2.8-1 例题.ppt

1、1,牛顿定律只适用于惯性系,例2.1一细绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1 和m2 的物体(m1 m2 )，如下图所示.设滑轮和绳的质量可忽略不计，绳不能伸长，试求物体的加速度以及悬挂滑轮的绳中张力。,解分别以m1 ,m2 , 定滑轮为研究对象，其隔离体受力如右图所示。,对m1 ，它在绳子拉力T1 及重力m1g 的作用下以加速度a1 向上运动，取向上为正向，则有:,2,对m2 ，它在绳子拉力T2 及重力m2g 作用下以加速度a2 向下运动，以向下为正方向，则有:,由于定滑轮轴承光滑，滑轮和绳的质量可以 略去，所以绳上各部分的张力都相等；又因 为绳不能伸长，所以m1 和m2 的

2、加速度大小 相等，即有：,代入（1）（2）中，解得：,3,考虑到定滑轮质量不计，所以有：,容易证明：,由牛顿第三定律，有：,4,例2.2升降机内有一光滑斜面，固定在底板上，斜面倾角为.当升降机以匀加速度a1 竖直上升时，质量为m的物体从斜面顶端沿斜面开始下滑，如下图所示。已知斜面长为l，求物体对斜面的压力，物体从斜面顶点滑到底部所需的时间。,解以物体m为研究对象.其受到斜面的正压力N和重力mg。,以地为参考系，设物体m相 对于斜面的加速度为a2 ， 方向沿斜面向下，则物体相 对于地的加速度为：,设x轴正向沿斜面向下，y轴正向垂直斜面向上。,5,则对m应用牛顿定律列方程如下：,解方程，得：,由牛

3、顿第三定律可知，物体对斜面的压力N与斜面对物体的压力N大小相等，方向相反，即物体对斜面的压力为：,方向垂直指向斜面.,6,因为m相对于斜面以加速度：,沿斜面向下作匀变速直线运动，所以:,7,解跳伞员的运动方程为：,例2.3跳伞运动员在张伞前的俯冲阶段，由于受到随速度增加而增大的空气阻力，其速度不会像自由落体那样增大。当空气阻力增大到与重力相等时，跳伞员就达到其下落的最大速度，称为终极速度。一般在跳离飞机大约10 s，下落约300400 m左右时，就会达到此速度(约50 m/s)。,设跳伞员以鹰展姿态下落，受到的空气 阻力为F=kv2 (k为常量)，如右图)所示。 试求跳伞员在任一时刻的下落速度

4、。,显然，在kv2=mg 的条件下对应的 速度即为终极速度，并用vT 表示：,8,改写运动方程为：,因t0时，v00；并设t时，速度为v，对上式两边取定积分：,经积分计算，得：,最后解得：,9,设运动员质量m70 kg，测得终极速度vT54 m/s，则可推算出:,以此vT 值代入v(t)的公式，可得到如下图所示的v-t函数曲线.,10,例2.5一弹性球，质量m0.20 kg，速度v5 m/s，与墙碰撞后弹回.设弹回时速度大小不变，碰撞前后的运动方向和墙的法线所夹的角都是(下图)，设球和墙碰撞的时间t0.05 s，60 ，求在碰撞时间内，球和墙的平均相互作用力。,解:以球为研究对象。设墙对球的平

5、均作用力为f，球在碰撞前后的速度为v1 和v2 ，由动量定理可得:,将冲量和动量分别沿图中N 和 x两方向分解,得：,11,解方程得:,按牛顿第三定律，球对墙的平均作用力和墙对球的作用力等值而反向，即垂直于墙面向里。,12,例2.6如下图所示，一辆装矿砂的车厢以v4 m/s的速率从漏斗下通过，每秒落入车厢的矿砂为k200 kg/s，如欲使车厢保持速率不变，须施与车厢多大的牵引力(忽略车厢与地面的摩擦)。,解设t时刻已落入车厢的矿砂质量为m，经过dt后又有dmkdt的矿砂落入车厢。取m和dm为研究对象，则系统沿x方向的动量定理为：,13,例2.7如下图所示，一质量为m的球在质量为M的1/4圆弧形

6、滑槽中从静止滑下。设圆弧形槽的半径为R，如所有摩擦都可忽略，求当小球m滑到槽底时，M滑槽在水平上移动的距离。,解：以m和M为研究系统，其在 水平方向不受外力(图中所画是 m和M所受的竖直方向的外力)， 故水平方向动量守恒。,解得:,设在下滑过程中，m相对于M的滑动 速度为 v，M对地速度为V，并以水 平向右为x轴正向。,则在水平方向上有：,14,设m在弧形槽上运动的时间为t，而m相对于M在水平方向移动距离为R，故有：,于是滑槽在水平面上移动的距离：,15,解：由题意知，虽然力的大小 不变，但其方向在不断变化， 故仍然是变力做功。,例2.8在离水面高为H的岸上，有人用大小不变的力F拉绳使船靠岸，

7、如下图。求船从离岸x1 处移到x2 处的过程中，力F 对船所做的功.,由于 ，所以F 做正功.,以岸边为坐标原点，向左为x轴正向，则力F在坐标为x处的任一小段元位移dx上所做元功为：,16,(1)由点(0,0)沿x轴到(2,0)， 此时y0，dy0，所以：,求质点由点(0,0)运动到点(2,4)的过程中该力所做的功：,例2.9质点所受外力：,(1)先沿x轴由(0,0)运动到(2,0)，再平行y轴由(2,0)运动到(2,4)；,(2)沿连接(0,0)，(2,4)两点的直线；,(3)沿抛物线 y=x2 由点(0,0)到点(2,4)(单位为国际单位制)。,解：由直角坐标中变力作功公式：,17,由点(

8、2,0)平行y轴到点(2,4)， 此时x2，dx0，故：,整个过程，外力作功：,(2)因为由原点到点(2,4)的 直线方程为y2x，所以：,18,可见题中所示力是非保守力.,19,例2.10一质量为10 kg的物体沿x轴无摩擦地滑动，t0时物体静止于原点，(1)若物体在力F34t N的作用下运动了3 s，它的速度增为多大？(2)物体在力F34x N的作用下移动了3 m，它的速度增为多大？,解(1)由动量定理：,(2)由动能定理：,20,例2.11 一劲度系数为k的轻弹簧，下端悬一质量为m的物体而处于静止状态。以该平衡位置为坐标原点，并以此为系统的重力势能和弹性势能零点，则当m偏离平衡位置的位移

9、为x时，整个系统的总势能是多少？,解：设立坐标如右，m位于平衡位置时,其坐标为：,因m在O点时（重力势能和弹性势能的零点），弹性势能为零。,带入（1），有：,21,当m偏离O点为x时，其相对于O/的位移为：,此时，系统的弹性势能：,在位移为x时，系统的重力势能：,系统的总势能：,即若以平衡位置为竖直弹簧的坐标及重力势能、弹性势能的零点，则系统的总势能（振动势能）仍为：,22,例2.12一轻弹簧一端系于固定斜面的上端，另一端连着质量为m的物块，物块与斜面的摩擦系数为，弹簧的劲度系数为k，斜面倾角为，今将物块由弹簧的自然长度拉伸l后由静止释放，物块第一次静止在什么位置上？(如下图),解：以弹簧、物

10、体、地球为系统，取弹 簧自然伸长处为原点，沿斜面向下为x 轴正向，且以原点为弹性势能和重力势 能零点，则由功能原理，在物块向上滑 至x处时，有：,物块静止位置与v0对应，故有：,23,解此二次方程，得：,另一根xl，即初始位置，舍去。,24,解：如右图所示，设子弹对沙箱作用力为f，沙箱对子弹作用力为f，子弹的位移为sl，沙箱位移为s。,显然，这一对内力的功。有：,例2.13在光滑的水平台面上放有质量为M的沙箱，一颗从左方飞来质量为m的弹丸从箱左侧击入，在沙箱中前进一段距离l后停止。在这段时间内沙箱向右运动的距离为s，此后沙箱带着弹丸以匀速运动。求此过程中内力所做的功.(假定子弹所受阻力为一恒力

11、),说明：沙箱对子弹做功f(sl)与子弹对沙箱做的功fsf s两者不相等；而这一对内力做功之和不为零，它等于子弹与沙箱组成的系统的机械能的损失。损失的机械能转化为热能.,25,例2.14如下图所示，一质量为M的平顶小车，在光滑的水平轨道上以速度v作直线运动。今在车顶前缘放上一质量为m的物体，物体相对于地面的初速度为零。设物体与车顶之间的摩擦系数为，为使物体不致从车顶上跌下去，问车顶的长度l最短应为多少？,解：由于摩擦力做功的结果，最后使 得物体与小车具有相同的速度，这时 物体相对于小车为静止而不会跌下。,在这一过程中，以物体和小球为一系统，水平方向动量守恒，有:,设放物体前，车速为v，物体稳定

12、后，车速为V。,26,而m相对于M的位移为l，如右图所示， 则一对摩擦力的功为：,联立以上两式即可解得车顶的最小长度为：,27,例2.15试分析航天器的三种宇宙速度.,解：(1)第一宇宙速度.航天器绕地球运动所需的最小速度称为第一宇宙速度。以地心为原点，航天器在距地心为r 处绕地球作圆周运动的速度为v1 ，则有：,为地球表面处的重力加速度.若rR 时，则：,这就是第一宇宙速度.,28,这就是第二宇宙速度.,(2)第二宇宙速度：在地球表面处的航天器要脱离地球引力范围而必须具有的最小速度，称为第二宇宙速度。,以地球和航天器为一 系统，航天器在地球 表面处的引力势能为：,航天器能脱离地球时，地球的引

13、力可忽略不计，系统势能为零，动能的最小量为零，由机械能守恒定律，有：,动能为：,地球和航天器系统的机械能：,29,(3)第三宇宙速度：在地球表面发射的航天器，能逃逸出太阳系所必须的最小速度，称为第三宇宙速度。,由（2）知：,作为近似处理可分两步进行：,第一步，从地球表面把航天器送出地球引力圈，在此过程中略 去太阳引力，这一步的计算方法与分析第二宇宙速度类似，所 不同的是航天器脱离地球引力圈时，还必须有剩余动能：,因此，有：,代入上式，得：,30,第二步，航天器由脱离地球引力圈的地点(近似为地球相对于太阳的轨道上)出发，继续运动，逃离太阳系。,在此过程中，忽略地球的引力。以太阳为参考系，地球绕太

14、阳的 公转速度(相当于计算地球相对于太阳的第一宇宙速度)为：,式中M太 为太阳的质量，ro 为太阳中心到地球中心的距离。,以太阳参考系计算，逃离太阳引力范围所需的速度(相当于计算 地球相对于太阳的第二宇宙速度)，即：,31,为了充分利用地球的公转速度，使航天器在第二步开始时的速度沿公转方向。这样，在第二步开始时，航天器所需的相对地球速度为：,这就是第一步航天器所需的剩余动能所对应的速度。因此：,这就是第三宇宙速度。,32,在由AB的过程中，子弹、木块系统机械能守恒：,例2.16在光滑的水平桌面上，放有质量为M的木块，木块与一弹簧相连，弹簧的另一端固定在O点，弹簧的劲度系数为k，设有一质量为m的

15、子弹以初速v0 垂直于OA射向M并嵌在木块内，如图所示.弹簧原长l0 ，子弹击中木块后，木块M 运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度v2 。,解：击中瞬间，在水平面内，子弹与木块组成的系统沿v0 方向动量守恒，即有：,33,由、式联立求得v2 的大小为:,由(3) 式及（*）求得 v2 与OB的夹角为：,在由AB的过程中木块在水平面内只受指向O点的弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设v2 与OB方向成角，则有:,34,例2.17一质点m被一长为l的轻线悬于天花板上的B点，质点m在水平面内作匀角速的圆周运动，设圆轨道半径为r0 。试计算（1）质点m对

16、圆心O和悬点B的角动量L0 和LB ；（2）作用在质点m上的重力mg和张力T对圆心O和悬点B的力矩M0 和MB ；(3)试讨论m对O点或B点的角动量是否守恒(如下图所示).,解(1) 在图(a)中由圆心O点向质点m引矢量 ，则：,的方向垂直于轨道平面沿OB方向向上。,35,即：圆锥摆对圆心O点的角动量L0为沿OB向上的恒矢量.,在图(b)中，由悬点B向在某位置 P处的质点m引矢径rB，则：,其大小为：,36,(2) 如图(c)，质点m所在位置对于圆心O， 张力T的力矩为：,其方向垂直于纸面向外，大小为：,此时重力对圆心O的力矩为：,方向垂直于纸面向里。其大小为：,37,由上面计算可以得出，作用在质点m上的张力T，重力mg对圆心O的合力矩为：,同样，如图(c)质点所在位置，对于悬点B，张力T因与rB始终共线，故T对B点的力矩为零.而重力mg对B点的力矩为：,