古典概型数学实验

1、第 1 页/ 共 7 页 数学实验 实验名称：古典概型（课本题 4） 班级：电气 1 班 组员：- 第 2 页/ 共 7 页 1 问题描述 一袋中装有 4 个白球，8 个黑球，A，B，C 三人蒙住眼睛依次轮流摸球。先得白球者 获胜，求三人获胜的机会比。 2 问题分析 此问题有两种情况，一是有放回的摸球，当有一个人摸到白球时即停止摸球，摸 到白球的人胜出。二是无放回地摸球，每次摸到的球不能放回。任意一个人摸到球即 胜出，停止继续摸球。在 MATLAB 中随机数法来模拟摸球过程。 3 实验过程 实验中用整数 1、2、3、4 代表白球。用整数 5 到 12 的数字代表黑球。 3.1 有放回有放回摸球

2、摸球 MATLAB 编程思路编程思路： 开始 输入模拟次数n in A 摸到白球？ B 摸到白球？ C 摸到白球？ 输出结果 结束 是 否 是 是 是 否 否 第 3 页/ 共 7 页 MATLAB 代码： function PA,PB,PC=Qst9_4a(n) rand(state,sum(100*clock); A=0; B=0; C=0; for i=1:n r=randi(12); if r=4; A=A+1; continue end r=randi(12); if r=4; B=B+1; continue end r=randi(12); if r=4; C=C+1; conti

3、nue end end PA=A/n; PB=B/n; PC=C/n; 第 4 页/ 共 7 页 3.2 无无放回放回摸摸球球 分析分析：采用无放回方式时，情况会比有放回的更加复杂，由于袋子中共有 8 个黑球，可能 前面两轮 ABC 三人均没有摸出白球，第三轮开始，A 没有摸出，B 也是没有摸出白球，此 时一共摸出了 8 个求，到 C 摸球时，袋子中只剩下白球了，C 必定能够摸出白球。因此游 戏可能在第一轮即分出胜负，也可能要经过三轮才能分出胜负，而且不可能多于三轮 编程思路编程思路： MATLAB 代码： function PA,PB,PC=Qst9_4b(n) rand(state,sum

4、(100*clock); A=0;B=0;C=0; 开始 输入模拟次数n in A 摸到白球？ B 摸到白球？ C 摸到白球？ 输出结果 结束 是 否 是 是 是 否 否 3j 否 否 第 5 页/ 共 7 页 for i=1:n %第一轮开始 aball=randi(12); if aball=4 A=A+1; continue; end bball=randi(11); if bball=4 B=B+1; continue; end cball=randi(10); if cball=4 C=C+1; continue; end %第二轮开始 aball=randi(9); if abal

5、l=4 A=A+1; continue; end bball=randi(8); if bball=4 B=B+1; continue; end cball=randi(7); if cball=4 C=C+1; continue; end %第三轮开始 aball=randi(6); if aball=4 A=A+1; continue; end bball=randi(5); if bball=4 B=B+1; continue; end 第 6 页/ 共 7 页 cball=randi(4); if cball=4 C=C+1; continue; end end PA=A/n; PB=

6、B/n; PC=C/n; 3.2 结果分析结果分析 模拟结果模拟结果： 调用已经编写好的 MATLAB 函数 Qst9_4a(100 000)与 Qst9_4b(100 1000)，分别进行 100 000 次模拟摸球实验过程，得出以上两种不同情况下 ABC 获胜的概率。结果如表 4-1 所 示。 表表 4 4- -1 1 获胜概率 有放回 无放回 A 0.3316 0.4652 B 0.2247 0.3213 C 0.1470 0.2135 理论结果理论结果： 有放回：A 获胜的概率 4 ( )0.3333 12 P AA B 获胜的概率 84 ( )0.2222 1212 P BAB C

7、获胜的概率 884 ( )0.1481 121212 P CABC 无放回： (/)X XA B C表示X摸到白球，XX表示 摸到黑球。则 A 获胜的概率： 111113865 118885444 121212 121212 ( )+0.4667P AA ABCAABCABCA CCCAAAAA AAA B 获胜的概率： 1111104774 1087848444 121212 121212 ( )+0.3212P AAB ABCABABCABCAB C CCCAAAAA AAA C 获胜的概率 ： 第 7 页/ 共 7 页 111295683 898683444 121212 121212 ( )+0.2121P CABC ABCABCABCABCABC CCCAAAAAA AAA 将模拟结果与理论计算进行对比，如下图 4-2 从表 4-2 可以看出模拟结果与实际结果十分接近。 4 实验总结 对于随机实验求概率问题，我们可以通过 MATLAB 产生随机数的办法，制定恰当的规 则，模拟真实情况，从而节省做真实实验所需器材，而且能够排除其他影响实验的因素， 使结果与理论十分接近。 理论值MATLAB