离散数学第五章

1、第5章函数，5.1函数基本概念5.2函数类型5.3函数运算5.4基数，终止，5.1函数基本概念，函数也称为映射或转换，定义如下：定义5.1.1 a和b是两组，f是从a到b的关系。对于每个xA，A是函数F的定义字段，即D(F)=A，B是函数F的伴随字段，R(F)是函数F的范围，R(F)B是。有时，函数F的范围表示为F(A)。也就是说，如果F(A)=R(F)=y|yB(x)(xAy=F(x) F(A)是函数F的图像，如果F:AB是F，则x是函数的参数，y是函数参数。因为y值是从x获取的值，y是f在x中的值，y是f下面x的图像。通常，F记录为F(x)=y。如牙齿定义所示，A到B的函数F通常不同于A到

2、B的二进制关系。a的每个元素必须是F对齐对的第一个元件。如果F(x)=y，则函数f在x中的值是唯一的。也就是说，F(x)=yF(x)=zy=z通常考虑到常用的用法，将大写函数符号F更改为小写的F。定义5.1.2设置f:AB、g:CD、A=C、B=D，并且如果每个xA都有f(x)=g(x)，则函数f和g将写入f=，牙齿定义表明这两个函数是相同的，必须具有相同的定义域、伴随域和顺序对集有时需要折叠给定函数的定义字段，或展开给定函数的定义字段以创建新函数。对此的定义如下：如果定义5.1.3集f:AB，CA，g=f(CB)，则g是f到c的缩小，并被记录为f|c。换句话说，g是c到b的函数。g:cb g

3、 (x)=f，由集合A和B组成的函数f:AB有多少？或者，您可以在AB的所有子集中定义函数，还是子集？如果BA表示这些函数的集合，例如BA=f|f:AB设置|A|=m，|B|=n，则|BA|=nm。原因是每个参数的函数值都有N茄子方法，所以总nm种的A到B的函数。(托马斯a .爱迪生，函数，函数，函数，函数，函数，函数，函数，函数，函数)，上面介绍了一元函数，下面列出了多元函数的定义。定义5.1.5将A1、A2、An和b设置为集合，并且f: AiB为函数时，f称为n元函数。上述值以f(x1，x2，xn)表示。一元函数的概念几乎完全适用于N元函数，所以这里不怎么讨论。5.2根据函数类型、函数的性

4、质，函数可以分为多种类型。牙齿部分定义这些函数并提供相应的术语。如果定义5 . 2 . 1 F 3360 ab是函数，则R(f)=B或任何bB的aA存在，则f(a)=b或格式表显示(y) (Yb (x)牙齿定义是函数F的作用，其中B的每个元素B至少是A的元素A的图像。因此，如果A和B是穷集，并且有整个函数f:AB，则为|A|B|。定义5 . 2 . 2 f 3360 AB是具有任意A、bA和ab的f(a)f(b)或格式表(x) (y) (x，yax YF)的函数牙齿定义表明，A的其他元素在B中也有所不同。因此，如果A的B是匮乏的集合，并且有单射f:AB，则|A|B|。定义5.2.3 f:AB是

5、函数。如果f是完整快照和单个快照，则f:AB是双快照函数(或一对一对应)，或f:AB函数是双快照。牙齿定义说明B的每个元素B是A的元素A的图像。因此，如果A和B是穷集，并且具有双射函数f:AB，则|A|=|B|。如果将定义5.2.4 f:AB设置为函数并且bB存在，则所有aA都具有f(a)=b或f(A)=b，则f 3360 ab称为文字函数。将定义5 . 2 . 5 f 3360 aa设置为函数。任何aA都有f(a)=a。也就是说，f=|xA将f:AA称为a相等函数。恒等关系是恒等函数，因此通常被记录为IA。如定义所示，A的恒等式函数IA是双射函数。如果将5.2.6集a和b定义为集合，AB、函

6、数a3360b0、1牙齿1 xA xA(x)=0，则xA称为集a的要素函数。，函数函数设置函数和集合的一对一对应关系。因此，通过特征函数的计算，可以研究集合的命题。定理5.2.1集A和B是全集合U的两个子集。系统会为任何xU设定下列关系：A (x)=0a=a (x)=1a=u，a(x)b(x)ab a(x)=b(x)a=b a(x)=x)=1所有a，bA。如果ab有f(a)f(b)，则F称为单调递增函数。如果Ab有f(a)f(b)，则f称为单调递减函数。如果有ab，ab有f(a)f(b)，则f称为严格单调递减函数。严格单调递增函数是单调递增函数，严格单调递减函数是单调递减函数。以定义5.2.8

7、 R牙齿非空集A的对应关系，定义函数f:aA/R，f(a)=aR，aA，F称为从A到集A/R的自然映射。自然映射在代数结构中有重要的应用。定义5.2.9将p:AA设定为函数，如果p是双镜头，则p称为a的位移。替代在群论中有一节讨论的重要应用。5.3函数运算，函数是特殊关系，可以对关系进行运算，当然还需要讨论函数的运算问题，即已知函数获取新函数的方法。1函数复合使用具有特定特性的两个已知函数，通过复合运算得到新函数。定理5 . 3 . 1 f 3360 ab和g:BC是通过复合运算O获得从a到c的新函数，对于GoF，即对于任何aA，都以(gof)(x)=g(f(x)的形式记录，函数是当前斜体“O

8、”。牙齿推理表明，函数复合运算是可组合的。对于集合A，f:AA，函数F可以与自身合成任意次数。f的n次复合定义为f 0(x)=x f n 1(x)=f(fn(x)，nN。清理5.3.2 f:AB、g:BC f:AB、g:BC全部为正弦时，gof:AC也为万事。如果F:AB、g:BC都是短斜线，则gof:AC也是短斜线。如果F:AB、g:BC都是双镜头，则gof:AC也是双镜头。如果清理5.3.3 f:AB是函数，则f=foIA=IBof。牙齿定理显示了复合函数运算中常函数的特殊性质。特别是f:AA，foIA=IAof=f。2函数逆向运算给出了给定的关系R。反向关系存在，但对于已知函数，它作为反

9、向关系存在，但不一定是函数。例如，A=a、B、c、B=1，2，3、f=，是函数，f-1=，不是从B到A的函数。但是，如果f:AB是双快照，则F-1是从b到a的函数。如果清理5.3.4 f:AB是双快照，则f-1:BA也是双快照。定义5.3.1 f:AB是复制函数，f -13360 ba是F的逆函数，通常将F-1称为F的逆函数。如果定理5.3.5 f:AB是双入射函数，则f -1of=IA，fof-1=IB定理5 . 3 . 6 f 3360 ab是双射，则(f-1)-1=，5.4基数，1基数的定义首先为 这称为N的截面N。然后，使用复制函数作为工具定义集基数，如下所示：定义5.4.1集A是集合

10、，f:NnA是复制函数时，集A是有限的，A的基数是N，它被记录为|A|=n或card A=n。如果集合A不限定，那么说A是无限的。牙齿定义表明，在有限集A的情况下，可以使用“数”数来确定集A的基数。定理5.4.1自然数集n是无限的。要确定某些无限集的基数，请选择第二组“标准”N来测量这些集。定义5.4.2集A是集合，f:NA是双斜线函数时，A的基数为0，记录为|A|=0。很明显，因为有N到N的双斜线函数，所以| n |N|=0 0，0被读取为 aleph 0 。(阿尔伯特爱因斯坦，Northern Exposure(美国电视电视剧)，符号0是康托引入的。F:NnA是双入射函数时，A的元素可以表

11、示为“数”，但“数”过程可能不会终止，因此，可以定义5.4.3将A设置为集，在f 3360 NNA是双入射函数时，可以使用集| A |=0时，A可以无限计数。如果A不能数，那么A就不能数，也不能数，无穷无尽。可以证明以下一个有用的定理：定理5.4.2集合A1、A2、A3牙齿都可以计数，那么Ai就可以计数。牙齿定理表明，可数集的个数是可数的，可数的。那个证明被省略了。在上述基数定义中，使用了两个“标准集”Nn和N以及双函数(或一对一对应)引入了聚合基数的概念。这样可以将基数看作是简单地向集合分配符号。分配原则是将对应于Nn的集合、对应的基数指定为N、对应于N的集合、对应的基数指定为0。分配空集的

12、基数为0。2基数比较可以基于集合基数建立等价关系和顺序关系，并进行基数比较和基数运算。在这里只能讨论电子。定义5.4.4将a和b设置为任意集合。如果存在从A到B的双斜线函数，则A和B具有相同的基数(或者A和B具有相同的前缀)，并被写为|A|=|B|(或AB)。如果有从A到B的单个函数，则A的基数小于或等于B的基数将记录为|A|B|。如果有从A到B的单个函数，但没有双函数，则A的基数小于B的基数将记录为|A|B|。在复合运算中，双射函数是闭合的，双射函数的逆函数(即经常是逆函数)是双射函数，因此等势关系具有以下性质：定理5.4.3等势是所有集合族的等价关系。综上所述，可以看出等税关系是平等的关系

13、。从以上定义和定理可以看出，等势是集合族的等价关系，将集合族分成等价类，同一等价类内的集合具有相同的基数。(威廉莎士比亚、温斯顿、等价物、等价物、等价物、等价物、等价物)因此，骑手可以说是在等税关系下集合的等价物类的特征。或基数是在等税关系下集合的等价类的名称。这实际上是基数的定义。例如，3是等价类a、b、c、p、q、r、1，2，3的名称(或要素)。0是自然数集n牙齿所属的相应类的名称。为了证明集A有基数，只需选择带基数的集B，证明存在从A到B或从B到A的双射函数。选择集b的原则是使证明尽可能容易。在以上定义中，和符号具有这些符号的常规特性，因此可以选择。但是，必须证明这些性质是无聊和复杂的。下面将不未经证明地引入说明这种性质的两个茄子定理。第一个定理称为三歧性定律。第二个定理表明是反称。定理5.4.4 (Zermelo)设置A和B是任意两个集合，| B | | b | | B | | A | | A |=| B |，其中一个定理是成立的，牙齿定理是两个集合具有相同基数如果可以配置单射函数f:AB，则| a | | b |可以配置另一个单射g:BC来证明|B|A|。所以根据牙齿定理可以得到|A|=|B|。特别要注意，f和g不必是万事。通常，这是因为构造这