等腰三角形的判定与反证法

1、1 等腰三 角形,第3课时,一个三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？,与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.,你认为有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？,一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？,驶向胜利的彼岸,命题的证明,定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.,证明:AB=AC, B=600(已知), C=B=600.(等边对等角). A=600(三角形内角和定理). A=B（等式性质）. AC=CB（等角对等边）. AB=BC=AC（等式性质）. ABC是等边三角形.,已知:如图,在ABC中,AB=AC,B=600. 求证:ABC是等边

2、三角形.,几何的三种语言,驶向胜利的彼岸,定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.,在ABC中, AB=AC,B=600(已知). ABC是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).,这又是一个判定等边三角形的根据.,驶向胜利的彼岸,命题的证明,定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.,证明:A=B (已知), BC=AC(等角对等边). 又B=C(已知), AB=AC(等角对等边). AB=BC=AC(等式性质). ABC是等边三角形.,已知:如图,在ABC中,A=B=C. 求证:ABC是等边三角形.,几何的三种语言,驶向胜利的彼岸,定理:三个角都相等的三角形是等边三角

3、形.,在ABC中, A=B=C(已知), ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).,这又是一个判定等边三角形的根据.,驶向胜利的彼岸,命题的猜想,操作:用两个含有300角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？,能证明你的结论吗？,结论:在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半.,能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.,由此你想到，在直角三角形中, 300角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？,驶向胜利的彼岸,命题的证明,定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.,在ABC中,ACB=900,A=300(已知), B=600(直

4、角三角形两锐角互余). 又 ACB=900(已知), ACD=900(平角定义). 在ABC与ADC中 BC=DC（作图）, ACB=ACD（已证）,AC=AC（公共边）, ABCADC（SAS）, AB=AD. ABD是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形) BC= BD= AB(等式性质).,已知:如图,在ABC中,ACB=900,A=300. 求证:BC= AB.,证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.,反过来怎么样逆向思维,命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300 ，是真命题吗? 如果是,请你证明它.,驶向胜利的彼岸

5、,已知:如图,在ABC中，ACB=900,BC= AB. 求证:A=300.,反过来怎么样逆向思维,在ABD中,ACB=900(已知), CD=BC， AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等). 又BC= AB(已知), BC= BD(作图), AB=BD(等量代换). AB=BD=AD(等式性质）. ABD是等边三角形(等边三角形意义). B=600(等边三角形意义). A=300(直角三角形两锐角互余).,驶向胜利的彼岸,证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.,几何的三种语言,驶向胜利的彼岸,这又是一个判定两条线段成倍分关系的根据.,定理:在直角三角形中, 如

6、果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.,在ABC中, ACB=900,A=300. BC= AB(在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半).,学无止境,驶向胜利的彼岸,分析:如图,在ABC中AB=AC=2a,B=ACB=150,CDAB于D. 求:CD=?,解:B=ACB=150(已知), DAC=B+ACB= 150+150=300(三角形的一个外角,等于和其不相邻的两内角的和). CD= AC= 2a=a(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).,例2.已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a. 求:腰上的高

7、.,含300角的直角三角形,驶向胜利的彼岸,1.已知:如图, 在ABC中,ACB900,A=300,CDAB于D. 求证:BD= AB.,你能规范地写出证明过程吗？你的证题能力有所提高吗?,2.已知:如图,点P,Q在BC上,且BP=AP=AQ=QC=a,PAQ=600,AHBC于H. (1)求证:AB=AC; (2)试在图中标出各个角的度数; (3)求出图中各线段的长度,并说明理由.,胜利属于敢想敢干的人！ 你能与同学们交流探索证题的全过程吗?,习题1.4,3.房梁的一部分如图所示,其中BCAC,A=300,AB=7.4m,点D是AB的中点,DEAC,垂足为E. 求:BC,DE的长.,老师提示

8、:对于含300角的直角三角形边之间,角之间的关系要作为常识去认可.,习题1.4,1.已知:如图,ABC是等边三角形, DEBC,分别交AB,AC于点D,E. 求证: ADE是等边三角形.,证明1:,ABC等边三角形(已知), AB=C600 .,又 DEBC(已知),1=B=600,2=C=600 (两直线平行,同位角相等)., A =1=2(等量代换)., ADE是等边三角形 (三个角相等的三角形是等边三角形).,习题1.4,驶向胜利的彼岸,3.（1）如图,ABC是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,得到一个新的DEF,DEF是等边三角形吗?你还能找到其他的等边三角形吗?点A,B,C分别是EF,ED,FD的中点吗？请证明你的结论. （2）如果DEF是等边三角形，点A,B,C分别是EF,ED,FD的中点，那么ABC是等边三角形吗？请证明你的结论.,回味无穷,等边三角形的判定: 定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形. 定理:三个角都相等的三角形是等边三角形. 特殊的直角三角形的性质: 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那