二阶变系数线性微分方程的解法

1、武汉科技大学 硕士学位论文 二阶变系数线性微分方程的解法 姓名：夏敦行 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：甘欣荣 20091016 摘要 二阶线性齐次微分方程在微分理论中占有重要位置，在科学研究、工程技术中有着广 泛的应用，其中有很多应用类型的问题都归结为二阶线性常微分方程的求解问题，而常系 数微分方程根据线性常微分方程的一般理论是可解的然而变系数二阶线性常微分方程的 求解却十分困难，至今还没有一个普遍有效的方法，通常采用的级数解法只能得到某点领 域内的局域解或者近似解，不便于科学研究的分析。因此探讨它们的解法具有重要的理论 和应用价值。 在微分方程理论中，一些特殊的微分方程的性质

2、及解法也已经有了深入的研究，它们 总是可解的但是变系数微分方程的解法比较麻烦的。 如果通过某些适当的变换将给定的二阶变系数微分方程化为常系数微分方程，则该二 阶变系数微分方程就可以求解问题在于怎么样才能知道该二阶变系数微分方程能化为可 解的二阶常系数线性微分方程，以及通过什么样的变换才能化为常系数线性微分方程 本文通过对微分方程理论的研究，用不同的方法探讨这类问题，扩展了变系数线性微 分方程的可积类型，借助变量变换等方法将给定的变系数线性微分方程化为常系数方程求 解，提出二阶变系数线性常微分方程的求解基本方法和步骤。 二阶变系数微分方程有齐次与非齐次之分，本文分别对这两种类型的求解方法做了研

3、究与探讨，为以后的方程求解工作奠定了基础 关键词：变系数二阶微分方程；变量变换；常数变易；通解；线性变换； A b s t r a c t S e c o n do m e rl i n e rh o m o g e n e o u sd i f f e r e n t i a le q u a t i o np l a ya l li m p o r t a n tr o l ei nd i f f e r e n t i a l t h e o r i e s a n du s e de x t e n s i v e l yi ns c i e n c er e s e a r c ha

4、 n dt e c h n o l o g y , s ot h e r eh a v em a n yp r o b l e m s w i t ha p p l i c a t i o nt y p e a l lt u r nt os e c o n do r d e rl i n e rd i r r e r e n t i a le q u a t i o n s s o l v e p r o b l e m H o w e v e r , o r d i n a r y c o e f f i c i e n td i f f e r e n t i a le q u a t i

5、 o nh a s s o l v ea c o r d i n gt ol i n e r d i f f e r e n t i a le q u a t i o nt h e o r y B u tt h es o l v ef o rv a r i e dc o e f f i c i e n ts e c o n do r d e rl i n e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o ni sh a r dt og e t ，a n dh a v e n t h a dt h o u g h to u ta ne f f i c i e n

6、tw a yt om a k eo u ti tS Of a r T h e m o s to f t e nu s e dw a yi ss e r i e sm e t h o d e ，w h i c hj u s tC a ng e ti t sl o c a la r e as o l v eo ra p p r o x i m a t e s o l v e I ti sn o ea p p r o p r i a t et od os c i e n c er e s e a r c ha n da n a l y z e S ot od i s c u s sa n dr e

7、s e a r c ht h e s o n eo fv a r i e dc o e f f i c i e n ts e c o n do r d e rl i n e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a si m p o r t a n ta p p l i e d v a l u a b l e I nd i f f e r e n t i a le q u a t i o nt h e o r y , s o m es p e c i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss o l v

8、 ew a y sh a v ea l r e a d y b e e nr e s e a r c h e d S ot h e yc a l lb es e e m e da sc o u l e db es o l v e d s o r to fe q u a t i o n B u tv a r i e d c o e 伍c i e n te q u a t i o n ，h o w e v e r , t h es o l v ef o rt h i ss o r to fe q u a t i o ni sh a r d I fw ec a I lm a k ev a r i e

9、 dc o e 伍c i e n ts e c o n do r d e rl i n e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nb e c o m es e c o n d o r d e rl i n e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n , w h i c h c a nb es o l v e d ，b y u s i n g s o m e a p p r o p r i a t e t r a n s f o r m a t i o n ，t h e nt h ev a r i e dc o e

10、 f f i c i e n ts e c o n do r d e rl i n e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n Ss o l v ec a n b e m a d eo u t T h ep r o b l e mi sh o wt ok n o wt h ev a r i e dc o e f f i c i e n ts e c o n do r d e rl i n e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nc o u l dt r a n s f o r mt os e c o n do

11、r d e ro r d i n a r yc o e f f i c i e n te q u a t i o na n db yw h a tk i n do f t r a n s f o r m a t i o nc a l ld o T h i sa r t i c l eu t i l i z e sd i f f e r e n tw a y st or e s e a r c ht h i sp r o b l e mi n d i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h e o r i e s , w h i c he x p a n d

12、t h ec o u l db es o l v e dt y p eo f v a r i e dc o e f f i c i e n ts e c o n do r d e rl i n e r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n B yu s i n gv a r i a b l et r a n s f o r m a t i o nm a k ev a r i e dc o e f f i c i e n ts e c o n do r d e rl i n e r d i f f e r e n t i a le q u a t i o

13、nb e c o m ea so r d i n a r yc o e f f i c i e n ts e c o n do r d e rl i n e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t h u s c o n c l u d em em e ：t h o da n dp r o c e s so fs o l v ef o rs e c o n do r d e rv a r i e dc o e f f i c i e n tl i n e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n S e c

14、o n do r d e rv a r i e dc o e f f i c i e n tl i n e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n f a l li n t oh o m o g e n e o u sa n d n o n h o m o g e n e o u s T h i sa r t i c l er e s e a r c ha n d d i s c u s sa l lo ft h et w ok i n do fe q u a t i o nO i ls o l v i n g m e t h o d e ，t h u

15、sp r o v i d ec o n v e n i e n tw i t hs o l v i n gf o re q u a t i o n k e y w o r d s ：v a r i e dc o e f f i c i e n t s e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；v a r i a b l et r a n s f o r m a t i o n ； c o n s t a n td i f f e r e n t i a t i o n ；g e n e r a ls o l v e ；l

16、 i n e rt r a n s f o r m a t i o n ； 武汉科技大学 研究生学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立进 行研究所取得的成果。除了文中已经注明引用的内容或属合作研究共 同完成的工作外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写 过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：复熟红 日期：2 旦! 足【旦：f 墨 研究生学位论文版权使用授权声明 本论文的研究成果归武汉科技大学所有，其研究内容不得以其它 单位的名义发表。本人

17、完全了解武汉科技大学有关保留、使用学位论 文的规定，同意学校保留并向有关部门( 按照武汉科技大学关于研 究生学位论文收录工作的规定执行) 送交论文的复印件和电子版本， 允许论文被查阅和借阅，同意学校将本论文的全部或部分内容编入学 校认可的国家相关数据库进行检索和对外服务。 论文作者签名：复敦玺i 指导教师签名： ：蜂 一L 日 期：呈! 丑鲤：陋一 盛墨銎挂盘茔亟堂僮论室箍! 亟 第一章绪论 1 1 微分方程的发展和应用 数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系 但是在大量的实际问题中遇到稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的 关系( 即函数) 往

18、往不能直接写出来，却比较容易地建立这些变量和它们的导数间的关系 式这种联系着自变量、未知函数及它的倒数的关系式，数学上称之为微分方程微分方程 是研究自变量、未知函数及它的导数的之间的关系的数学科学。它是伴随着微积分的产生 和发展而形成的一门历史悠久的学科，至今已有3 0 0 多年的历史了。 微分方程来源于生产实践，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能 动地解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。常微分方程是研究自然科学和社会科 学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学方法。牛顿在研究天体 力学和经典力学的时候，利用了微分方程这个工具，证实了地球绕太阳的运动轨迹

19、是一个 椭圆，从理论上得到了行星运动规律。此后，法国天文学家勒维烈利用微分方程计算出海 王星的位置，这些都是表明微分方程在认识自然、改造自然等方面的重要作用，所有说常 微分方程在自然科学领域和社会科学领域有着广泛的应用。 在常微分方程发展初期，人们主要是针对各种实际问题列出各种方程，用积分的方法 求其准确的解析表达式，也就是初等积分法。这种方法一直沿用到十九世纪中期，知道法 国数学家刘维尔于1 8 4 1 年在他的一篇论文中提到大多数常微分方程不能用初等积分法求 解，由此促使人们放弃这种方法。从此常微分方程进入了基础定理和新型方法的研究阶段。 随着科学的发展和社会的进步，常微分方程在越来越多的

20、学科领域内有着重要的作 用，例如化学、生物学、自动控制、电子技术等，都提出了大量的微分方程问题。同样在 社会科学的一些领域晕也存在着微分方程的问题。 此外，常微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的，它们往往互相联系、互 相促进。例如几何学就是常微分方程理论的丰富的源泉之一和有力工具，对微分方程的发展 产生了深刻的影响。反过来，常微分方程进一步发展的需要，也推动着其他数学分支的发 展。 1 2 二阶变系数线性常微分方程的重要性 常微分方程作为其他自然科学和偏微分方程的基础，一直以来受到很多学者们的重 视，很多专家学者发表相关著作和论文，从而使常微分方程的解的理论发展到了比较完善 的程度。

21、根据常微分方程的基本理论，任何非线性齐次常微分方程的解都可以归结为求相应的 齐次常微分方程的基本解组。而对于齐次线性常微分方程而言，高阶的常微分方程可以通 过降阶法将其化为一阶或者二阶的常微分方程求解，因此在微分方程的求解问题中，低阶 常微分方程的求解占着重要的作用。 箍2 亟盛墨銎垫盘堂亟堂僮论变 众所周知，所有的一阶或者二阶常系数微分方程都是可解的，而变系数二阶线性微分 方程却很难解，除了近似解法外，至今还没有一个普遍的方法，但是幂级数解法计算量大， 而且不能得到解析解，不便于理论上的分析。因此，变系数二阶微分方程的求解在微分方 程理论中有着十分重要的地位，寻求一种简便的计算方法是完全有必

22、要的。 另外，二阶变系数常微分方程掣+ 户( 工) 罕+ Q ( z 沙= o 在物理学及科学技术 豇X 一船 中有着广泛的应用，例如，长在散射理论中用到的R i c c a t i B e s s a l 方程等都是变系数二阶 常系数线性微分方程，可以说很多应用问题都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。此 外，二阶变系数常微分方程及其本征值问题是求解数学物理方程的基础，可见变系数二阶 线性常微分方程在物理等学科中发挥着非常巨大的作用。 1 3 二阶变系数线性常微分方程求解所面临的问题 虽然二阶变系数线性常微分方程有着广泛的应用，其解的结构在理论上也是比较完善 的，但是具体如何求解，则没有一般

23、的方法可循。除了一些已知的特殊函数方程外大多数 方程看起来只有利用幂级数解法，但是该方法较繁，运算量大，而且得到的解是无穷级数 的形式给出的，不便于进一步分析，寻求一种简便的计算方法是完全有必要的。 很多学者在教材和文献中介绍了用一些特殊的变换，将变系数二阶线性微分方程化 为二阶常系数线性微分方程来求解，茹著名的如彪，方程X 2 _ d 2 y ( x ) + 觚螋+ b y ( x ) ：o ( a ，b 出出 为常系数) ，自变量的对数变换可化为常系数，但都只是通过某种特殊的变换解决其中一 类的方程，没有从总体上提出系统可行的方法，而且对于一个陌生的变系数方程，在将它 转化为已知可解的方程

24、时，寻找合适可行的变换也是很困难的，不管是哪种方法都要经过 大量的复杂的数学计算。虽然说可以借助计算机软件来计算，但是目前计算机软件在理论 上还是不是很完善的，缺乏智能的判断，不能很好的解决问题，有时候反而使问题变得复 杂化。 1 4 本文的研究内容及意义 二阶变系数线性微分方程的求解基本理论已经发展到一定的程度，很多学者也提出了 很多不同的特殊方法解决了一些具有某种特点的变系数方程，特别是在变系数方程转化为 常系数方程的问题上提出了很多的变换方式，然而在保持方程线性不变得前提下，很多变 换其实是一致的，同时这些不同的方法反而给大家增添了困惑，在研究一个新的变系数二 阶线性微分方程时无从下手。

25、 论文正在这种情况下，通过对有关变系数二阶线性微分方程的教材和文献的研究，总 结了前人的成果，从本质上阐述了变系数二阶线性微分方程转化为常系数微分方程的基本 思想和方法。同时，通过对微分方程理论的研究，提出了一种新的方法，将某类变系数二 阶线性微分方程化为一致的可解的函数方程，通过转换关系，可以研究方程之间的关系。 盛丛銎垫盘鲎亟堂焦i 金塞箍3 垣 ! J n _ k 对已有理论的总结，进一步从总体上阐述了变系数二阶线性微分方程求解的基本思想 和步骤。 第二章二阶变系数线性常微分方程的常系数化法 在二阶线性常微分方程的求解理论中，变系数微分方程的求解比较困难，没有一般的 方法可循。除了一些已

26、知特殊的方程之外，大多数方程只能利用幂级数解法来解答，虽然 该方法普遍有效，但是该方法较繁，而且得到的解是无穷级数的形式给出的，不利于做紧 一步分析。 但是常系数线性微分方程总是可以求解的，如果能够通过适当的变换将变系数线性微 分方程的系数变换成常数，则问题就可以很容易的解决了。 2 1 线性常微分方程的常见的保线性变换 在常微分方程的理论中，线性性质尤为重要，能保持微分方程的线性性质的变换称为 保线性变换。我们在对微分方程做变换时，一定要保持方程的线性性质不变，很多通过适 当的变换将具有某种特点的变系数方程化为常系数方程或者其它一些已知可求解的方程， 这些变换表面上看似不同，其实在保持线性性

27、质不变的前提下，这些变换在本质上是一样 的。 一变换y ( x ) = z ( t ) e 巾的保线性质 为确定起见，设二阶变系数线性常微分方程的标准形式为： 箬+ 荆塞+ Q ( 加o ( 2 1 1 ) 由文献【l 】对方程( 1 1 ) 做变换y ( 功= z ( t ) e 印，即同时做未知函数的齐次线性变换和自变量 变换，则有 掣：z ( f ) e r ( ，) _ c l t + ，( f ) z o ) e r O ) _ d t ， d t出dx 等d ”( 塞) 2 “，( 去) 2 “n 万d 2 t 砸矽( 差) 2 + ，- z 。矽( 剖2 + ”( 翁们俄咖哪，丽

28、d 2 t 将它们代入方程( 2 1 1 ) 化为未知函数z 关于自变量t 的二阶常微分方程： 象( 忑, I t ) 2 + 夏d zI 出d 2 ：t - + 2 妄( 塞) 2 + P 譬I + z l r j d 芦2 r 。忑a t ，z + 喜c 箬+ P 去，+ c 瓦d r ，z u 。- 五袅_ l ，：+ g ：。 2 J 2 由上可知，经过变换后的方程还是线性的，变换y ( 曲：z ( t ) e r t t ) 保持了微分方程的线性性质， 盛这銎撞盘堂亟堂焦i 金塞箍5 亟 故是保线性变换 二f 1 1 二阶线性常微分方程对自变量求n 阶导数的线性不变性 假设一般的二阶

29、变系数线性常微分方程形式为： 删窘托( z ) 罢+ 口2 ( 咖( 垆o ( 2 1 3 ) 对该方程的自变量x 求丹次导数，由数学分析中的莱布尼茨公式得出方程式以下： a o ( x ) Y 肿2 + q 口o ( 工) y 斛1 + + q a o “( x ) y 。+ q a 2 。( x 沙) y ：1 怒C l n a 。x ) y 怒薯a 2 l 。( n ) 出三0 亿， 4 + 2 (似_ 1 + C ：( z ) y = 、7 经过求导，方程还是线性方程，然而已经是( n + 2 ) 阶的了 由此可以可以将线性齐次微分方程对于自变量的变换以及关于未知函数的齐次线性 变换的

30、不变性应用于二阶变系数常微分方程的求解，导出变系数常微分方程常系数化所需 求的充要条件，得到可常系数化的方程所需要的变换，从而给出了这类方程求解的简便方 法。 2 2 化变系数微分方程为常系数微分方程 对于任何一个二阶变系数常微分方程： Y ”+ P ( x ) y + Q ( 工) 少= 0( 2 2 1 ) 根据第一节的理论，在保线性变换前提下，二阶变系数微分方程只有通过自变量的变 换，未知函数的变换，及自变量和未知函数的联合变换等才能使得方程常系数化，为此， 在以下部分将对上述变换做些阐述。 一【l J 通过自变量的变换实现常系数化 利用线性变换，令1 7 - - - - f o ( t

31、 ) ，则方程( 2 2 1 ) 可化为如下方程： 磐+ ( 尸妒一乏) 字+ Q ( r p ) 2 y = o ( 2 2 2 ) d x 。彩出 这样，方程就保持了线性变换，而要使方程( 2 2 2 ) 是常系数微分方程，必须满足 尸驴一乏= q ，R Q ( q , ) 2 = c 2 的条件下，实现常系数化才能够成立，其中q ，G 都是常 数。 若方程( 2 2 1 ) 满足满足判别式。一丢 p + 丢 = q ( 常数) ( 2 2 3 ) 筮鱼页盛墨盈垫盘生 亟堂僮i 金塞 则通过变换扣刖芑出2 伊。1 b ) ( 2 2 4 ) 可以将方程( 2 2 1 ) 化为常系数方程：万

32、d 2 y + q 瓦d y + c 2 y = o ( 2 2 5 ) ，为常数时方程( 2 2 1 ) 可以化为常系数方程，通常选取C 2 使方程( 2 2 4 ) 最简单， C 1 便确定。 二利用未知函数的齐次性变换实现常系数化 令Y = h ( x ) z ( x )( 2 2 5 ) 其中J I l ( 工) 为X 的已知函数，z b ) 为工的未知函数，方程( 2 2 1 ) 可化为： 等幅瓦d z + Q 剐 ( 2 2 6 ) 见= p + 百2 h ，Q 2 = Q + p 鲁+ 等， 一d 出h ，h d 出2 h ： 在y = 矗( x ) z ( 工) 的变换下，方程

33、( 2 2 1 ) 保持线性齐次性。若要使方程( 2 2 1 ) 实现常系数 化，则应该同时满足： 见：p + 警：吐( 常数) ( 2 2 7 ) 以 Q 2 = Q + p 丢+ 等= d ：( 常数) ( 2 2 8 ) 从( 2 2 7 ) 式解得：办G ) ：e ：心一P 陋( 2 2 9 ) 带入( 2 2 8 ) 式的结论2 。 若方程( 2 2 1 ) 的系数满足判别式： 妒Q 毛塞一i l p 2 = c ( 常数) 则经变幻式( 2 2 5 ) 、( 2 2 9 ) 方程( 2 2 1 ) 可化为常系数方程： 窘+ 磊妾“剐 ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 )

34、盛丛銎挂盘堂亟堂僮论塞簋2 亟 d 2 = A 2 + l d l 2 ( 2 2 1 2 ) A ：为常数时，J Y 程( 2 2 1 ) 可经未知函数的线性变换化为常系数方程，通常选取4 使 G ) 得 表达式显得更简单，畋由( 2 1 0 ) 、( 2 1 2 ) 来确定。 2 3 通过自变量和未知联合变换实现常系数化 若判别式( 2 2 3 ) 中的。不为常数，那么通过自变量的变换不能使方程常系数化，而 变换式( 2 2 4 ) 使得方程式( 2 2 2 ) 中： g = C 2 ( 常数) ，A = h l ( 2 3 1 ) 对方程( 2 2 2 ) 继续作变换y = 办O ) z

35、 O ) ，方程( 2 2 2 ) 化为： 等+ p 2 - 石d r + 圣：捌 ( 2 3 2 ) 岛硇+ 警孬帅。( J l - = 面d h = 雾 由此可见，变换后的方程还是线性齐次的。选择J l z O ) 使得P 2 = 吐( 常数) ，即 乃O ) ：e ：J ( 玉一见 办 ( 2 3 3 ) 将上式代入( 2 3 2 ) ，若能使磊= Q 一三鲁一譬+ 三互= 乏( 常数) 则式( 2 3 2 ) 中的系数是常数的。由于Q l ：C 2 ( 常数) ，互为常数，我们得到结论3 ：只 要判别式： 妒一三鲁一丢A 2 = c ( 常数) 方程( 2 2 1 ) 可经过自变量和未

36、知函数的联合变换： 烨黔帆晚忙悸可咄 常系数化为： 窘+ 互妄+ 乏刎 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 五= c ：+ ，+ 丢Z 2 ( 2 3 7 ) 通常选取d l 使 O ) 的表达式( 2 3 3 ) 最简单，d 2 由( 2 3 7 ) 完全确定。 综上可知，我们已经得到了变系数二阶线性常微分方程可化为常系数的三个判别式，满足 其中任何一个的方程都可以常数化。 2 4 变系数方程常系数化求解的步骤 ( 1 ) 利用双线性变换转化变系数线性微分方程为常系数线性微分方程，然后结合常数变 易等方法求解 ( 2 ) 对于任何一个变系数二阶线性常微分方程，首先可将

37、方程化为标准形式，然后确定 P b ) Q ( x ) ，然后对它们作出在什么条件下为常数的判断 ( 3 ) 对于一般的方程，也可依次检验判别式。，：，是否为常数，从而决定方程能否常系 数化，如果能常系数化需要什么样的线性变换，化为什么样的常系数方程，然后求解所 得到的方程 第三章二阶变系数线性微分方程的解法 引理3 1 1 对于二阶变系数线性齐次微分方程 甜”+ b G ( x ) - G ( x ) ， “+ c G 2 ( 石) “= 。 ( 3 1 1 ) 其中G C 1 ，G ( 功o ，6 及c 为实常数，可以通过自变量变换忙，G ( x ) d x ( 3 I 1 ) 化为常系数

38、齐次线性方程 _ d 2 u + 6 塑+ 铡：o ( 3 1 2 ) d t 2 d t 碱删舢，# 饵p + 乏列= 辱陋舟午可知 该变系数微分方程可以被常系数化，所以可以令f = p ( x ) 出，贝, t u - d 忑u = 瓦d u 夏d t = G ( x ) a 出u “- ：万d 2 u ：1 d ( G ( x 产) d u ) 生d x 攀揶) 粤a r t 怵) 塑d tddt d x 、 2 、。 将”，U ”代入( 3 1 1 ) 可得： G 2 碧“c 磅+ 降，一鬻卜鲁砌咖= 。 经整理得, G 2 ( x ) 雾+ G ( 功老+ 6 G 2 ( x ) 考

39、一G ( 力警+ c G 2 ( z 皿= 。 即得G 2 ( x ) 象+ 6 G 2 ( 工) 警+ c G 2 ( 工如= o ，由于G ( x ) o ，所以就有 窘+ 6 害+ 侧= o ，故引理得证 1 3 1 对一船的一阶弯系斯齐冶纬件方；I 旱 y + P ( x ) y + Q ( z ) y = o ( 3 1 3 ) 形如A ( x ) y t + 4 ( x ) y + 4 ( x ) y = 0 的方程，当4 ( x ) O 时，总可以化为( 3 1 3 ) 的形式， 做一般的双重变换 筮! Q 亟盛垫銎挞盘鲎亟堂僮途塞 Y = F ( x ) u ( t ) ( 3

40、 1 4 ) f = p o ) d x ( 3 1 5 ) 其中F C 2H C IF ( x ) 0 是未知函数，考虑能否用该变换式化方程( 3 1 3 ) 为常系数方 程( 3 1 2 ) 的两个充分性条件。 由( 2 1 4 ) 和( 2 2 1 ) 两式得 y _ F ( x 地+ F ( x ) 日( 功瓦d u y = 掰坤F 劈+ 用，罢+ 册2 碧 将它们代入方程( 2 1 3 ) ，得 F H 2 面d 2 u + 眇H + F H 、七F H P ) - 警t + 媾j 、+ P F + Q F ) u = o 由于F H 2 0 ，可得 窘+ 斋( 2 朋+ 朋+ 删老

41、+ 壶( + 阡+ Q F ) “= 。 ( 3 2 1 ) 以下我们给出由y + 以x ) y + Q ( z ) J ，= 0 的系数尸( x ) ，Q ( z ) 来判定和确定双重变换( 2 1 4 ) ， ( 2 。2 1 ) 使( 2 1 3 ) 化为常系数方程的两个条件。 定理3 2 1 假设P C 2 , P ( x ) O ，Q C ，如果 ： ( 去) 。+ d 去) + Q 刍 = = c o ，岱r 贝, U T y 程( 1 3 ) 可经双重变换 y = j F “，f = ，脓 y = 了F “【J ，卜J 脓 化为常系数线性方程( 2 1 2 ) ( 3 2 2 )

42、 ( 3 2 3 ) 证明：因为变换( 3 2 3 ) 在变换( 3 1 4 ) 和( 3 1 5 ) 中取 ，( 石) = 而1 ，日( 石) = P 代入方程( 2 1 3 ) 后所得到的方程( 3 2 1 ) ，利用条件( 3 2 2 ) ，这时 甜的系数为 扣删悯2 吉獬+ 俐1 2 舢 = 壶I ( 去) - + 尸( 去 I + Q 去卜 _ d u 的系数为 d t 面1 ( 2 F H + 用+ 删= 壶 2 c P 专尸p + 去“嘉 = c 3 弼 也就是说，在条件( 3 2 2 ) 下，双重变换( 3 2 3 ) 将方程( 2 1 3 ) 化为常系数线性方程( 2 1 2

43、 ) ， 而此时的实常数6 ，C 为b = l ，C = 三。证毕 例2 1 3 1 求方程工4 Y ”一( 口+ 6 b 2 Y + 酝+ 6 b + 如砂= o 得通解，其中a + b 0 ：可经双重变换 附吐酽 H ( x ) = 包Q ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 箍1 2 厦 盛垫盘垫盘堂亟堂鱼i 金塞 式中毛，也是常数。如果瓦p ”+ 艘+ 妒) = c = c D 珊f ( 3 2 8 ) 则变系数方程( 2 1 3 ) 可经过双重变换( 3 2 7 ) 、( 3 2 8 ) 化为常系数方程 _ d Z u + 础：0 ( 3 2 9 ) d t 证明：如果( 3 2

44、8 ) 成立，则将( 3 2 7 ) 、( 3 2 8 ) 代入方程( 2 1 3 ) 后，从所得的方程( 3 2 1 ) 中可知“的系数即为常数c ，再就是，由( 3 2 6 ) 、( 3 2 7 ) 得 F 2 t I ：毛2 毛e - J 脑，然后对两边关于x 求导可得 2 F F I H + F 2 H ? = 一P F 2 H 即2 F 日+ F H + F H P = 0 说明所化得的方程( 3 2 1 ) 中的掣的系数为零。所有变换( 2 1 4 ) 、( 2 2 1 ) 将( 2 1 3 ) 化为二阶常系数线性方程( 3 2 9 ) 。证毕。 例2 【引求方程，Y 。一x S

45、y + a y = O 的通解，其中a 0 。 解：首先对该方程进行变形为：y 。一；1y , + ay = o ，即尸= 一j 1 ，Q = a x 。 根据( 3 2 6 ) 、( 3 2 7 ) ，可以考虑驭 ，( 力= k l( 令蜀= 拓) 坼M 等一；( 令如一去) 由于 斋p ”删+ O F ) = 等( 2 - _ 12 x ax 2 ) = a 4 即满足条件( 3 2 8 ) ，又因为 2 F 日删+ 肿= 2 2 x c 一争x 2 ( ；) “( 詈 ( 一圭) = 。 所以，由定理3 2 2 ，作双重变换J ，= x 2 甜O ) f = 1 ，就将所给方程化为常系数

46、线性方程 孑d 2 u + i a ”一o ，所以原方程的通解为y = ( q c o s 轰+ Qs 逾喜) 惑墨登拯盘室亟堂僮论塞 一 箍l 三里 定理3 2 3 假设E ，G C t , E = E ( x ) ，G ( 戈) 0 ，其中b 为实常数，则二阶变系数线性微分方 程 少。+ ( 6 G 一2 E 一罟) y + E 2 - E - E ( 6 G 一罟 y = 。 c 3 2 - 。， 经双重变换 y = e 胁出蝴f = J G ( x ) 出 ( 3 2 1 1 ) 化为常系数线性方程一d Z i t + 6 掣：0 a c t a c t 证明：双重变换( 3 2 1

47、1 ) 可以假设F G ) ：P f m 胁，日( x ) ：G ( 工) ，引用文献 3 】的证明思路可知， 方程( 3 2 1 0 ) 是方程( 2 1 3 ) 当 地瑚G 啦一百G f 姒x ，= E 2 - E - E ( 娅罟卜脯形。 所以方程( 3 2 1 ) 中的警的系数可以借鉴上述的结论为 丽1 ( 2 F 日+ 刚+ 御) = - - 击2 ( 2 E G + G + 6 G 2 2 E G G ) = 6 而“的系数为 击c n 腰。唧= E + E 2 + ( b G - 2 E - 罟) E + E 2 - E - E p 甜渊方程 ( 3 2 1 0 ) 可以经过双重

48、变换( 3 2 11 ) 化为常系数方程：磐+ 6 宰：o d t d t 3 2 待定函数法 定理3 2 4 方程( 2 1 1 ) 有形如 “：P , i s - ( ，) ( 3 2 1 2 ) 的类型的解的充要条件是”G ) 一g 等厂G ) = 。，其中五为待定常数，其中厂G ) 为待定函数， 它具有所需阶数的连续导数。 证明( 必要性) 设方程( 2 1 1 ) 有“= e 砂( x 形式的解，将其代入方程( 2 1 1 ) 后，力和厂G ) 能被 确定，那么就可以求得方程( 2 1 1 ) 的解。由于“= 矽G k 矿( ”，“。= 名L 厂G 汗e 砂( J ) + 矽。G k

49、 矿( x ) 箍! 垒亟盛丛登垫盘生亟堂僮论塞 e 可忙厂2 + 6 矽 G + c G 2 ) + P 矽( 厂。一罟，) = 。 c 3 2 3 ， 由定理中的条件知 几) 一裂几) _ 0 ( 3 2 “) 这是一个关于厂G ) 的一阶可分离变量方程，积分得G ) = C l G ( 功；再积分得 几) = C Ip o ) d x + C 2 ，式中，G ( x ) d x Y 2 环G ( x ) 的一个原函数，因为只需要一个厂G ) 故取 c l = 1 ，C 2 = 0 ，得 G ) = ，G ( z ) 出 ( 3 2 1 5 ) 即存在这样的一个厂G ) 使得( 3 2 1

50、 4 ) 成立，将它代入( 3 2 1 3 ) 式得， e a G 2 ( 刀+ 6 五+ c ) = 0 由于G ( x ) o , e A 去G 2 ( x ) e 矽( M ，得出名必须满足一元二次方程： 名+ b 2 + c = 0( 3 2 1 6 ) 根据文献 2 】，其解为：o 谚2 知时，a , 2 = - f = 三瓜 这样待定常数五t g 搬E J T 所以，方程( 2 1 1 ) 的确有形如( 3 2 1 2 ) 的解，故其通解为： ( f 谚2 f 强，从而得到方程( 2 1 1 ) 的通解： “：( C l + Gp 溉 一笋融 ( 3 2 1 8 ) ( i i i

51、 ) b 2 4 c 时，方程( 2 1 1 ) 有两个线性无关的特解：= P 几，“2 = P 彬，故其通解为 “：c p _ ) l c 出+ C 2 e ( T b 五) J 触( 3 2 1 9 ) 由于上述推导是可逆的，所以充分性也成立 3 3 自变量变换法 由引理3 1 1 知方程( 2 1 1 ) 在自变量变换 扣j G ( x ) d x ( 3 3 1 ) 下变为关于“和自变量f 的常系数线性方程_ d Z 了u + 6 孚+ 伽：0 。根据特征方程( 3 2 1 6 ) 的 d t d t 粑的情况可得奠涌解： ( f 眵2 4 c 时，“：C l 专+ f ) + Q 一

52、j b - r ) f 将f = f G ( 功出代入即得到( 2 1 1 ) 的通解类似( 3 2 1 7 ) 、( 3 2 1 8 ) 、( 3 2 1 9 ) 式。 定理3 3 1 1 4 1 设G = G ( 力C 1 ，E = E ( z ) C 2 ，并且G O , E O 为己知函数，6 ，c 均为实常 数，则方程： y ”+ p 罟一2 钞+ 等+ 2 詈一半瑚2 卜 n 3 力 可积，并且如果一元二次代数方程 名+ b 2 - I - C = 0 ( 3 3 3 ) 根的判别式为A ，两根为a l ，五，那么方程( 3 3 2 ) 的通解为： 箍! 互亟盛丛盘垫盘堂亟堂僮i

53、金塞 m o 时，y = dC l P 巾+ C 2 P 咖) ) ：o 时，此时A ：如：一i b ，y ：一：鼢( c l + Q ，G 出) ( i i i ) A o 时，y = E 【C lc o s 昨p 出) + c 2s i n ，G 出 ! I ； ( i i ) c = o 时，y = E ( C l + c 2 胁) ； ( f 豇) c 。时，y = e 触( C l e 铀+ G 口如强) ； ( i i ) A = o 时，此时A ：如= 一号，J ，= e ( 卜j b G ) 出( c l + c 2 ，G 出) ； ( i i i ) A o 时，此时代数方程

54、没有实数根，但是有一对共轭的复数根，设为， ，：= 口历，y = e ( + E ) 出【C Ic o s ( ，G 出) + C 2s i n ( ，G 出) 】 证明：引入双变换 y = e l e a 。u ( t ) ，f = ，眺 ( 3 3 1 1 ) 由于该方程中的P = 6 G 一2 E 一要，Q = c G 2 + E 2 + 罟E 一6 G E L r E L ， 所以由定理3 2 3 的证明可得( 3 3 1 0 ) 在变换后的方程中掣的系数为： d t 丽1( 2 F 日+ 朋+ 肿) = 萨1 ( 2 E G + G + 6 G 2 2 E G G ) = 6 而“的

55、系数为： 斋p 。+ 艘+ 汐) = 古P + E 2 + G 一2 E 一爿E + E 2 - E - 可6 G 一罟) + c G 2 = c 故在双重变换后所得的方程是： d _ 2 U + 6 d r ：+ c U ：O d t 2d t 由于b ，c 为常数，显然方程是一个以U 为未知函数，以f 为自变量的二阶常系数线性微分方 程，故可以求出其解，求出这个方程的解之后，用e 一融y 代替”，同时用，G 出代替f ，再 由定理3 3 1 就得( 3 3 1 0 ) 的通解，证毕 推论2 【4 】设E = E ( z ) C ，G = G ( x ) C 1 ，c 为实常数，则方程 y

56、。一( 2 E + 罟 y + ( c G 2 + E 2 + E 罟一E y = 。 c 3 3 t 2 ， 可积，日其涌解为 少2 P 腑( C l P 五触+ C 2 e 丘触、c o ) 证明：在定理3 3 2 中，当b = 0 时，就是方程( 3 3 1 2 ) ，故利用类似定理3 3 2 的证明方法可 知此时的掣的系数为6 ：0 ，然后结合推论1 的结论就可以得到此推论，这样也就得到了新 的可积类型，证毕 3 4 常数变易法 对常数变易法的应用我们不能局限在常微分方程教材中指出的那样：只要得到了非齐次线 性方程对应的齐次线性方程的基本解组就可以利用常数变易法求得它的解。为了研究问题

57、 的方便，而应该拓宽思路，扩大应用范围，那就是利用常数变易法求解齐次线性微分方程 和某些类型的非线性微分方程 首先考虑高阶齐次线性微分方程 a n G b n ) + a 川G 涉) + + 口o G b = o ，为了简便，我们可以将它记作 q G = o ( 3 4 1 ) 其中q G ) C ，i = 0 1 ，玎，由于夕( o ) = y ，所以关系式： 0 ) = 口口，G ) = o ( 3 4 2 ) 称为方程( 3 4 1 ) 的特征方程 另外，记D ：导是微分算子，则方程( 3 4 1 ) 可表示为： 缈( D ) y = 0 ( 3 4 3 ) 引理3 4 1 【5 】对任

58、意的以，口及口，( 曲C ，i = l ，2 ，行都有 舶) ( c ( 咖甜) - 一委n 一h ( O t , v Xm ( 砌 ( 3 4 4 ) 其中c ( x ) 有直到疗阶的导数 证明：设Y - - c ( x ) e 蕊，因为 箍2 Q 亟 盛墨銎垫盘鲎亟堂僮i 金塞 y = ( 伽( 石) + c ( 功) 严 Y 。= ( 口2 c ( x ) + 2 a c ( x ) + c ”( x ) ) P 甜 ( 3 4 5 ) Y ”= ( 口3 c ( x ) + 3 a 2 C ( x ) + 3 a c 。( x ) + c 。( x ) ) 8 甜 y “= ( 口”c

59、 ( 工) + c ：口”1 c ( 力+ c ：口”2 c 。( x o + + - 1 c 配伽- 1 ( 工) + c 似( x ) ) P 觏 将( 3 4 5 ) 代入( 3 4 1 ) 的左端，得( 3 4 6 ) 式 烈助妒B q 口川+ 面1 一蛳( 功+ 五1 妙+ ”+ 志矿。刚川+ 磊1 砂w 帕叫 其中吣) = 砻删，面1 叭咖( 咄i 1 叭咖删 由引理3 4 1 可得到如下定理： 定理3 4 1 1 5 1 函数 Y = c ( x ) e 甜 是方程( 3 4 1 ) 的解的充要条件是恒等式 喜华三。 成立，其中O t 为待定常数，c ( x ) 是待定的连续函数且有到玎阶的导数， ( 3 4 7 ) ( 3 4 8 ) m ( 口) = 口口i ( x ) i = O 一 推论3 4 1 函数y = 扩是方程( 3 4 1 ) 的解得充要条件是恒等式口口，( x ) 暑。成立 i = 0 P S ：方程( 3 4 1 ) 在口f ( 力量。时，有特解y + - e 。 i - o 推论3 4 2 在方程( 3 4 1 ) 中，当 k ( k 1 ) ( 七一n + 1 ) a 。( 石) + k (