数学三十六计继集3：踢三角

1、1数学三十六修订继集之三：踢三角：踢三角作者：蚂蚁老师从马到成功老师踢三角是奥数修订算法题中的一个公式，可用于修订满足以下条件的修订算法。 1、有自然数列，2、有等差数列。 式为： ) 21)(321 3 1 nn (，具体处理问题精妙，可从例题和练习题中领悟。 【精典名题【精典名题1】。 例1修正算法2 5 8 11 14 17 20 23【构想点刻度盘】【构想点刻度盘】这明显是一系列等差数列的修正。 如下图所示，我们将这个数字依次写在孙悟空的“金鸭棒”上：我们复制另一个完全相同的“金鸭棒”，将复制的“金箍棒”从头上去掉(即绕中心旋转180圈)，将两个“金鸭棒”合为一， 最后下图：最后合起来

2、变成两个的这个“金鸭棒”的每个位置的数2是25(2 23=5 20=23 2=25 )，因为总共有8个位置，最后发现这个“金鸭棒”的所有数之和等于258=200，所以我们是258 110 可知82=100，但实际上，对于任何等差数列an，此处有aian-i1=a1(i1)dan(n )即() 2 1 n aaS nn =、(其中an为等差数列) 【 精典名题【精典名题2】修正算法1 (15 )、(15 )、(1) (1 5 9 101 )【构想点拨号() () () () ) 210226210326221101126291325122111=原式3如果在这里发现，下一次的订正运算将不容易进行

3、。 从别的角度观察原题，问题上一共出现了101个、2个97个、3个93个、25个5个和26个1个，因此原式=1101 2 97 393 255 261。 变形后的这个修正公式是几个乘积之和的形式。 各部分乘法式的第一因子构成从1开始的自然数列，第二因子101、97、93、5、1构成等差数列。 即n i i ai 1的形式。 式()1 n i i ai=可以理解为乘法的意义，其中1a1代表一个a-1，2 a-2代表两个a-2，iai代表I个ai，nan代表n个an，并且它们的数量可以如下图所示来排列：这些个的数量可以恰好呈三角形。 对这个“三角形”按顺时针方向踢起两个脚丫子，4上的3个“三角形”

4、合起来的话，可以看出重合后的各位置的3个个数之和等于a1 2an (证明过程略)。 因为每个三角形都有1 2 3 n () 2 1 =nn个位置，所以三个三角形上的所有数之和等于() () 2 1 2 1 = nn aa n。 一个“三角形”上的所有数之和是() () () ) 6121211=nnaannaann () () 6121=nnaai 1101297393255261=(10112 ) 26276=12051【精典名题【精典名题3】n2222321【构想点所以=2222111 (21 ) (1) (21 ) 23631 nnnnn=【精典名题【精典名题4】523625727205

5、3【构想点拨号=(15532 ) 20216-(15212 ) 456=8470-190=8280解法2 :原式1624=5848 2832=8280【精典名题5】基于图中的5个图形的变化规则，求第99个图形中的所有圆(实心圆和空心圆)的个数6【构思点拨号】先看这个主题： 12a123a234a3n(n1我们是n (n 因此以上的问题可变形为1a1 (1 2)a2 (1 2 3)a3 (1 2 3 n)an2求原式的值，仅求1a1(12 )。 以最简单的1a1 (1 2)a2 (1 2 3)a3 (1 2 3 4) a4为例。 如下图所示，从乘法的意义出发，将a1、a2、a3、a4排列成“金字

6、塔”的形状，然后反转，由此得到修正的4个不同的“金字塔”(使a1的某个顶点在4个位置各出现1次)，能够使7个“金字塔”重叠在20个位置(1234 )=14233241=(412 ) 456=4566=20个位置处，在四个“金字塔”上，每个“金字塔”上的所有数目的和等于(a1 3a4)204=5(a1 3a4 )，并且上面的过程是12 a-123 a 能够被描述为a3的12 a 123 a 234 a3n (n1) an=1a1(12 ) a2(123 ) a3(123 n ) an2=(a 13an ) n (n1) (n2) 6428 (其中an为等差数列)，圆的个数为： ) 99321()

7、321 () 211 (166501210110099211009243132121=) (升学模拟升学模拟33= 794074533211 2，校正算34 57 710 913 101151 3)，将军这样布置了31个哨兵，他们在城门口对不起，哨兵中任意两个人的距离总和是多少米？ 4，= 100321 2222 5*修正算法1(2)(12)(123)(12350)9参考答案：参考答案： 1，参考题目3可以用三个旋转三角形表示式的结果，然后应用三层重叠，可以找到各自的位置的公式： 1 403211279= ()(2，解：原式=(2447610100151 ) (4710151 )=(14273

8、1050151 )2(4710151 )=(41512 ) 505162 (4151 )用于每条长3米线段的距离总和的次数，即将该线段左侧点的个数乘以右侧点的个数来决定，从左至右的30条相互重叠的3米长的线段的使用状况列式可知，3130329327432832923301=() 3130274283292301的括弧内由3个三角形的数组表示28365331 303211230=) (4，222211 (21001 ) 100 (1001 ) 33835023310012=5，原子公式=150249348492501=(150501 ) (25262626 )=150512495125265110 51=(5502492526 )有一点脚丫子的表兄弟，但还是希望广大高校的学生、奥数人民教师同