模糊数学方法及其应用(第3版)第四章答案

1、模糊数学方法及其应用 （第三版）谢季坚，刘承平。华中科技大学出版社 第四章 模糊决策习题解答 1.排序排序 某单位按下列条件（现实表现、管理水平、教学水平、教学奖、荣誉证、科研水平、科研奖、 论文数）对六位同志晋升高一级职称的条件进行评价。由于各人情况不同，名额又有限，拟 请专家 8 人对 6 位同志进行排序，所得结果如表所示。试用模糊意见集中决 策，确定 6 位同志的先后排序。 , , , , ,a b c d e f 名次 意见 1(10 分) 2(8 分) 3(6 分) 4(4 分) 5(2 分) 6(1 分) 1 b a d c f e 2 b e f a d c 3 e d f c

2、a b 4 e d c f b a 5 d e c f b a 6 c d f a b e 7 f d a c b e 8 d c f a e b 解：利用波达数的计算方法可知： a的波达数为 42 1 0023214+ + + += b的波达数为55 0 1 1 1 1 014+ + + + + + += c的波达数为 20233 52417+ + + + += d的波达数为 3 1 44544530+ + += e的波达数为1 4 55400 120+ + + + + = f的波达数为1 3 32235322+ + + + += 排序为（并列） , , ,d f e c, a b 考虑了名

3、次的权重 名次 1(10 分) 2(8 分) 3(6 分) 4(4 分) 5(2 分) 6(1 分) 5 4 3 2 1 0 权重 10/31 8/31 6/31 4/31 2/31 1/31 加权后的结果为 a的加权波达数为4 8/31 2 3 4/31 1 2/31 0 2 1/31 3 6/3176/31+ + + + = b的波达数为5 2 10/31 1 4 2/31 0 1/31 108/31 + + = c的波达数为 2 3 4/31 0 1/31 3 2 6/31 5 10/31 4 8/31 142/31 + + + + = d的波达数为 3 6/31 1 2/31 4 4

4、8/31 5 2 10/31244/31+ + + = e的波达数为1 2 2/31 4 2 8/31 5 2 10/31 0 2 1/31 168/31 + + + = f的波达数为1 2/31 3 4 6/31 2 2 4/31 5 10/31 140/31+ + + = 加权后的排序为 , , , ,d e c f b a 2.排序排序 手写英文字母的模糊识别。设论域, ,a b c , , Xa b c=及待识别图像（）如图所示，为了 方便，设依次为 z , ,a b c 123 ,x xx。考察他们与待识别图像（）是否相似。若a与b比较， 与（）的相似程度为 0.32，则b与（）相似

5、程度为 0.46；b与比较，与（）的 相似程度为 0.4，则与（）相似程度为 0.64；c与比较，c与（）的相似程度为 0.46， 则与（）相似程度为 0.54；试用模糊优先关系定序法按与图像（）最相似特性确定 z azzcbz czaz azz 123 ,x xx的次序，从而识别（）是哪个字母 z 解：用模糊优先关系排序决策来进行排序，首先要建立模糊优先关系矩阵R。在计算时 要求。而根据题目，a与b比较时，与（）的相似程度为 0.32，则与（） 相似程度为 0.46，选择对的优先选择比为 ij r 1 ijji rr+=azbz ab 0.32 0.320.46+ ，对的优先选择比为ba 0

6、.46 0.320.46+ ，同理，得到其他两两对比的优先选择比。 模糊优先关系矩阵 10.410.54 0.5910.38 0.460.621 R = 找出每行最小值0，其中最大值0.46位于第三行，因此为第一优越对象。 将第三行和第三列划去得到与b的模糊优先关系矩阵： .41,0.38,0.46c a (1) 10.41 0.591 R = 行最小值中的最大值0.59位于第二行，因此b为第二优越对象。则最后一个为第三优越 对象。 a 则与图像（）最相似的对象按优越程度从大到小顺序为，b，。因此识别（）是。 zcazc 3. 设 123 ,Xx x x=， 1234 ,Yy yyy= 101

7、0 0100 0011 R = 13 ,Ax x= 12 0.70.2 B xx =+ % ，试求， ( ) R TA % ( ) R TB % 解：解法 1，利用第四章模糊线性变换的内容知： 1010 ( )(1,0,1)0100(1,0,1,1) 0011 R TAA R = oo % 1010 ( )(0.7,0.2,0)0100(0.7,0.2,0.7,0) 0011 R TBB R = oo % 解法 2，由模糊关系矩阵知存在模糊映射 1010 0100 0011 R = ( )f x，使得 1 ()(1,0,1,0)f x=， 2 ()(0,1,0,0)f x= 3 ()(0,0,

8、1,1)f x= 也即 11 22 31 43 , , ( ) , , y xx yxx f x y xx x yxx = = = = = 3 % % 则根据第一章的扩张原理知 27 P 11 22 313 43 ( )()( )1 ( )()()0 ( )()( ( ), ()1 ( )()()1 f A yA x f A yA x f A yA xA x f A yA x = = = = = 即 ( )(1,0,1,1) R TA = 11 22 313 43 ( )()()0.7 ( )()()0.2 ( )()( ( ), ()0.7 ( )()()0 f ByB x f ByB x

9、f ByB xB x f ByB x = = = = = % % % % 即 ( )(0.7,0.2,0.7,0) R TB = 4.设 12 ,Xx x=，Ax 123 ,Yy yy= 0.310.1 R = 12 ,x=， 12 0.10.6 B xx =+ % ， 试求， ( ) R TA % ( ) R TB 解：利用模糊线性变换的内容知： 12 0.310.7 ( )(1,1)(0.3,1,0.7) 0.310.1 R TAA R 3 yyy =+ oo % 12 ( )(0.1,0.6)(0.3,0.6

10、,0.1) 0.310.1 R TBB R 3 yyy =+ oo % 5. 设 123456 ,Xx x x x x x=， , , , Ya b c d=而 123 45 6 , , ( ), , a xx x x f xb xx x c xx = = 12356 0.7 A xxxxx =+ % ，试求( )Bf A= % 及 1( ) fB % 。 解：解法 1.根据第一章的扩张原理知 123 45 6 ( )( )( ( ), (), ()1 ( )( )( (), ()0.4 ( )( )()0.7 ( )( )0 f A aA xA xA x f A bA x

11、A x f A cA x f A d = = = = = = = % % % % 即 10.40.70 (1,0.4,0.7,0)B abcd =+ % + = 111 123 11 45 1 6 ( )()( )()( )()( )1 ( )()( )()( )0.4 ( )()( )0.7 fB xfB xfB xB a fB xfB xB b fB xB c = = = % % % 即 1 123456 1 ( )(1,1,1,0.4,0.4,0.7)fB xxxxxx =+ % 解法 2，根据模糊映射( )f x，可以得到模糊关系矩阵 1000 1000 1000

12、 0100 0100 0010 R = 则 1000 1000 1000 ( )( )(1,0.5,0.8,0,0.4,0.7)(1,0.4,0.7,0) 0100 0100 0010 R Bf ATAA R = oo % 1 111000 000110 ( )( )(1,0.4,0.7,0)(1,1,1,0.4,0.4,0.7) 000001 000000 R fBTBB R = oo % 其中 R是Y到X的模糊关系矩阵，是X到Y的模糊关系矩阵R的转置。 6.设XR= 2 : |( )1 (1) fRR xf xx = + 而A % 是X的子集 1/3, 3 ( )1,01 0, xx A

13、xxx others + = % 0 试求( )f A % 02 解： 当时， 函数是偶函数， 因此1(2x 2 ( )1 (1)yf xx= +)f x时 或者，但是当时, 10 x 2x 110 x ( )A x = % 31/x+较大 因此 ( )( )1/3| 101/3| 211/3| 10f A yxxxxxx=+ + =+ % 1 (1 1)/3,12yy= + 2( )f x 5时01x或者，但是当013x 2x时,( )A x = % 1x得的值比 时32x ( )A x = % 31/x+的值大，因此 ( )( )1/3| 321|011|01f A yxxxxxx=+ =

14、 % 21,25yy= 所以 1,2(2,5 1 (1 1)/321 ( ) yy f A yy + =+ % 注：函数( )f x和( )A x % 都是连续函数，上式中区间端点处取开还是闭都可以。 2 7.对某产品质量作综合评价，考虑从 4 种因素来评判产品，即因素集为， 将产品质量分为 4 等，即评判集为V 1234 ( ,)Uu u u u= =（，） ，设单因素评判为模糊映射f % % % % % 11 ( )(0.3,0.6,0.1,0)uf u=a 22 ()(0,0.2,0.5,0.3)uf u=a 33 ()(0.5,0.3,0.1,0.1)uf u=a 44 ()(0.1,

15、0.3,0.2,0.4)uf u=a 设有两种因素的权重为， 1 (0.5,0.2,0.2,0.1)A = 2 (0.2,0.4,0.1,0.3)A = 试评判此产品按两种权重情况下，分别相对地属于哪级产品。 解：单因素评判矩阵 0 0 0.1 0.4 R = 则综合评判 11 0 0 (0.5,0.2,0.2,0.1)(0.3,0.5,0.2,0.2) 0.1 0.4 BAR = oo % 22 0 0 (0.2,

16、0.4,0.1,0.3)(0.2,0.3,0.4,0.3) 0.1 0.4 BAR = oo % 因此按两种权重该产品分别属于，。 8在习题 7 中，若对产品所得综合评判为(0.2,0.2,0.4,0.3)B = （1）试从下列 4 种对因素的权重方案中，选择最符合作该评判的权重（按格贴近度计算） 。 1 (0.3,0.5,0.1,0.1)A =， 2 (0.3,0.4,0.2,0.1)A = 1 (0.2,0.3,0.2,0.3)A =， 4 (0.2,0.4,0.1,0.3)A = 在这次综合评判中，试分析哪种因素起决定作用。 解： 11 0.30.60

17、.10 0 (0.3,0.5,0.1,0.1)(0.3,0.3,0.5,0.3) 0.1 0.4 BAR = oo % 111 11 (,)(1)(0.4(1 0.3)0.55 22 B BBBBB=+=+=o? 22 0 0 (0.3,0.4,0.2,0.1)(0.3,0.3,0.4,0.3) 0.1 0.4 BAR = oo % 222 11 (,)(1)(0.4(1 0.3)0.55 22 B BBBBB=+=+=o? 33 0 00.20.50

18、.3 (0.2,0.3,0.2,0.3)(0.2,0.3,0.3,0.3) 0.1 0.4 BAR = oo % 333 11 (,)(1)(0.3(1 0.2)0.55 22 B BBBBB=+=+=o? 44 0 0 (0.2,0.4,0.1,0.3)(0.2,0.3,0.4,0.3) 0.1 0.4 BAR = oo % 444 11 (,)(1)(0.4(1 0.2)0.6 22 B BBBBB=+=+=o? 所以最符合作该评判的权重是。 4 A （2）按下面贴近度来计算 1 1

19、 ()() ( , ) ()() n kk k n kk k A xB x A B A xB x = = = 1 1 1 1 1 ()() 0.3 (, )0.786 0.3 ()() n kk k n kk k B xB x B B B xB x = = + = + = 2 1 2 2 1 ()() 0.3 (, )0.846 0.3 ()() n kk k n kk k B xB x B B B xB x = = + = + = 3 1 3 3 1 ()() 0.3 (, )0.909 0.20.30

20、.30.3 ()() n kk k n kk k B xB x B B B xB x = = + = + = 4 1 4 4 1 ()() 0.3 (, )0.917 0.3 ()() n kk k n kk k B xB x B B B xB x = = + = + = 按该贴近度，最符合作该评判的权重还是是。 4 A 9方法与方法与 7,8 题类似。题类似。 解。解。 1 0.420.5800 (0.19,0.80,0.01)000.260.74(0.19,0.26,0.26,0.74) 00.110.260.63 BA R = oo % 南宁南宁 所以

21、南宁地区对种植橡胶的适宜程度为“不适宜” 2 1000 (0.19,0.80,0.01)0.950.0500(0.8,0.05,0,0.01) 0001 BA R = oo % 万宁万宁 则万宁地区对种植橡胶的适宜程度是“很适宜” 。 10方法与方法与 7 题类似。题类似。 解：解： 0 0 (0.5,0.2,0.2 0.1)(0.4,0.5,0.2,0.1) 0.1 0.2 BA R = oo % ， 学生对该教师的综合评价结果是“较好” 。 11.解下列模糊关系方程解下列模糊关系方程 （1） 1234 (0.7)(0.

22、8)(0.6)(0.3)0.6xxxx= 解：先写出区间向量 (0.6 0.7,0.6 0.8,0.6 0.6,0.6 0.3)Y=(0.6,0.6,0.6,1, ) (0.6 0.7,0.6 0.8,0.6 0.6,0.6 0.3)Y= (0,0.6,0,0.6,0,1,0,1) 因此 (1) (2) (3) (0.6,0,0.6,0,1,0,1) (0,0.6,0.6,0,1,0,1) (0,0.6,0,0.6,0.6,1,0,1) W W W = = = 方程的解集为 (1)(2)(3) xWWW= 最大解为(0.6,0.6,1,1)x = （2） 12345 (0.6)(0.7)(0.

23、5)(0.8)(0.3)0.6xxxxx= 解：先写出区间向量 (0.6 0.6,0.6 0.7,0.6 0.5,0.6 0.8,0.6 0.3)Y=(0.6,1,0.6, ,0.6, ) (0.6 0.6,0.6 0.7,0.6 0.5,0.6 0.8,0.6 0.3)Y=( 0,1,0,0.6,0,1,0,0.6,0,1) 因此 (1) (2) (3) (0.6,1,0,0.6,0,1,0,0.6,0,1) (0,1,0.6,0,1,0,0.6,0,1) (0,1,0,0.6,0,1,0.6,0,1) W W W = = = 方程的解集为 (1)(2)(3) xWWW= 最大解为(1,0.

24、6,1,0.6,1)x = （3） 1234 0.1 0.50.400.6 ( ,)(0.4,0.5,0.7,0.5) 0 0.7 x x x x = o 解：用矩阵作业法解模糊关系方程 第一步求最大解 令 (0.4,0.5,0.7,0.5)B = 0.1 0.50.400.6 0 0.7 R = 1 x1= =， 2 x(0.4,0.5)0.4= =， 3 x(0.4,0.5)0.4= =， 4 x(0.5,0.5)0.5= = 最大解为x(1,0.4,0.4,0.5)= 第二步判断解

25、的存在性 用R中的行向量 1234 ( ,) iiiii rr rrr=和 1234 ( ,)Bb b b b=相比，将的用 ijj rb ij r j b来代替， 将的用来代替，得到 ijj rb的用来代替 ij r0 0 0.4000 0.4000 0.40.500.5 R = 因为每一列都有非零的元素，所以原模糊关系方程有解 第三步求极小解 在 R中每列选取一个非零元素，总共有4 2 1 18 =种取法 选取第一列的第一个元素， 第二列的第一个元素， 第三列的第一个元素和第四列的第四个元 素得(，因此选中了第一行的和第四行的0.5元素，在行中选中的元素 中选取最大值，第

26、二行和第三行中没有选取元素，得到一个解 1,1,1,4)0.4,0.5,0.7 (0.7,0,0,0.5) 同理，选取时，得到解( (2,1,1,4)0.7,0.4,0,0.5) 选取(时，得到解 3,1,1,4)(0.7,0,0.4,0.5) 选取(时，得到解 4,1,1,4)(0.7,0,0,0.5) 选取时，得到解 (1,4,1,4)(0.7,0,0,0.5) 选取时，得到解 (2,4,1,4)(0.7,0.4,0,0.5) 选取(时，得到解( 3,4,1,4)0.7,0,0.4,0.5) 选取时，得到解 (4,4,1,4)(0.7,0,0,0.5) 拟极小解为 (0.7,0,0,0.5

27、)x = 第四步构造解集 方程的解集为 |X xXx=(0.7,1,0,0.4,0,0.4,0.5)= （4） 1 2 x x = o ) 解：将该模糊关系矩阵方程进行转置，解法与上题一样，或者不进行转置，而将上题解法中 的行换成列，列换成行即可。下面介绍先进行转置再求解的解法。 原方程转置后得到 ()( 12 0.2 0.4 0.8 0.1 0.5 0.4 0.6 0.2 0.5 0.4 0.7 0.2 xx = o 第一步求解最大解，得到x(0.6,0.6)= 第二步判断解的存在性，得到 00.40.600.6 0.20.6 R = 00.40.60 0.2 R = 第三步求极小解 有 4 种取法 选取(得到解 2,1,1,2)(0