高中抛物线标准方程及几何性质课件

1、5.4 抛物线,第一节 抛物线的 标准方程和几何性质,平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线。,一、定义,d,的轨迹是抛物线。,则点,e=,M,d,MF,1,=,新课讲解,二、标准方程,如何建立直角 坐标系？,y,o,K,设KF= p,设点M的坐标为（x ,y），,由定义可 知，,方程 y2 = 2px（p0） 叫做抛物线的标准方程。,其中p为正常数，它的几何 意义是焦准距,y,o,K,(m,n),K,若顶点在O1(m,n)，则方程为(y-n)2= 2p(x-m),l,F,y,x,O,l,F,y,x,O,l,F,

2、y,x,O,l,F,y,x,O,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,四种抛物线标准方程的异同: 共同点: (1)原点在抛物线上； (2)对称轴为X轴、Y轴； (3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点,与原点的距离等于一次项前面的系数的绝对值的1/4；即焦点与准线的距离等于一次项系数的绝对值的一半。 不同点: (1)对称轴为x轴时，方程右端为2px，左端为y2 ；对称轴为y轴时，方程右端为2py，左端为x2 。 (2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同时，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取+号；

3、开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同时，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取-号。,O(0,0),A,B,F(p/2,0),L:x= -p/2,K,p,y2=2px,O1(m,n),A,B,F(h+p/2,k),L:x=h-p/2,K,p,(y-n)2=2p(x-m),顶点在原点,顶点在点(m,n),抛物线草图画法：,O(0,0),A,B,F(0,p/2),L:y= -p/2,K,p,x2=2py,顶点在原点,顶点在点(m,n),O1(m,n),A,B,F(h,k-p/2),K,p,(x-m)2= -2p(y-n),L:y= k+p/2,例1、点M与点F（4，0）的距离比它到直线 l：

4、x50的距离小1，求点M的轨迹方程,如图可知原条件等价于M点到F（4，0）和到x4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x4为准线的抛物线所求方程是y216x,分析：,例题讲解,例2、已知抛物线方程为x=ay2（a0)，讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？,例3、求抛物线的焦点坐标和准线方程： (1) y2 = 6x,(2) y = 6x2,(4)已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。,(3) y = x2-4x+3,(5)y2-mx-2y+4m+1=0的准线为x=3，求m。,例4、抛物线 的焦点为F (1)若斜率为1的直线经过点F，与抛物线交于A、

5、B 两点，求线段AB的长。 (2)抛物线上有三点A,B,C，且FA+FB+FC =0，求 |FA|+|FB|+|FC|。,1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = -20 x （2）y=2x2 （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0,（-5，0）,x= 5,（0，-2）,y=2,注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式,跟踪练习,2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）,（2）准线方程 是x =,（3）焦点到准线的距离是2,解：y2 =12x,解：y2 =x,解：y2 =4x或y2 = -4x 或x2 =4y或x2 = -4y,例5

6、、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。,解：1）设抛物线的标准方程为 x2 =2py，把A（-3，2）代入， 得p=,2）设抛物线的标准方程为 y2 = -2px，把A（-3，2）代入， 得p=,抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。,1.已知抛物线经过点P(4,2)，求抛物线的标准方程。,提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物线的标准方程为y2=2px或x2=-2py,跟踪练习,2. 求顶点在,，准线为,的抛物线方程和焦点坐标。,例6、已知抛物线形古城门底部宽12m,高6m，建立适当的坐标系，求出它的标准方程。,引申:(1)一辆货车宽4m,高4m，问能否通过此城门?,(2)若城门为双向行道，那么该货车能否通过呢？,三、抛物线的几何性质,F,M,l,N,K,y,O,对于y2=2px(p0),1、范围：,2、对称性：关于x轴对称,3、顶点：O(0,0) 顶准距=顶焦距=p/2，焦准距=p,4、离心率e=1,F,A(x1,y1),l,A1,K,y,O,5、焦点弦性质：,B(x2,y2),B1,三个定值：,一个最值：通径|AB|=2p