二次函数的图象和性质5

1、二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质,x,y,1 说出二次函数 图象的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性 2 它是由y=-4x2怎样平移得到的,回忆一下,1 不画图象，直接说出 的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性,2 不画图象，直接说出 的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性,想一想,活学活用,求下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性，最值 （1） （2） （3） 2 抛物线如何 平移得到,我们来画 的图象，并讨论一般地怎样画 二次函数 的图象,接下来，利用图象的对称性列表（请填表）,3,3.5,5,7.5,3.5,5,7.5,配方可得,由此可知，抛物线 的顶点是（6，3），对称

2、轴是直线 x = 6,怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?,函数y=ax+bx+c的图象,我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.,1.配方:,提取二次项系数,配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项,化简:去掉中括号,老师提示: 配方后的表达式通常称为配方式或顶点式,直接画函数y=ax+bx+c的图象,4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2的图象,2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标.,3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.,a

3、=30,开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2).,(1,2),例.求次函数y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标,函数y=ax+bx+c的顶点式,一般地,对于二次函数y=ax+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.,1.配方:,提取二次项系数,配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项,化简:去掉中括号,老师提示: 这个结果通常称为求顶点坐标公式.,顶点坐标公式,因此,二次函数y=ax+bx+c的图象是一条抛物线.,1写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标当x为何值时y的值最小（大）？,（4）,（3）,（2）,（1）,

4、练习,解: (1) a = 3 0抛物线开口向上,解: a = 1 0抛物线开口向下,（2）,解: a = 2 0抛物线开口向下,（3）,解: a = 0.5 0抛物线开口向上,（4）,请你总结函数 函数y=ax2+bx+c(a0) 的图象和性质,想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,向上,向下,在

5、对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .,2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0,0). (3)对称轴不同:分别是 和y轴. (4

6、)最值不同:分别是 和0. 3.联系: y=a(x-h)+k(a0) 的图象可以看成y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 0时,向右平移;当 0时向上平移;当 0时,向下平移)得到的.,驶向胜利的彼岸,回味无穷,二次函数y=ax2+bx+c(a0)与=ax的关系,结束寄语,探索是数学的生命线.,再见,1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.,如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x+0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称,钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ 两条钢缆最低点之间的距离是多少？ 你是怎样计算的？与同伴交流.,函数y=ax2+bx+c(a0)的应用,.钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的？与同伴交流.,可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;,由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m。,两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴交流.,想一想,你