第十一章 点的运动.ppt

1、第十一章 点的运动,11.1 描述点运动的矢径法 11.2 直角坐标法 11.3 自然法,11.1 描述点运动的矢径法,一运动方程及轨迹 动点M对定点O(参考体内的连体点)的矢径 ，可作为动点矢量形式的位置参量 (图111)。 例如在雷达定位中，雷达站至目标的波束就是目标的矢径。动点运动时矢径r的大小和方向都随时间而变，成为时间t的单值连续矢函数。 矢径末端在参考空间中描绘出的曲线称为矢端图。显然动点的轨迹(图111中的曲线L)就是动点矢径的矢端图，而式(111)也就是以时间t为参数的点M轨迹方程的矢量形式。另须注意，点的轨迹是与参考系空间固连的曲线因此轨迹也可以表征参考体。,下一页,返回,1

2、1.1 描述点运动的矢径法,二速度 设动点M沿其轨迹L运动，在瞬时t和置分别是M，M径分别是r和r (图111)。矢径的变化量 r=r-r 称为动点在时间t内的位移。点的位移是矢量，它由点的始末位置确定，与动点在两位置间行径的路径无关 。 比值r= t称为动点在时间内的平均速度 。 t0时平均速度的极限定义为动点在瞬时t的速度，记为v,下一页,返回,上一页,11.1 描述点运动的矢径法,这个结果可以推广到一般矢量导数，即矢量的导数是一个新矢量，它表示矢量端点在矢量图上运动的速度；其方向沿矢量图上对应点的切线。 速度的大小v常称速率，其单位是ms。 三加速度 设动点M沿其轨迹L上运动，在瞬时t和

3、t+t的位置和速度分别是M、M ，v、v (图112(a)。在时间t内的速度改变量为v=v-v ，比值v/ t 称为动点在t时间内的平均加速度。当t0时平均加速度的极限定义为动点在瞬时t的加速度，记为a,下一页,返回,上一页,11.1 描述点运动的矢径法,即点的加速度（矢量）等于它的速度对时间的导数，或者等于它的矢径对时间的二阶导数。加速度大小的单位是m/s2。,返回,上一页,11.2 直角坐标法,一.运动方程轨迹 动点M的矢径，在坐标系oxyz中的解析表达式为 r=xi+yj+zk 3个直角坐标可以作为动点M的独立位置参数。 点M运动时，它们都是t的单值连续函数 这组方程称为动点M的直角坐标

4、形式的运动方程。,下一页,返回,11.2 直角坐标法,二. 速度 根据式（11-2）和（11-4），点M的速度为 上式已考虑了各固定轴单位i,j,k不随时间而变、其对时间导数都为零的性质。 另一方面，写出矢量v在坐标系oxyz中的解析表达式,下一页,返回,上一页,11.2 直角坐标法,即，点的速度在固定直角坐标系各轴上的投影，分别等于动点的对应坐标对时间的导数。 三.加速度 进行与速度分析完全类似的过程，得出,下一页,返回,上一页,11.2 直角坐标法,即，点的加速度在固定直角坐标系各轴上的投影，分别等于动点速度的对应投影对时问的导数；或者等于对应坐标的二阶导数。 应当注意，由式(111)(1

5、110)看出，运动方程是点运动的基本描述。建立直角坐标形式运动方程的要点是：先确定原点和轴的指向明确的直角坐标系；使动点处在独立坐标为正的一般位置；列写动点坐标的几何关系表达式；最后在此表达式中代入时间关系。这些要点原则上适合任何形式(如自然法，见后)运动方程的建立。 相反的问题是，已知点的速度、加速度，须求点的速度、运动方程及轨迹。这时须利用式(1110)或(118)写出动点的运动微分方程，并利用初始条件作求积运算。具体问题，无论求导或求积，都应充分注意微积分知识的应用。,返回,上一页,11.3 自然法,一曲率半径密切面 图115所示空间曲线在相邻近两点M和M处的切线分别是MT、MT。两点间

6、的弧长MM=S。 曲率的倒数称为曲线在点M处的曲率半径，记为,下一页,返回,11.3 自然法,按此定义，密切面可以理解为点M处曲线的微小弧段ds(小到可以 看成平面曲线)所在的平面，或者点M处曲线的曲率圆所在的平面。显 然，平面曲线在任一点的密切面都是该曲线所在平面本身。 二自然轴系 如图116所示，通过曲线L上点M而与切线MT垂直的平面，称为曲线在点M的法面。法面与密切面的交线MN称为主法线。法面内与主法线垂直的直线MB称为副法线。 在点M处曲线的切线、主法线和副法线组成一个空间标架，称为点M的自然轴系(图116),下一页,返回,上一页,11.3 自然法,三运动方程 在动点M的已知轨迹L上选取一点作OS为原点，并取定曲线的正、负向(图117)。s可作为确定动点M位置的参数，点M沿已知轨迹运动时，s是时间t的单值连续函数，即 s=s(t) 上式称为动点M的自然形式的运动方程。 四.速度 设动点M在瞬时t的矢径为r，弧坐标为s(图11-7)。根据式（11-2），点M的速度表示为,下一页,返回,上一页,11.3 自然法,五加速度 由加速度的矢径法定义，考虑式(1113)，有 其中须要讨论的是矢量导数 现分析它的大小和方向。设沿切线MT的单位矢量为, = - ,下一页,返回,上一页,11.3 自然法,但 故有,下一页,返回,上一页,11.3 自然法,于是 另