历年北大直博试题

1、2011!2012ccc?KKK Penny 1.f(x)30,1?L:(0,0),(1,0), ?1 3,2 ? f(x)v Z 1 0 f(x)dx = 1y = f(x)?” 2.(1)f(x) C0,1f(0) = f(1)y0 1, 1 N, 0,1 s.t.f( + ) = f() (2)y0 0 f(x1) f(x2) x1 x2 D0f(x0) = lim xx0 f(x) f(x0) x x0 Df(x0) =lim x1,x2x0 (x1x0)(x2x0)0 f(x1) f(x2) x1 x2 4.an 0, + X n=1 a2 nuy3bn,cnvbn,cn 0, +

2、X n=1 b2 n +, + X n=1 c2 n +? + X n=1 anbn 13Y?N?F : Rn Rn/0,p F(p)?F ?Jacobi?m? lim p F(p) = 5.?fn(x)R?k.?Yv?4ma,b R, lim n Z b a fn(x)dx = 0yu?4mc,d R9c,d g(x)k lim n Z d c g(x) fn(x)dx = 0 6.?F(x,y,z)G(x,y,z)D R3Y?vN?(x,y,z) (F(x,y,z),G(x,y,z)?Jacobi?3D?1?F(x,y,z)? Fgrad(F)3D?0. bp0= (x0,y0,z0) D

3、,F(x0,y0,z0) = G(x0,y0,z0) = 0.y3p0?+U D?3U |F(x,y,z) = G(x,y,z) = 0F(x,y,z) = 0)3D)Q 7.?f(x),g(x)m(a,b)n?e3:x0 (a,b)f(x),g(x)? 0k?Kf(x),g(x)3x0?k?.?f(x),g(x)3(a,b) p?:x1, ,xtOk11, ,kt1?n = k1+kty x (a,b),y (a,b)s.t.f(x) = g(x)+ f(n)(y) g(n)(y) n! (xx1)k1(x x2)k2(x xt)kt 8.?V P ?k5mV 5CA?,z g(x)g?/

4、g(x) = m Y i=1 (x i)ti(i 6= j i6= j) yeh(x) P(x)s.t.(x i)ti|(h(x) i),i = 1,2, ,mK (1)h(A)?z (2)h(A) AC 9.?A,B n?D = AB BA,DA = ADyDn= 0 10.?V P ?n5mW1, ,WkV ?fmy (1)V 3?u?Wj,j = 1,2, ,k (2)3V ?|1,2, ,nvi6 k j=1Wj,i = 1, ,n (3)U V ?fm-CU, W|WV ?fmW U = V KCU k? 11.?V nmA L(v)?C (1)yV )?Afm? (2)?1, ,n

5、1, ,nV ?|IO?(1, ,n) = (1, , n)Ay A = cos(1,1)cos(2,1)cos(n,1) cos(1,2)cos(2,2)cos(n,2) . . . . . . . . cos(1,n)cos(2,n)cos(n,n) (3)(?m1a?91?a?/ nm?C?qIO.=,z?L/ 12.n l1: ?y x = 0 z 1 = 0 l2: ?y + x = 0 z + 1 = 0 l3: ?y = 0 z = 0 ?)?- 13.?C x0= x + y + 3z y0= x + 5y + z z0= 3x + y + z 3p?3dCeEC3p?. ?C

6、L?CO3p?1? C? 14.yOuV-? x2 a2 y2 b2 = 2z xpR?1?:? ;,?V-?2z = b2 a2?V- 2012? VA N ILLA 1 1. Rn8S;8?duSk.48. 2. Ly?Lagrange?Taylor. 3. R 1 0 dx Rx x siny y dy. 4. bn m 1,3Y?N?F : Rn Rn 0,p F(p), ?F?Jacobi?m,? lim p F(p) = ,why? 5. ?fn(x)R?k.?Y,va,b R,k lim n R b a fn(x)dx = 0.y :c,d R9c,d ?g(x),k lim n

7、 R b a g(x)fn(x)dx = 0. 6. ?F(x,y,z)G(x,y,z)D R3Y?,vN?(x,y,z) (F(x,y,z), G(x,y,z)?Jacobi?3D?1,?F(x,y,z)?Fgrad(F)3D? ?0.b3:p0= (x0,y0,z0) D,F(x0,y0,z0) = G(x0,y0,z0) = 0.y:3:p0? ?U D,?3U|F(x,y,z) = G(x,y,z) = 0F(x,y,z) = 0 ).3D|),why? 7. ?f(x),g(x)m(a,b)n?,e3:x0 (a,b)f(x),g(x)?0k? ?,Kf(x),g(x)3x0?k?.

8、y?f(x),g(x)3(a,b)p?:x1,.,xt Ok1 1,.,kt 1?,?n = k1+ + kt.y:x (a,b),y (a,b)? f(x) = g(x) + f(n) g(n) n! (x x1)k1.(x xt)kt. 2“ 1. ?V P?k5m,V 5CA?,zg(x) g?/: g(x) = m Y i=1 (x i)ti(i 6= jKi6= j) y:e3h(x) P(x)?(x i)ti|(h(x) i),i = 1,.,m,K(i)h(A)?z; (ii)h(A) AC. 1 2. ?A,Bn?,D = AB BADA = AD,yDn= 0. 3. ?V

9、P?n5m,W1,.,WkV ?fm,y: (a) 3V ?u?Wj,j = 1,.,k. (b) 3V ?|1,.,nvi/ Sk j=1Wj,i = 1,.,n. (c) UV ?fm,-CU, W|WV ?fmW U = V ,KCUk ?. 4. ?V nm,A L(V )?C. (a) y:V )?Afm?. (b) ?1,.,n;1,.,nV ?|IO?,(1,.,n) = (1,.,n)A.y: A = cosh1,1icosh2,1i.coshn,1i cosh1,2icosh2,2i.coshn,2i . . . . . . . . cosh1,nicosh2,ni.cosh

10、n,ni (c) (?m1a?91?a?/,n m?C?qIO.(=,z?L/). 3A 1. n l1: y x = 0 z 1 = 0 ,l2: y + x = 0 z + 1 = 0 ,l3: y = 0 z = 0 ?)?-?. 2. ?C x0= x + y + 3z y0= x + 5y + z z0= 3x + y + z 3p?,?3dCeEC3p?;?C L?CO3p?1? C?. 3. y:OuV-? x2 a2 y2 b2 = 2z(1) ?xpR?1?:?;,-(1)2z = b2 a2?V- . 2 北京大学北京大学 2012 年直博生入学考试试题年直博生入学考试试题

11、 考试科目：数学分析（满分 150 分） 1.（25 分） n R中的集合S称为紧集，如果对于S的开覆盖 U，都存在 U中的有限个 元素也覆盖S.证明： n RS 为紧集的充分必要条件是S是 n R中的有界闭集. 2.（25 分）表述和证明多元函数带Lagrange（拉格朗日）余项的二阶Taylor（泰勒）展 开公式（余项为二阶）. 3.（20 分）计算积分 1 0 sin x x dy y y dx. 4.（20 分）假定1mn，问是否存在连续可导的映射 0-: mn RRF，(p)Fp ， 使得F的Jacobi（雅可比） 矩阵的秩处处为m， 而 (p)lim F p ， 为什么？这里 0

12、表示 m R 的原点. 5.（20分） 设 xfn是实轴R上一列一致有界的连续函数， 满足对于任意闭区间Rba,， 成立0(x)dxlim b a n n f，证明：对于实轴中的任意闭区间dc,，以及dc,上绝对可积的 函数(x)g，恒有0(x)dx(x)lim b a n n fg. 6.（20 分）设）（zyxF,和）（zyxG,都是区域 3 RD 上连续可导的函数，满足映射 z)y,G(x,z),y,(F(x,）（zyx的Jacobi（雅可比）矩阵的秩在D上处处为 1，而函数 ）（zyxF,的梯度向量(F)grad在D上处处不为零，假定在点D)z,y,(x 0000 p， 0,）（）（z

13、yxGzyxF.证明：存在点 0 p的领域DU ，使得在U上，函数方程组 0z)y,(x, 0),( G zyxF 与函数方程0,）（zyxF是同解方程.问在D上这两组方程是否也是同解 方程，为什么? 7.（20 分）设(x)f和g(x)都是区间ba,上n阶可导的函数，如果在点bax, 0 ，成立 )g(x)(x 00 f，)(xg)(x 0 0 f，)(xg)(x 00 kk f，则称(x)f和g(x)在 0 x处k阶 相切.现设(x)f和g(x)在（a,b）中互不相同的点 t xx, 1 处分别1-, 1- 1t kk阶相切，而 t kkn 1 .证明：对于任意b)(a,x，存在b)(a,

14、y，使得 t f k t k 1 (n)(n) )x-(x)x-(x n! (x)g-(x)f g(x)(x) 1 考试科目：高等代数（满分 100 分） 1.（25 分） 设V是数域P上的有限维线性空间， 且V上线性变换的某个化零多项式(x)g 可分解为一次因式幂的乘积的形式： itm i g 1 i) -(x(x)， （当ji ，有 j i ） ， 证明： 若存在 xP(x)h， 使得m,1,2,i),-(h(x)|)-(x i t i i 则)(hi）（可对角化； -)(iih）（是幂等变换. 2.（25 分）设 A,B 为 n 阶方阵，BAABD且D与A可交换，证明0 n D. 3.（

15、25 分）设V为数域P上 n 维线性空间， k WW, 1 ，为V的真子空间（即非零、非 V）. 证明： （1）存在 V 中的元素不属于任何一个kjWj, 1,. （2）存在 V 的一组基 n , 1 满足 j k ji W 1 ，对所有ni., 2 , 1. （3）U 中 V 的真子空间，令VUWVWWCU 的子空间且为|，则 U C中含有无穷 多个元素. 4.（25 分）设 V 为 n 维欧氏空间，）（VL是正交变换. (1)证明：V 可以分解为一些 1 维或 2 维得 两两正交的-子空间的直和（即 s VVVV 21 ， 其中 i V为的维数为 1 或 2 的不变子空间， 且若ji 则必

16、有 ji VV , 彼此正交）. (2)设 nn ,;, 2121 为V的两组标准正交基，且 ）（）（ nn , 2121 .证明 nnnn n n A ,cos,cos,cos ,cos,cos,cos ,cos,cos,cos 21 22221 11211 ， 这里，表示向量，在欧氏空间中的夹角. (3)确定二维欧氏空间上的第一类正交矩阵及第二类正交矩阵的一般形式，并由此给出 n 维 欧氏空间上正交变换的相似标准型（即某种简化的表示形式） 考试科目：几何学（满分 50 分） 1.（15 分）求与三直线 0 0 :, 01 0 :, 01-z 0 x-y : 321 z y l z xy l

17、l 都相交的直线所产生的曲面的方程. 2.（20 分）设给出的仿射变换为 zyxz zyxy zyxx 3 5 3 求 3 个互相正交的向量，使得在此变换下，它们仍变为 3 个互相正交的向量；并将所给的仿 射变换表示成一个正交变换和分别对 3 个互相正交的方向施行的伸缩变换的乘积. 3.（15 分）证明：分别属于双曲抛物面 (1)2- 2 2 2 2 z b y a x 上的两族互相垂直的直母线交点的轨迹是曲面（1）与平面 22 -2abz 的交线，为一条双曲线. 2013201320132013 北大数院直博北大数院直博北大数院直博北大数院直博 （回忆版，仅供参考）（回忆版，仅供参考）（回忆

18、版，仅供参考）（回忆版，仅供参考） 1.(20 分)f 是2 , 0上的上凸可导函数，过（0,0） ，(1,1),(2,0)点，问 f 与 x 轴 围成面积的下确界是多少？该下确界能达到吗？ 2.（20 分）由方程 .sinxyy=+ （1）证明 f 在 x=0 附近可以唯一确定 )(xfy= （2）将 )( 22 210 xoxaxaayy+=表示为 3.（20 分）构造函数定义在 1 , 1 上的函数 f，满足 f 只在其中一点可导，在其他 各点都不连续。 的收敛性。分）讨论级数（ + 1 ) 1( ) 1( 20. 4 n n n 吗？解释原因。收敛于 的弧长求 一致收敛于）求证（ 。的

19、弧长求 上，满足定义分）函数（ ll lf ff lxf n n x n n x n n k n k x n k x n nn x n x n n x n x n f xf n n nn n )4( .)3( .2 )() 1 ( 2 , 22 ,) 12 ( 1 ) 2 , 22 ,) 12 ( 1 ) 4 , 2 ,) 3 ( 1 ) 2 , 0,) 1 ( 1 2 , 0)(35. 5 2 2 2 2 2 2 2 2 = 6.（35 分）定义函数 f:0,10,1如下： ）则写成表示成无限小数（如其中 其中 = = 90 . 0, 1 . 0 . 0.,000 . 0)( 321321

20、xx aaaxaaaxf 请自由探索 f 的性质。 .)()(),(4 )()2).(3( )( , 6)deg(),(012 1125. 7 158 58 36 36 += =+ 0，M 是与该双曲线相 交 于封 闭曲 线的 任 意平 面， 0 M 是 与 M 平 行的 一族 平面 ， 证明 0 M 与 1 222 =+zyx （z 0）相交的都是椭圆，且椭圆的中心在 xy 平面上的投影都 在 x 轴上。 （这题题目记不清楚了，可能不对） 12（20 分） 三点共线。，证明相交于与，相交于与 ，相交于与是三条平行的线段，已知 FE,D,FCBEAC D, BCCA BAABCCBBAA 北京

21、大学数学科学学院 2015 年直博生摸底考试试题 2015 年 4 月 11 日 1. (90 分) 设 y=f(x)是 R 上的 C函数, 对任意整数 k0, 记 Mk=supxR|f(k)(x)|. 设 m 和 n 为两整数, 0m f (x);8x 2 (?1;1), 则 f (x) 至多有一个零点. (2) 若 f (x) 处处二阶可导且 f 00(x) f (x);8x 2 (?1;1), 则 f (x) 至多有两个零点. 2. (30 分) 假设 ?(x;y;z) 是原点 O 某个邻域上 C1函数, 且 ?;?x;?y;?xz;?yz在 O 点 为 0, ?xx;?yy在 O 点为 1, ?xy(O) = 1 2;?z(O) = ? 1 2. ?(x;y;z) = 0 的隐函数记为 z = z(x;y)(已知 z(0;0) = 0). 请讨论 z = z(x;y) 在 (0;0) 点附近的极值问题. 3. (40 分) 设 z = z(x;y) 是题 2 中的隐函数,