有关运算教学的思考

1、北京教科院 吴正宪,新课程下有关运算教学的思考,关于 “算理”与“算法”关系的思考,什么是“算理”？ 什么是“算法”？ 如何处理“算理”与“算法”的关系？,小数乘法的算理,0.3 0.2,运用运算定律能够保证计算结果的唯一性，这就是算理。而运算法则是人们进行计算的一个基本程序或方法，它是具有操作性的，先做什么，再做什么，最后做什么。运算法则，来自于算理；学生在做计算的时候是基于运算法则的，法则通常又要满足运算律，这就是我们平时讲课时应做到明确算理，掌握法则。,算理是四则运算的理论依据，它是由数学概念、运算定律、运算性质等构成的；具体的计算方法（主要指计算法则）是四则运算的基本程序和方法。运算是

2、基于法则进行的，而法则又要满足运算定律。所以，算理为法则提供理论依据，法则又使算理具体化。,【案例】 关于“0.30.2”的讨论,背景：这是小数乘法单元中的一节课， 在此之前学生已经会计算整数乘小数， 并了解了小数点移动的规律。这节课 在讨论具体小数乘小数如何计算的基 础上，归纳出如何进行小数乘小数的 运算。,教师给学生充分思考、计算的空间，交流时学生发言热烈。,课上通过一个问题情境，首先引出了0.30.2=？,首先，学生进行了猜想。一部分学生认为是0.6， 一部分学生认为是0.06，产生了分歧。,学生1： 我用百格图，这里的0.3米代表花园的长，0.2米表示花园的宽，（表示面积）的这些方格占

3、百格图的百分之六，所以0.30.2结果是0.06.”,学生2：“我还有一种方法。把0.2看成是2,把0.3看成是3,2乘3得6, 因为我刚才扩大了100倍，所以我要再缩小100倍，得0.06。”,学生3：“我没有这么麻烦，不用把两个数都扩大，我只把0.2扩大10倍，20.3得0.6,再把0.6缩小10倍，就是0.06. ”,学生4：“我用竖式。0.2与3相乘得06,任何数和0相乘都得0，所以0.2和0相乘得00,加起来就是0.06.”边说边写出了竖式。,学生6：“0.3乘以0.2就是把0.3平均分成10份，取其中的两份。0.3的十分之一是0.03,也就是一份是0.03,两份就是0.06.”,学

4、生5：“我们学过两位数乘以两位数了，我看成是03乘以02,得数应当是006。小数点点哪儿呢？我认为不会是00.6,如果小数点前有两个0,前边的0就没有意义了, 小数点前只能是一个0,所以是0.06.”,学生7：“0.2不到1，如果1乘以0.3,得0.3,而0.2比1小，它是1的五分之一，所以应当是比0.3还小。”,师：这么多种方法计算这个问题，你喜欢哪一种？,学生的想法,这种方法非常直观，通过阴影部分与整 个图的关系得出阴影占百分之六，百分之 六就是0.06。这说明学生能够借助前面的 经验来解决问题的，而且学生的形象思维 比较丰富。在具体直观的图中，学生理解 了算理。,其余几个孩子的想法，都有

5、逻辑推理的 过程：像 0.3乘0.2，只把0.2扩大10倍， 2乘0.3是0.6，然后把0.6再缩小10倍，就是 0.06，学生是在原有旧知识0.3乘2已经掌握的基础上，探究0.3乘0.2的，最后得出结果是0.06。,小数乘法学生没学过，但他们可以用直观、逻辑推理的方法来解决，这些方法都是用旧知推出新知，最后大家得出计算方法：小数乘小数的法则是先把整数相乘，然后，看它因数的小数位共有多少位，再从右边起，点出几位小数，这就是具体的计算方法。,这些做法已经把算理和具体的计算方法有机地融合在一起了，不必单独拿出来给学生讲算理。作为教师，在课堂上，应该好好地保护学生这种可贵的创造精神。,在案例的讨论中

6、，有的老师提出：“要 不要在这儿花那么多功夫？”。小数乘小数学生第一次接触，教师要帮助学生在解决问题过程中理解计算的道理，包括利用直观图及分析各种算法，让学生在理解的过程中明算理，掌握计算方法。,老师给足学生探索的时间和空间,过去教师往往是把把竖式呈现给学生，让学生模仿，只要计算正确，就算完成教学任务。这种只关注学习结果，忽视计算过程的教学就失去了学生独立思考探究的机会。丁老师在课堂上鼓励学生，让学生用自己的方法来解决问题，为学生的数学学习发展创造了良好的条件。,在直观的教学中理解算理。,面对学生各种各样的算法，教师精心地设问，引发了学生更深层面的思考。在横式、竖式的比较中，沟通了它们的联系，

7、特别是在算式与直观图形的比较中，深刻地理解了算理。,教师要不断学习和领悟运算中的算理；要在算理与算法有机结合方面很好地探索；使学生能够在数形结合的直观实践操作活动中，进一步感悟计算的道理，很好地掌握计算的方法。,关于算法多样化的思考,谈到运算教学，我们不得不面对这个话题算法多样化。,(1)算法多样化与过去提到的“一题多解”有什么不同？,(2)在算法多样化的教学中，要不要给学生推荐一种最基本的方法，让全体都掌握？,(3)在教学中，如何把握算法多样化与“优化”的关系？,案例,500175?,课上通过一个问题情境，引出了500175? 学生一共出现了5种方法：,方法：500200=300 ，3002

8、5=325；,方法：500=499+1，,499 175 324,所以500-175=325,方法：用竖式,方法： 500+25 525 175+25 200 325,思考:,我们如何面对和评价学生的多样算法？这些算法有什么价值？,观点分享,1.算法多样化的价值,算法多样化有利于培养学生的创新精神， 有利于学生的自我建构，使他们的潜能 得到充分地发展；,算法多样化有利于学生之间的交流，使 学习资源能够共享；,算法多样化有利于老师对学生的个性地了解；,案例,分数除以整数,一、情境引入，独立思考,班中组织联欢会，布置教室需要做彩带。,如果把现有的 米长的彩条，平均截成 2段，每段长多少米？,二、展示学生的多种方法,生1： 折纸的办法。 生2： 生3： 生4： = 0.82 = 0.4,现在把“平均截成2段”改为“平均 截成3段”， 3 得多少呢？能不能 用你们刚才的方法再来算一算。,三、提出新问题,生1：画图方法。,四、学生再创造,生2：,生3：,生4： 生5：,五、巩固练习,创设情境，给学生独立思考的空间。,算法多样化教学建议,鼓励学生独立思考，主动探索出计算的 方法 （尽可能鼓励学生在纸上写一