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文档简介

1、第五章,积分学,不定积分,定积分,定积分,第一节,一、定积分问题举例,二、 定积分的定义,三、 定积分的性质,定积分的概念及性质,第五章,一、定积分问题举例,1. 曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积 A .,矩形面积,梯形面积,观察与思考,在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?,怎样求曲边梯形的面积？,求曲边梯形的面积,(1)分割:,ax0 x1 x2 xn1 xn b, Dxi=xi-xi1;,小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1xixi);,(2)近似代替:,(4)取极限:,设m

2、axDx1, Dx2, Dxn, 曲边梯形的面积为,(3)求和:曲边梯形的面积近似为 ;,2 （求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,（1）分割,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,二、定积分定义,任一种分法,任取,总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数,在区间,上的定积分,即,此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积 .,记作,定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分,变量用什么字母表示无关 ,即,定理1.,定理2.,且只有有限个间断点,(证

3、明略),定积分存在的条件,例1. 用定积分表示下列极限:,解:,定积分的几何意义,既有正值又有负值时，,各部分面积的代数和,利用几何意义求定积分,解 函数 y1x在区间0, 1上的定积分是以y=1-x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形的面积.,因为以y=1-x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形是一个直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以,例2,习题：,利用定积分的几何意义，说明下列等式：,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,三、定积分的性质,性质1,性质2,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,性质3,（定积分对于积分区间具有可加性）,性质4,性质5,推论1：,（1）,推论2：,（2）,解,令,于是,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,解,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,使,即,积分中值公式的几何解释：,内容小结,1. 定积分的定义, 乘积和式的极限,2. 定积分的性质,3. 积分中值定理,矩

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