【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 10.3二项式定理配套课件 理 新人教A版

1、第三节 二项式定理,三年16考 高考指数: 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明 一些简单的问题.,1.二项展开式的通项公式的应用，利用通项公式求特定的项或 特定项的系数，或已知某项，求指数n等是考查重点； 2.赋值法、化归思想是解决二项展开式问题的基本思想和方 法，也是高考考查的热点； 3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题 为主.,1.二项式定理,k+1,(k=0,1,2,n),【即时应用】 (1)(a+b)n展开式中，二项式系数 (k=0,1,2,n)与展开式 中项的系数_(填“一定”或“不一定”)相同. (2) _. (3) 展开式中，x3的系数等于

2、_. 【解析】(1)二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念,二 项式系数是指 它只与各项的项数有关，,而与a,b无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅 与各项的二项式系数有关，而且也与a,b所代表的项有密切关系. (2)原式=(1-2)11=-1. (3) 的通项为 令 得r2， 30，故x3的系数为 (1)215. 答案：(1)不一定 (2)-1 (3)15,2.二项式系数的性质 (1)对称性 在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数 _,即 (2)增减性 对于二项式系数 ,当k_时, 是递增的;当k_时, 是递减的.,相等,(3)最大值 当n为偶数时, _的二项式系

3、数_取得最大值;当n是 奇数时, _的二项式系数_和_相等,且同时 取得最大值.,中间的一项,中间的两项,【即时应用】 (1)二项式(1-x)4n+1的展开式中，系数最大的项为第_项. (2)若(x3+ )n展开式中第6项的系数最大，则常数项等于_. 【解析】(1)因为4n+1为奇数，所以展开式有4n+2项，则 系数分别为 所以 系数最大的项为第2n+1项. (2)由已知得，第6项应为中间项，则n=10.,令30-5r=0，得r=6. 答案：(1)2n+1 (2)210,3.各个二项式系数的和 (1)(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于_， 即_； (2)二项展开式中，偶数项的二项式系

4、数的和等于奇数项的二 项式系数的和，即 =_=_.,2n,【即时应用】 (1)若(x )n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开 式中所有项的系数之和为_. (2)已知(3-x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0-a1+a2-a3+a4等于 _. (3)已知(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5， 则(a0a2a4)(a1a3a5)的值等于_,【解析】(1)依题意，得 15，即 15， n(n1)30(其中n2)，由此解得n6，因此展开式中所有项 的系数之和为 (2)由题意可知，令x1，代入式子， 可得a0-a1+a2-a3+a43(1)4256. (3)

5、分别令x1、x1,得a0a1a2a3a4a50,a0a1 a2a3a4a532，由此解得a0a2a416，a1a3a5 16，所以(a0 a2a4)(a1a3a5)256. 答案：(1) (2)256 (3)-256,求二项展开式中特定的项或特定项的系数 【方法点睛】 1.理解二项式定理应注意的问题 (1)Tr+1通项公式表示的是第“r+1”项，而不是第“r”项； (2)通项公式中a和b的位置不能颠倒； (3)展开式中第r+1项的二项式系数 与第r+1项的系数在一般情 况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号， 对根式和指数的运算要细心,以防出差错.,2.求特定项的步骤 (1)根据

6、所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指 数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n为正整 数，r为非负整数，且rn)； (2)根据所求项的指数特征求所要求解的项.,【例1】(1)(2012梧州模拟)在(x+ )20的展开式中，系数为 有理数的项共有_项. (2)(2012百色模拟)(x+ -1)5展开式中的常数项为_. (3)在 的展开式中，系数绝对值最大的项是第几项？ 【解题指南】(1)先明确系数为有理数的项的特征，然后由二 项展开式的通项找出符合条件的项的个数. (2)可将括号内的三项分成两组看成两项，再利用二项式定理 求解，也可直接展开所给式子，相应求解.,(3)设第r

7、+1项系数的绝对值最大，据此可构造含有r的不等式组，求出r的范围后，再求项数. 【规范解答】(1) 要求系数为有理数的项，则r必须能被4整除.由0r20且rN知，当且仅当r=0,4,8,12,16,20时所对应的项系数为有理数. 答案：6,(2)方法一：(x+ -1)5=(x+ )-15, 它的展开式的通项为： 当r=5时， 当0r5时， 的通项公式为 0r5且rZ, r只能取1或3,相应的k值分别为2或1，即,所以，其常数项为 方法二：由于本题只是5次展开式，也可以直接展开 (x+ )-15， 即(x+ )-15 =(x+ )5-5(x+ )4+10(x+ )3-10(x+ )2+5(x+

8、)-1.,由x+ 的对称性知，只有在x+ 的偶次幂中，其展开式才会出 现常数项，且是各自的中间项. 所以，其常数项为：-5 -10 -1=-51. 答案：-51 (3) 设第r+1项系数的绝对值最大， 即：5r6，故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.,【互动探究】在本例(3)中，条件不变，求系数最大的项和最小 的项. 【解析】由本例(3)知，展开式的第6项和第7项系数的绝对值最 大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正. 故系数最大的项为： 系数最小的项为：,【反思感悟】求二项式n次幂的展开式中的特定项，一般借助 于二项式定理的通项求解；当幂指数比较小时，可以直接写出 展开式的全部或局部.,

9、【变式备选】已知 的展开式中，前三项系数的绝对 值依次成等差数列. (1)求证：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有的有理项. 【解析】由题意得 即n29n80，所以n8，n1(舍去). 所以,(1)若Tr1是常数项，则 即163r0， 因为rZ，这不可能，所以展开式中没有常数项. (2)若Tr1是有理项，当且仅当 为整数， 又0r8，rZ，所以 r0,4,8，即展开式中有三项有理 项，分别是T1x4，T5 ，T9,二项式系数和或各项的系数和 【方法点睛】 赋值法的应用 (1)对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a,b,cR)的式子求其展开式 的各项系数之和，常用赋值法，只需令

10、x=1即可；对形如 (ax+by)n(a,bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可. (2)若f(x)=a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系,数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0+a2+a4+= , 偶数项系数之和为a1+a3+a5+= 【提醒】“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意 取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几 组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意.,【例2】设(3x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4. (1)求a0+a1+a2+a3+a4; (2)求a0+a2+a4; (3)求a1+a3; (4)求

11、a1+a2+a3+a4; (5)求各项二项式系数的和. 【解题指南】本题给出二项式及其二项展开式，求各项系数和 或部分项系数和，可用赋值法，即令x取特殊值来解决.,【规范解答】(1)令x=1,得 a0+ a1+ a2+ a3+ a4=(3-1)4=16. (2)令x=-1得 a0- a1+ a2- a3+ a4=(-3-1)4=256, 而由(1)知 a0+ a1+ a2+ a3+ a4=(3-1)4=16. 两式相加，得 a0+ a2+ a4=136. (3)由(1)、(2)得( a0+ a1+ a2+ a3+ a4)-( a0+ a2+ a4) = a1+ a3=-120.,(4)令x=0

12、得a0=1，亦得 a1+ a2+ a3+ a4= a0+ a1+ a2+ a3+ a4-a0=16-1=15. (5)各项二项式系数的和为,【反思感悟】在求解本例第(4)题时容易忽略a0的值导致错解. 运用赋值法求值时应充分抓住代数式的结构特征，通过一些特殊值代入构造相应的结构.,【变式训练】1.已知(1x)(1x)2(1x)na0a1x a2x2anxn，且a1a2an129n，则n_. 【解析】易知an1，令x0得a0n，所以a0a1an30. 又令x1，有2222na0a1an30， 即2n1230，所以n4. 答案：4,2.已知(1x)na0a1xa2x2anxn，若5a12a20，

13、则a0a1a2a3(1)nan_. 【解析】由二项式定理得， a1 n，a2 代入已知得5nn(n1)0，所以n6， 令x1得(11)6a0a1a2a3a4a5a6， 即a0a1a2a3a4a5a664. 答案：64,【变式备选】 设(x2-x-1)50=a100 x100+a99x99+a98x98+a0. (1)求a100+a99+a98+a1的值； (2)求a100+a98+a96+a2+a0的值.,【解析】(1)令x=0,得a0=1; 令x=1,得a100+a99+a98+a1+a0=1, 所以a100+a99+a98+a1=0. (2)令x=-1,得a100-a99+a98+-a1+

14、a0=1, 而a100+a99+a98+a1+a0=1, +整理可得a100+a98+a96+a2+a0=1.,二项式定理的综合应用 【方法点睛】 二项式定理的综合应用 (1)利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时， (1+x)n1+nx. (2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题:在证明整除问 题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的 每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧.,(3)利用二项式定理证明不等式:由于(a+b)n的展开式共有n+1项，故可以对某些项进行取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的.,【例3】(1)求证：46n5n19能被20整除. (2

15、)根据所要求的精确度，求1.025的近似值.(精确到0.01). 【解题指南】(1)将6拆成“5+1”，将5拆成“4+1”,进而利用 二项式定理求解. (2)把1.025转化为二项式，适当展开，根据精确度的要求取必 要的几项即可.,【规范解答】(1)46n5n194(6n1)5(5n1) 4(51)n15(41)n1 20(5n1 5n2 )(4n1 4n2 )， 是20的倍数，所以46n5n19能被20整除. (2)1.025=(1+0.02)5 =1+ 0.02+ 0.022+ 0.023+ 0.024+ 0.025 0.022=0.004, 0.023=810-5 当精确到0.01时，只

16、要展开式的前三项和， 1+0.10+0.004=1.104，近似值为1.10.,【互动探究】 将本例(2)中精确到0.01改为精确到0.001如何求解? 【解析】由本例(2)知，当精确到0.001时，只要取展开式的前 四项和, 1+0.10+0.004+0.000 08=1.104 08. 近似值为1.104.,【反思感悟】利用二项式定理证明整除问题时，首先需注意 (ab)n中，a，b中有一个是除数的倍数；其次展开式有什么规 律，余项是什么，必须清楚.,【变式备选】1. 7n+ 7n-1+ 7n-2+ 7除以9， 得余数是多少？ 【解析】 7n+ 7n-1+ 7n-2+ 7 =(7+1)n1=

17、8n1=(9-1)n1=9n- 9n-1+ 9n-2+ (1)n-1 9+(1)n -1 (i)当n为奇数时 原式=9n- 9n-1+ 9n-2+(1)n-1 92 除以9所得余数为7.,(ii)当n为偶数时 原式=9n- 9n-1+ 9n-2+(1)n-1 9 除以9所得余数为0，即被9整除.,2.求0.9986的近似值，使误差小于0.001. 【解析】0.9986(10.002)6 16(0.002)115(0.002)2(0.002)6. 因为T3 (0.002)215(0.002)20.000 060.001， 且第3项以后的绝对值都小于0.001，所以从第3项起,以后的项 都可以忽略

18、不计. 所以0.9986=(1-0.002)61+6(-0.002)=1-0.012=0.988.,【易错误区】对展开式中的项考虑不全面致误 【典例】(2011新课标全国卷)(x+ )(2x- )5的展开式中各 项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) (A)-40 (B)-20 (C)20 (D)40 【解题指南】用赋值法求各项系数和，确定a的值，然后再求常 数项.,【规范解答】选D.令x=1，可得(x+ )(2x- )5的展开式 中各项系数和为1+a， 1+a=2，即a=1. (2x- )5的通项公式 (x+ )(2x- )5的展开式中的常数项为,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：,1.(2011陕西高考)(4x-2-x)6(xR)展开式中的常数项是( ) (A)-20 (B)-15 (C)15 (D)20 【解析】选C.Tr+1= (4x)6-r(-2-x)r = 22x(6-r)(-1)r2-xr = (-1)r212x-3xr 令12x-3xr=0，则r=4，所以T5= (-1)4=15，故选C.,2.(2012柳州模拟)若(