机器人学第三章习题

1、3-1.写出齐次变换矩阵 ，它表示相对固定坐标系A作以下变换。 1) 绕Z轴旋转 90； 2) 再绕X轴转-90； 3) 最后做移动【3 7 9 】 ； 3-2.写出齐次变换矩阵 ，它表示相对坐标系B做以下变换。 1) 移动【3 7 9 】 ； 2) 绕X轴旋转-90； 3) 绕Z轴转 90。 3-3.求下面齐次变换的逆变换1 T = 0101 0012 1000 0001 3-4.已知 = 0.250.430.865.0 0.870.5004.0 0.430.750.503.0 0001 求 的第（2,4）元素 3-5 已知矩阵 ？ 010 ？001 ？102 ？00 1 代表齐次坐标变换，

2、求其中的未知元素值（第一列元素） 。 3-6 设工件相对于参考系U的描述为 ，机器人基座相对于参考系 的描述为 ，已知 = 0101 0012 1000 0001 = 1001 0105 0019 0001 要求机器人手爪坐标系H与工件坐标系P重合，试求变换 3-7. 已知坐标变换矩阵 , , . = 0.8660.500011 0.5000.86601 0018 0001 = 1000 00.8660.50010 00.5000.86620 0001 = 0.8660.50003 0.4330.7500.53 0.2500.4330.8663 0001 画出空间尺寸链图，并求 . 3-8.如

3、图 3-17 所示的多面体顶点坐标系，试求 4x4 的齐次变换矩 阵 1 和 0 （i=1,2,3,4,5）. 3-9. 如图 3-18 所示的多面体各顶点坐标系，试求 4x4 的齐次变换 矩阵 1 和 0 （i=1,2,3,4）. 3-10. 如图 3-19 所正方体的顶点和中心坐标系，试求 4x4 的齐次变换 矩阵 1 和 0 （i=1,2,3） 。注：正方形边长为 l。1是空间对角线的中 点，2为棱边的中点。 3-11.如图3-16a所示的锲块要求变换到图 所示的位置， 求运动算子。 列 算 子 序 列 ， 每 次 运 动 仅 沿 某 轴 平 移 或 绕 某 轴 旋 转 。 3-12 图

4、 3-20a 中所示的两个相同的锲块，要求将其重新变换为图 3- 20b 所示位置。 1) 列出变换序列，每次变换表示沿某轴平移或绕某轴旋转，变换过 程中两锲块不许碰撞； 2) 作图说明从右到左的各个变换； 3) 作图说明从左到右的各个变换。 3-13 用一个描述旋转 （或平移） 的变换左乘与右乘同一表示坐标系的 变换，所得结果是否相同？为什么？试举例作图说明。 3-14 一个物体绕它的 X 轴转角，再绕他的新 Y 轴转角，按照欧拉 角方法，我们知道其方位可表示为 Rot（X, ）Rot（Y, ） 假若两次转动是绕固定参考系的坐标轴，结果是 Rot（Y, ）Rot（X, ） 可见， 变换的顺序

5、决定于转动是相对于固定框还是相对运动框描述的。 由此可以得到，相对固定框转动变换与相对运动框描述之间的关系 Rot（X, ）Rot（Y, ）1（X, ）. 这是“相似变换” 。推导这一相似变换的矩阵，它相当于欧拉角表示 (，)， 见式 （3-55） 。 并利用所得结果导出旋转变换通式 （3-68） 。 3-16.已知位置矢量 P B 和坐标系B P B = 3 2 1 = 01010 10020 0011 0001 试求： （1） 同一点 P 在参考系U中的描述 P U ； （2） ,其中C是B绕基坐标系U的 y 轴旋转 90，再沿基坐标系 Ux 轴方向平移 20 所得到的的新坐标系； （3）

6、 点 P 在坐标系C的描述 P ； （4） 作图表示坐标系U、B和C，以及 P U 、 P 、 P 。 3-17 已知旋转矩阵 R（K，） = 010 001 100 试求其等效转轴 K 和等效转角。 3-18 已知齐次变换矩阵 H = 01010 00120 1001 0001 把它看成绕某一轴线 （不过原点） 的旋转变换， 求轴线 K 的方向余弦， 等效转角和轴线上的任一点。 3-19 编写求旋转矩阵的等效转轴和等效转角的算法， 并能处理 = 0 和 = 180两种特殊情况（提示：可从（3-75）开始） 。 3-20 编写一个子程序，把旋转矩阵方位表示变为等效转轴一转角表 示。当用 PAS

7、CAL 语言时，子程序说明开始如下： Procedure RMTOAA（VAR R；mat33；VAR K； vec3; VAR theta real） ； 再编写另一个子程序把等效转轴转角表示变为旋转矩阵表示； Procedure AATORM（VAR K；vec3; VAR theta real ;VAR R；mat33） ； 输入具体数据对所编程序进行考核（包括一些较难的情况） ，验证所 编程序的正确性。 3-21 仿照上题，编写旋转矩阵与 RPY 角、欧拉角法相互转变的子程 序。 3-22 设想使矢量 K 旋转角，得新矢量 Q,即 Q=R（K, ）Q 应用式（3-68）导出 Rodri

8、ques 公式 Q=Q cos+sin（KxQ）+（1-cos） （KQ）K 3-23 证明旋转矩阵 R 的特征值为 1，和其中i = 1，说明与 特征值 1 对应的特征向量的物理意义。 3-24 坐标系B最初与A重合， 然后绕过原点的单位矢量 K 旋转 角， 即 =R（K，） 试证 = ，式中 K = 0 0 0 3-25 证明 Proper 正交矩阵的 Cayley 公式。 3-26 设想刚体上固结有两个单位矢量1和2，因为不论刚体怎样旋 转，此两矢量间的夹角不变，即刚体旋转是保角运算，由此证明，旋 转矩阵的逆等于它的转置，旋转矩阵是正交的。 3-27 编写构造坐标系 的算法，坐标系A由三

9、点 1、 2和 3决 定，其中 （1） 1是A的坐标原点； （2） 2位于A的 X 正半轴上; （3） 3 位于A的 XY 坐标面上，并靠近 Y 的正半轴。 3-28 写出位置矢量 的圆柱坐标、和 z 的表达式。 3-29 写出位置矢量 的球 （级） 坐标、 和 的表达式， 是经度， 是纬度。 3-30 对于微分转动， sin = ，cos = 1,2=0，利式（3-68）推导 微分转动（绕 K 轴旋转）的公式。 3-31 利用 3-29 题所得结果证明两个微分转动（无限小转角）是可交 换的（与转动顺序无关） 。 3-32 用欧拉参数 （四元数） 也可表示刚体的方位， 它与等效转轴一转 角的关系为， 1= sin 2 2= sin 2 3= sin 2 4= cos 2 这四个数满足 ，因此称单位四元数，欧拉参数与旋转矩阵的关系为 = 1 2 2 2 2 32 2(1234)2(13+24) 2(12+34)1 2 1 2 2 32 2(2314) 2(1324)2(23+14)1 2 1 2 2 32 1= 3223 44 1= 1331 44 1= 2112 44 =1 2 1 + 11+ 22+ 33 注意： = 180 时，4 0 。证明 180是4的极限存在，位于 -1,1 3-33 编写一