小值为 1，对a 值进行分 类讨论，可求出满足条件的a 值； 根据满足 y1，y2，y3成等差数列的实数 x 有且只有两个不同的值，可得方程x2（2a+3）x+a2=0 在（a，+） 上有两个不等实根，构造满足条件的不等式组，解得答案 解答：解： （1）令 t=2x+1，则 t1， 则 x= （t1） ， g（2x+1）=f（x）=log3x， g（t）=log3 （t1）， g（x）=log3 （x1）， 则 g（x）的定义域为（1，+） （2） h（x）=f（xa）=log3（xa） 故 y=|h（x）|=，

32、 函数在（a，a+1）上单调减，在（a+1，+） 上单调增； （）当 当 （）当 时， （舍） ，即时， ，即时， ， 当 x=a+1 时，ymin=0（舍） （）当 a+11，即 a0 时， 当 x=1 时，ymin=log3（1a）=1， a=2， 综上：a=2； （不舍扣 2 分） y1，y2，y3成等差数列， 2y2=y1+y3， 即 2log3（xa）=log3x+log33 化简得：x2（2a+3）x+a2=0（*） 满足条件的实数 x 有且只有两个不同的值 （*）在（a，+）上有两个不等实根， 设 H（x）=x2（2a+3）x+a2 ， 解得： a0 （16 分） 点评：本题主要

33、考查对数的运算及方程根的求解，函数解析式的求法，函数单调性的判定，是函数图象和性质的综 合应用，属于中档题 20 （16 分）已知函数 f（x）=x25x+1，g（x）=ex （1）求函数 y=的极小值； （2）设函数 y=f（x）+ag（x） （aR） ，讨论函数在（，4上的零点的个数； （3）若存在实数 t0，2，使得对任意 x1，m，不等式xf（x）+tg（x）x 恒成立，求正整数 m 的最大值 考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：导数的综合应用 分析： （1）令 h（x）=（xR） ，利用导数研究其单调性极值即可得出； （2）对 a 分类讨论，利用导数

34、研究函数的单调性极值与最值即可得出 （3）不等式xf（x）+tg（x）x，化为x（x25x+1）+texx由存在实数t0，2，使得对任意x1，m，不 等式xf（x）+tg（x）x 恒成立，存在实数 t0，2，使得对任意x1，m，t 意 x1，m，0 （x35x2+x）使得对任 （x35x2+x） ，化为 ex（x25x+1）10利用导数研究其单调性极值即可得出 解答：解： （1）令 h（x）=（xR） ，则 h（x） =， 令 h（x）=0，解得 x=1，6列出表格： x（，1）1 0 h（x）单调递减极小值 （1，6） + 单调递增 6 0 极大值 （6，+） 单调递减 由表格可知：当 x=

35、1 时，函数 h（x）取得极小值，h（1）= （2）令 u（x）=f（x）+ag（x）=（2x5）+aex，u（x）=2+aex， 当 a0 时，u（x）0，函数 u（x）在（，4上单调递增， 又 x时，u（x），u（4）=3+ae40，因此函数 u（x）有且只有一个零点 当 a0 时，令 u（x）=0，解得 x0= 当 a 时，x04xx0，u（x）0，函数 u（x）在（，x0）上单调递增；x0 x4 时，u（x）0， 7函数 u（x）在（，x0）上单调递减此时 x0为函数 u（x）的极大值点，u（x0）=2x07= 当 x0= 时，u（x0）=0，此时函数在（，4上有且只有一个零点 当 x

36、0 时，u（x0）0，此时函数 u（x）在（，4上无零点 当 x04 时，u（x0）0，此时函数在（，x0）上有且只有一个零点，由于u（4）=3+ae4 当 a 当 当 a= a 时，u（4）0 时，此时函数在（x0，4上有且只有一个零点； 时，u（4）0 时，此时函数在（x0，4上无零点 时，x0=4u（x）0，此时函数u（x）在（，4）上单调递增，且u（0）=5+a0，u（4）=3+ae4 32=10， 此时存在一个零点 当a0 时，x04u（x）0，此时函数 u（x）在（，4上单调递增，且 u（0）=5+a0，u（4） =3+ae432=10， 此时存在一个零点 （3）不等式xf（x）+

37、tg（x）x，化为x（x25x+1）+texx （*） 存在实数 t0，2，使得对任意 x1，m，不等式xf（x）+tg（x）x 恒成立， （*）存在实数 t0，2，使得对任意 x1，m，t （*）使得对任意 x1，m，0 （x35x2+x） （x35x2+x） ，化为 ex（x25x+1）10 令 v（x）=ex（x25x+1）1，x1，m v（x）=ex（x23x4）=ex（x4） （x+1） 令 v（x）0，解得 x4，此时函数 v（x）单调递增；令 v（x）0，解得 1x4，此时函数 v（x）单调递减 当 x=4 时，函数 v（x）取得极小值，v（4）=3e410， 又 v（1）=3e

38、10，v（5）=e510， 因此整数 m 的最大值为 4 点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能 力，属于难题 21已知展开式中各项的二项式系数和为64 （1）求 n 的值； （2）求展开式中的常数项 考点：二项式定理的应用 专题：计算题；二项式定理 分析： （1）利用组合数的性质，即可求n 的值； （2）写出展开式中的通项，即可求展开式中的常数项 解答：解： （1）展开式中各项的二项式系数和为64， ， n=6； （2）， 当，即 r=4 时，为常数项 点评：本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础 22我市某商场为

39、庆祝“城庆 2500 周年”进行抽奖活动已知一抽奖箱中放有8 只除颜色外，其它完全相同的彩球， 其中仅有 5 只彩球是红色现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为X （1）若取球过程是无放回的，求事件“X=2”的概率； （2）若取球过程是有放回的，求X 的概率分布列及数学期望E（X） 考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计 分析： （1）判断是古典概率即可利用排列组合知识求解即可 （2）每次取出红球的概率为 ，其他球的概率为 ，可判断为独立重复试验 利用概率公式，求解即可得出分布列，数学期望 解答：解： （1）； （2）随机变量 X

40、的可能取值为：0，1，2，3， 取球过程是有放回的， 每次取出红球的概率为 ，其他球的概率为 ， X P 数学期望为 0 123 点评：本题考察了有放回，不放回的摸球问题，判断即古典概率，还是独立重复试验，理解题意是关键 23如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB （1）点 P 为棱 CC1上一动点，求证：APB1D1； （2）求 AD1与平面 A1CD 所成角的正弦值 考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用 分析： （1）分别以 DA，DC，DD1三直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，求出空间点的坐标，设P（0，1， m） ，进行数量积的坐标运算求即可； （2）设平面 A1CD 的法向量为 由 sin=即可求得答案 ，由即可求出法向量 ，设 AD1与平面 A1CD 所 ， 解答：解：以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz； 设 AB=1，则：D（0，0，0） ，A（1，0，0） ，B（1，1，0） ，C（0，1，0） ，D1（0，0，2） ，A