弯曲变形.ppt

1、1,弯 曲 变 形,第 七 章,2,7-1 概 述,3,7-1 概 述,4,7-1 概 述,5,7-2 挠曲线的近似微分方程,1.基本概念,挠曲线方程：,由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计,挠度转角关系为：,挠度：,向上为正,转角：,逆钟向为正,6,2.挠曲线的近似微分方程,推导弯曲正应力时，得到：,忽略剪力对变形的影响,7-2 挠曲线的近似微分方程,7,由数学知识可知：,略去高阶小量，得,所以,7-2 挠曲线的近似微分方程,8,由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：,由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。,7-2 挠曲线的

2、近似微分方程,9,7-3 用积分法求梁的变形,挠曲线的近似微分方程为：,积分一次得转角方程为：,再积分一次得挠度方程为：,10,积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。,位移边界条件,光滑连续条件,弹簧变形,7-3 用积分法求梁的变形,11,例1,求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。,解,1）由梁的整体平衡分析可得：,2）写出x截面的弯矩方程,3）列挠曲线近似微分方程并积分,积分一次,再积分一次,7-3 用积分法求梁的变形,12,4）由位移边界条件确定积分常数,代入求解,5）确定转角方程和挠度方程,6）确定最大转角和最大挠度,7-3 用积分法求梁的变形

3、,13,例2,求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。,解,1）由梁的整体平衡分析可得：,2）写出x截面的弯矩方程,3）列挠曲线近似微分方程,积分一次,再积分一次,7-3 用积分法求梁的变形,14,4）由位移边界条件确定积分常数,代入求解,5）确定转角方程和挠度方程,7-3 用积分法求梁的变形,15,6）确定最大转角和最大挠度,令 得，,所以最大转角发生在,令 得，,所以最大挠度发生在,7-3 用积分法求梁的变形,16,例3,求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。,解,1）由梁整体平衡分析得：,2）弯矩方程,AC 段：,CB

4、段：,7-3 用积分法求梁的变形,17,3）列挠曲线近似微分方程并积分,AC 段：,CB 段：,7-3 用积分法求梁的变形,18,4）由边界条件确定积分常数,代入求解，得,位移边界条件,光滑连续条件,7-3 用积分法求梁的变形,19,5）确定转角方程和挠度方程,AC 段：,CB 段：,7-3 用积分法求梁的变形,20,6）确定最大转角和最大挠度,令 得，,令 得，,7-3 用积分法求梁的变形,21,7-4 用叠加法求梁的变形,设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为 ，挠度为y，则有：,若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为 ，转角为 ，挠度为 ，则有：,由弯矩的叠加

5、原理知：,所以，,22,故,由于梁的边界条件不变，因此,重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。,7-4 用叠加法求梁的变形,23,已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度yC ；B截面的转角B,1）将梁上的载荷分解,2）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。,例4,解,7-4 用叠加法求梁的变形,24,3） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和,7-4 用叠加法求梁的变形,25,已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度yC和转角C,1）首先，将梁上的载荷变成

6、有表可查的情形,例5,解,7-4 用叠加法求梁的变形,26,3）将结果叠加,2）再将处理后的梁分解为简单载荷分别作用的情形，分别计算C 截面的挠度和转角。,7-4 用叠加法求梁的变形,27,目录,7-4 用叠加法求梁的变形,已知：简支梁梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度yC和转角C,1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形,2）再将处理后的梁分解为简单载荷分别作用的情形，分别计算C 截面的挠度和转角。,3）将结果叠加,例6,28,目录,7-4 用叠加法求梁的变形,求图示梁自由端C 的挠度yC和转角C,1）采用局部刚化法,例7,29,目录,7-4 用叠加法求梁的变形,3）将结果

7、叠加,例7,30,目录,7-4 用叠加法求梁的变形,求C 截面的挠度yC和转角C,3）将结果叠加,例6,1）采用局部刚化法,31,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,1.刚度条件,建筑钢梁的许可挠度：,机械传动轴的许可转角：,精密机床的许可转角：,32,已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角 =0.5。根据刚度要求确定轴的直径d。,根据要求，设计直径d 轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B 处转角不超过许用数值。,B,1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B 处的转角为：,2）由刚度条件确定轴的直径：,例6,解,7-5 梁的刚度条件及提

8、高梁刚度的措施,33,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,2.提高梁刚度的措施,1）选择合理的截面形状,34,2）改善结构形式,改变支座形式,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,35,2）改善结构形式,改变支座形式,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,36,2）改善结构形式,改变载荷类型,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,37,3）采用超静定结构,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,38,7-6 用变形比较法解简单超静定梁,1.基本概念：,超静定梁：梁的支反力数大于有效平衡方程数。,多余约束：多余维持平衡所必须的约束。,超静定次数：等于多余约束或多余支反力的数目。,2.求

9、解方法：,39,例7,解,求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。,1）判定超静定次数，选取静定基。在去掉约束处用一未知力 代替，建立相当系统。,2）进行变形比较，列协调条件。相当系统的变形与原超静定梁相同，即变形协调条件为：,7-6 用变形比较法解简单超静定梁,40,3）由物理关系列力补充方程,查表可得：,所以,4）整体平衡求其它约束反力,7-6 用变形比较法解简单超静定梁,41,梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F = 40kN，q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。,从B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。,变形协调方程为：,物理关系,例8,解,7-6 用变形比较法解简单超静定梁,42,代入得补充方程：,确定A 端约束力,7-6 用变形比较法解简单超静定梁,43,确定B 端约束力,7-6 用变形比较法解简单超静定梁,44,A、B 端约束力已求出,最后作梁的剪力图和弯矩图,7-6 用变形比较法解简单超静定梁,45,解：结构为一次静不定，解除B点约束， 建立相当系统。,如图结构受F=10kN的外力作用 。已知梁和杆的材料相同，弹性模量E =200GPa。梁为矩形截