函数方程及其应用历年高考题

1、第三节第三节函数、方程及其应用函数、方程及其应用 1.（2009 福建卷文）若函数f x的零点与gx 4x 2x2的零点之差的绝对值不超过 0.25， 则f x可以是 A. fx 4x1 B. fx(x1)2 C. fxex1 D. fx Inx 答案A 解析 fx 4x1的零点为 x= 点为 x=0, fx Inx 点，因为 g(0)= -1,g( 1 2 1 ,f x(x1)2 的零点为 x=1, fxex1的零 4 1 3 x 的零点为 x=.现在我们来估算gx 4 2x2的零 22 11 )=1,所以 g(x)的零点 x(0,),又函数f x 的零点与 22 gx 4x2x2的零点之差

2、的绝对值不超过 0.25，只有fx 4x1的零点适合， 故选 A。 2.(2009 山东卷文)若函数 f(x)=a-x-a(a0 且 a1)有两个零点，则实数a 的取值范围 是. x 答案a | a 1 x 解析设函数y a (a 0,且a 1和函数y xa,则函数 f(x)=a -x-a(a0 且 a1) x x 有两个零点, 就是函数y a (a 0,且a 1与函数y xa有两个交点,由图象可知当 0 a 1时两函数只有一个交点 ,不符合,当a 1时,因为函数y ax(a 1)的图象过点 (0,1),而直线y xa所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实 数

3、a 的取值范围是a | a 1. 【命题立意】 :本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考 查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答 3.(2009 山东卷理)（本小题满分 12 分） 两县城 A 和 B 相距 20km，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧上选择一点 C 建 造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城 B 的总 影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处 理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选

4、地 点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距 离的平方成反比， 比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 度为 0.065. （1）将 y 表示成 x 的函数； （11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理 的中点时， 对城 A 和城 B 的总影响 厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在， 求出该点到城 A 的距离;若不存在， 说明理由。 解法一:（1）如图,由题意知 ACBC,BC 400 x,y 其中当x 10 2时，y=0.065,所以 k=9 22 4k (0 x 20) C 22x400 x x A

5、49 所以 y 表示成 x 的函数为y 2 (0 x 20) x400 x2 B 89(2x)18x48(400 x2)249 （ 2 ）y 2 ,y 3 , 令y 0得 223222x(400 x )x (400 x ) x400 x 18x48(400 x2)2 , 所 以 x2160 , 即 x 4 10 , 当 0 x 4 10 时 , 18x48(400 x2)2 , 即y 0所 以 函 数 为 单 调 减 函 数 , 当 4 6 x 20 时 , 18x48(400 x2)2,即y 0所以函数为单调增函数.所以当x 4 10时, 即当 C 点到 城 A 的距离为4 10时, 函数y

6、 解法二: （1）同上. （2）设m x ,n 400 x, 则mn 400,y 22 49 (0 x 20)有最小值. 22x400 x 49 ,所以 mn 4949 mn14n9m11 当 且 仅 当 y ()13()(1312) mnmn400400mn40016 4n9mn 240 即时取”=”. mn m 160 下面证明函数y 49 在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. m400m 4949 () m 1 400m 1 m 2 400m 2 设 0m1m2160,则y1 y2 ( 4(m 2 m 1) 9(m 1 m 2 )4499 )() m 1 m 2

7、 400m 1 400m 2 m 1m2 (400 m 1)(400 m2 ) (m 2 m 1) 49 m 1m2 (400 m 1)(400 m2 ) (m 2 m 1) 4(400 m 1)(400 m2 )9m 1m2, m 1m2 (400 m 1)(400 m2 ) 因为 0m1m24240240 9 m1m29160160 所以 4(400 m 1)(400 m2 )9m 1m2 0, m 1m2 (400 m 1)(400 m2 ) 所以(m2m 1) 4(400 m 1)(400 m2 )9m 1m2 49 0即y 1 y 2 函数y 在 m 1m2 (400 m 1)(40

8、0 m2 )m400m (0,160)上为减函数. 同 理 , 函 数y 49 在 (160,400) 上 为 增 函 数 , 设160m1m2400, 则 m400m y 1 y 2 4949 () m 1 400m 1 m 2 400m 2 4(400 m 1)(400 m2 )9m 1m2 m 1m2 (400 m 1)(400 m2 ) (m 2 m 1) 因为 1600m1m2400,所以 4(400 m 1)(400 m2 )9160160 所以 4(400 m 1)(400 m2 )9m 1m2 0, m 1m2 (400 m 1)(400 m2 ) 4(400 m 1)(400

9、 m2 )9m 1m2 49 0即y 1 y 2 函数y 在 m 1m2 (400 m 1)(400 m2 )m400m 所以(m2m 1) (160,400)上为增函数. 所以当 m=160 即x 4 10时取”=”,函数 y 有最小值, 所以弧上存在一点，当x 4 10时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响 度最小. 【命题立意】 :本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. 5. (2009 湖南卷理)（本小题满分 13 分） 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端

10、桥墩之间 的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为x米的相邻两墩之间的 桥面工程费用为(2 x)x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其 他因素，记余下工程的费用为y万元。 （）试写出y关于x的函数关系式； （）当m=640 米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ m 1 x mm 所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x)x=256(-1)+(2x)x xx 256x m x 2m256. x 解 （）设需要新建n个桥墩，(n1)x m，即n= （）由（）知，f (x) 3 2 256m x2 3 1 3 m mx2 2 (x2512). 22x

11、 令f (x) 0，得x 512，所以x=64 当 0x64 时f (x)0.f (x)在区间（64，640）内为增函数， 所以f (x)在x=64 处取得最小值，此时，n 故需新建 9 个桥墩才能使y最小。 m640 11 9. x64 a0.115ln ,(x 6) a x 6.（2009 年上海卷理）有时可用函数f (x) x4.4 ,(x 6) x4 描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数（xN） ，f (x) 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关。 （1）证明当x 7时，掌握程度的增加量f (x1) f (x)总是下降； （2）根据经验，学科

12、甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为 * (115,121,(121,127,(121,133。当学习某学科知识6 次时，掌握程度是85%，请确定相 应的学科。 证明 （1）当x 7时，f (x1) f (x) 0.4 (x3)(x4) 而当x 7时，函数y (x3)(x4)单调递增，且(x3)(x4)0.3 分 故f (x1) f (x)单调递减 当x 7时，掌握程度的增长量f (x1) f (x)总是下降.6 分 （2）由题意可知 0.1+15ln 整理得 a =0.85.9 分 a6 a e0.05 a6 e0.05 6 20.506 123.0,123.0(121,127.13 分 解

13、得a 0.05e1 由此可知，该学科是乙学科.14 分 7.（2009 上海卷文） （本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满 a0.115ln ,x 6, a x 分 10 分 .有时可用函数f (x) x4.4 , 6 x4 描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数（xN*） ，f (x)表示 对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关. （1）证明：当 x 7 时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降； （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为（115，121,(121,127, (127,1

14、33.当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科. 证明（1）当x 7时，f (x1) f (x) 0.4 (x3)(x4) 而当x 7时，函数y (x3)(x4)单调递增，且(x3)(x4) 0 故函数f (x1) f (x)单调递减 当x 7时，掌握程度的增长量f (x1) f (x)总是下降 (2)有题意可知0.115ln 整理得 a 0.85 a6 a e0.05 a6 e0.05 6 20.506 123.0,123.0(121,127.13 分 解得a 0.05e1 由此可知，该学科是乙学科.14 分 20052008 年高考题 一、选择题 1.（2008 年全

15、国一 2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一 过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（） ssss tOtO t O tO ABCD 答案A 2. （2008 年福建卷 12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图， 那么 y=f(x),y=g(x) 的图象可能是（） 答案D 3. （07 广东） 客车从甲地以 60km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地， 在乙地停留了半小时， 然后以 80km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达丙地， 下列描述客车从甲地出发.经过乙地， 最 后到达丙地所经过的路程s 与时间 t 之间关系的图象中，正

16、确的是（） A 答案C 4.某地一年内的气温Q(t)（单位：）与时刻t（月份）之间的关系如图所示，已知该年的 平均气温为 10 .令 C（t）表示的时间段0，t的平均气温， C（t）与 t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（） BCD 答案A 解析由图可以发现当 t=6 时，C(t)=0，排除 C；t=12 时，C(t)=10，排除 D；t 在大于 6 的某一段气温超于 10，所以排除 B，故选 A。 二、填空题 5.（20062006 年上海春季年上海春季 2 2）方程log3(2x 1) 1的解x . 答案2 xx 6.（20072007 年上海年上海 4 4）方程9 63 7

17、 0的解是 答案 log 3 7 7.（2006 年北京卷 14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如 下：第k棵树种植在点P k (x k，yk )处，其中x 1 1，y 1 1，当k2时， k 1 k 2 x x15 TT kk1 ， 5 5 T(a)表示非负实数a的整数部分，例如 y y T k 1 T k 2 kk1 5 5 T(2.6) 2，T(0.2) 0按此方案，第6 棵树种植点的坐标应为 ；第 2008 棵树种 植点的坐标应为 答案（1，2） （3，402） 三、解答题 8.（2008 年江苏卷 17）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点 A,B

18、及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20km,CB=10km ， 为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上 （含边界） ，且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个 D O P C A B 污水处理厂， 并铺设排污管道 AO,BO,OP，设排污管道的总长 为ykm （）按下列要求写出函数关系式： 设BAO=(rad)，将y表示成的函数关系式； 设 OP x(km) ，将y表示成x的函数关系式 （）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总 长度最短 解本小题主要考查函数最值的应用 （）设 AB 中点为 Q，由条件知 PQ 垂直平分 AB，若BAO=(r

19、ad) ，则 AQ1010 , 故OB ，又 OP1010tan， coscoscos 1010 所以y OAOBOP 1010tan， coscos OA 所求函数关系式为y 2010sin 10 0 4cos 若 OP=x(km) ， 则 OQ10 x，所以 OA=OB= 2 10 x2 102x220 x200 所求函数关系式为y x2 x 20 x2000 x 10 （）选择函数模型，y 10coscos(2010sin)10(2sin1) cos2cos2 令y 0得 sin 1 ，因为0 ，所以=.当0, 时，y0， y是的减 642 6 3)(km)。 函数；当 , 时，y0，y

20、 是的增函数.所以当= 时，yiin (1010 6 6 4 这时点 0 位于线段 AB 的中垂线上，且距离 AB 边 10 3 km 处。 3 9.（2008 年湖北卷 20）.(本小题满分 12 分)水库的蓄水量随时间而变化.现用t表示时间， 以月为单位，年初为起点.根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近 似函数关系式为 t (t214t 40)e 5 50,0t 10, V(t) 4(t 10)(3t 41)50,.10t 12. 1 （）该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期.以i1 t i表示第 i 月份 （i 1,2,L ,12）,问一年内哪几个月份是枯水期？

21、 （）求一年内该水库的最大蓄水量（取e 2.7计算）. 解 （1）当 0t10 时，V(t)=(-t2+14t-40)e 1t 450 50, 化简得 t2-14t+400, 解得 t4，或 t10，又 0t10，故 0t4. 当 10t12 时，V（t）4（t-10） （3t-41）+5050, 化简得（t-10） （3t-41）0, 解得 10t 41 ，又 10t12,故 10t12. 3 综上得 0t4,或 10t12, 故知枯水期为 1 月，2 月， ，3 月，4 月，11 月，12 月共 6 个月. (2)由(1)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到. 1 2 31 t 由

22、 V（t） =e (t t 4) e4(t 2)(t 8),令 V(t)=0,解得 t=8(t=-2 舍去). 424 当 t 变化时，V(t) 与 V (t)的变化情况如下表： t V(t) V(t) (4,8) + 8 0 极大值 (8,10) - 1t 4 1 由上表，知 V(t)在 t8 时取得最大值 V(8)8e2+50=108.32(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32 亿立方米 第二部分第二部分三年联考汇编三年联考汇编 20092009 年联考题年联考题 一、选择题 1.（2009 泉州市）函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点必落在区间 1 1 A.

23、, 8 4 （） D.(1,2) 1 1 B. , 4 2 C. ,1 1 2 答案C 2.（2009 厦门二中）lgx 1 0有解的区域是 x （） A(0, 1B(1, 10C(10, 100 答案B D(100, ) 3.（2009 莆田一中）若函数f (x) x 3xa有 3 个不同的零点,则实数a的取值范 3 围是 C.,1D.1, （） A.2,2B. 2,2 答案A 4.4.（沈沈阳阳市市回回民民中中学学 2008-20092008-2009 学学年年度度上上学学期期高高三三第第二二次次阶阶段段测测试试文文科科）函数 f (x) x ln x的零点所在的区间为 A （1，0） C

24、 （1，2） 答案B 二、填空题 B （0，1） D （1，e） （） 5.(5.(北京市石景山区北京市石景山区 20092009 年年 4 4 月高三一模理月高三一模理) )已知函数y f (x)和y g(x)在2,2的图 象如下所示： 给出下列四个命题： 方程fg(x) 0有且仅有 6 个根方程g f (x) 0有且仅有 3 个根 方程f f (x) 0有且仅有 5 个根方程gg(x) 0有且仅有 4 个根 其中正确的命题是 （将所有正确的命题序号填在横线上）. 答案 6.（2009 龙岩一中） 我市某旅行社组团参加香山文化一日游， 预测每天游客人数在50至130 人之间，游客人数x（人）

25、与游客的消费总额y（元）之间近似地满足关系： y x2 240 x 10000那么游客的人均消费额最高为_元 答案40 7.(安徽省合肥市 2009 届高三上学期第一次教学质量检测)函数f (x) xlog2x的零点 所在区间为 A0, 答案C 三、解答题 8.（2009 福州八中）某造 船公司年造船量 是 20 艘，已知造船 x 艘的产值 函数为 R(x)=3700 x+45x-10 x （单位：万元） ，成本函数为 C(x)=460 x+5000（单位：万元） ，又 23 1 8 B , 1 1 8 4 C , 1 1 4 2 D ,1 1 2 在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf(

26、x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x)。 （）求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x)； （提示：利润=产值成本） （）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ （）求边际利润函数 MP(x)单调递减时 x 的取值范围，并说明单调递减在本题中的实际 意义是什么？ 解（ ） P(x)=R(x)-C(x)=-10 x +45x +3240 x-5000,(x NN , 且1 x 20); MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30 x +60 x+3275，(xNN ,且 1x19) 2* 32* （）P(x) 30 x290 x3240 30(x12)(x9). 当 0

27、x12 时P(x)0,当 x12 时，P(x)0. x=12，P（x）有最大值. 即年造船量安排 12 艘时，可使公司造船的年利润最大 （）MP（x）=-30 x +60 x+3275=-30(x-1) +3305, 22 所以，当 x1 时，MP（x）单调递减，x 的取值范围为1,19，且 xN N * MP(x) 是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少 9.（2009 福建省）已知某企业原有员工2000 人,每人每年可为企业创利润3.5 万元.为应对国 际金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部 分员工待岗.为维护生产稳定,该企业决定

28、待岗人数不超过原有员工的 5,并且每年给每位 待岗员工发放生活补贴 O.5 万元.据评估,当待岗员工人数 x 不超过原有员工 1时,留岗员 工每人每年可为企业多创利润(1- 81 )万元；当待岗员工人数 x 超过原有员工 1时,留 100 x 岗员工每人每年可为企业多创利润 O.9595 万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待 岗? 解设重组后,该企业年利润为 y 万元. 20001%=20,当 0x20 且 xN 时, y=(2000-x)(3.5+1- 81324 )-0.5x=-5(x+)+9000.81. x100 x x20005%x100,当 20x100 且 xN 时, y=

29、(2000-x)(3.5+0.9595)-0.5x=-4.9595x+8919. 324 )9000.81,(0 x 20且xN), 5(x y x 4.9595x8919, (20 x 100且xN). 当 0x20 时,有 324 )+9000.81-52 324+9000.81=8820.81, x 324 当且仅当 x=,即 x=18 时取等号,此时 y 取得最大值. x y=-5(x+ 当 20x100 时,函数 y=-4.9595x+8919 为减函数, 所以 y-4.959520+8919=8819.81. 综上所述 x=18 时,y 有最大值 8820.81 万元. 即要使企业

30、年利润最大,应安排 18 名员工待岗. 9 9 月份更新月份更新 1.（2009 枣庄一模）如果函数f (x) a b 1(a 0且a 1)的图象经过第一、二、四象 限，不经过第三象限，那么一定有 x （） B0 a 1且0 b 1 Da 1且b 0 A0 a 1且b 0 Ca 1且b 0 答案 B 2.（2009 上海十四校联考） 已知f (x)是定义在R上的函数， 且f (1) 1,对任意的xR都 有下列两式成立： f (x 5) f (x)5; f (x 1) f (x)1.若g(x) f (x)1 x,则g(6)的值为 答案 1 3.（2009 上海八校联考）某同学在研究函数f (x)

31、 结论： 等式f (x) f (x) 0对xR恒成立； 函数f (x)的值域为(1,1)； 若x 1 x 2 ，则一定有f (x 1) f (x2 )； 函数g(x) f (x) x在R上有三个零点。 x (xR) 时，分别给出下面几个 1| x| 其中正确结论的序号有_。 （请将你认为正确的结论的序号都填上） 答案 4.（2009 青岛一模）已知函数f x ax33x2 1 大值与极小值. 3 (aR且a 0),求函数 f (x)的极 a 2 2 解：由题设知a 0, f (x) 3ax 6x 3ax(x) a 令f (x) 0得 x 0,或x 当a 0时，随x的变化，f 2 a x与fx的

32、变化如下： 0 0 极大 x ,0 + 2 0, a - 2 a 0 极小 2 , a + fx fx f x 极大 f 01 433 2 ，f x 极小 f 2 1 aaa a 当a 0时，随x的变化，f x与 fx的变化如下： x 2 , a - 2 a 0 极小 2 ,0 a + 0 0 极大 0, - fx fx fx 极大 f 01 433 2 ，f x 极小 f 2 1 aaa a 433 2 ，f x 极小 f 2 1； aaaa 总之，当a 0时，f x f 01 极大 当a 0时，f x 极大 f 01 433 2 ，f x 极小 f 2 1 aaa a a 2x 5.（20

33、09 上海闸北区）设f (x) ，其中实常数a 1 x1 2 （）求函数f (x)的定义域和值域； （）试研究函数f (x)的基本性质，并证明你的结论 解：解： （）函数f (x)的定义域为R 1 2x 2a 1 f (x) 1 ， xx1 22 1 当a 1时，因为2 0，所以2 11， xx 0 a 1 a 1，从而1 f (x) a， x2 1 所以函数f (x)的值域为(1,a) （）假设函数f (x)是奇函数，则，对于任意的xR，有f (x) f (x)成立， a 2xa 2x (a 1)(2x1) 0 a 1 即 xx1 21 2 当a 1时，函数f (x)是奇函数当a 1，且a

34、1时，函数f (x)是非奇非偶函数 对于任意的x 1 ,x 2 R，且x 1 x 2 ， (a 1)2x1(2x2x11) f (x 1 ) f (x 2 ) 0当a 1时，函数f (x)是递减函数 x1x2 (1 2 )(1 2 ) 6.（2009 重点九校联考）已知指数函数y y g g( (x x) )满足：g(2)=4， 定义域为R的函数f f ( (x x) ) g g( (x x) ) n n 是奇函数。 2 2g g( (x x) ) m m （1）确定y y g g( (x x) )的解析式； （2）求 m，n 的值； （3）若对任意的tR，不等式f (t 2t) f (2t

35、k) 0恒成立，求实数k的取值范围。 解：解： （1） y y g g( (x x) ) 2 2x x 22 2 2x x n n （2）由（1）知：f f ( (x x) ) x x 1 12 2 m m 因为f (x)是奇函数，所以f (0)=0，即 n n 1 1 0 0 n n 1 1 2 2 m m 1 1 2 2x x f f ( (x x) ) x x 1 1 ， 又由 f（1）= -f（-1）知 2 2 m m 1 1 1 1 2 2 2 2 m m 2 2f f ( (x x) ) 4 4 m mm m 1 1 1 1 12x11 （3）由（2）知f (x) ， x1x222

36、2 1 易知f (x)在(,)上为减函数。 又因f (x)是奇函数，从而不等式： f(t22t) f(2t2k)0等价于f(t22t)f(2t2k) f(k2t2)， 因f (x)为减函数，由上式推得：t22t k2t2 即对一切tR有：3t 2t k 0， 从而判别式 412k 0 k . 32f (x) x ax bx 。7.（20009 日照一模）已知函数 2 1 3 （I）若函数 y f (x) 在 x 2 处有极值-6，求 y f (x) 的单调递减区间； 解： 2f (x) 3x 2axb （I） f (2) 0 f (2) 6 依题意有 5a , 124ab 0, 2 84a2b

37、 6. 解得 b 2 即 2 f (x) 3x 5x2 1 x 2 由 f (x) 0 ，得 3 1 (,2) y f (x) 的单调递减区间是 3 f (1)32ab 2,2ab1 0, f (1)32ab 2,2ab1 0. （）由得 不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示： 2ab1 0, 2ab1 0 2ab1 0,2ab1 0 由得 不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示： 2ab1 0, a 0, 2ab1 0,b 1. 由得 Q 点的坐标为（0，-1） z 设 b , a1 则 z 表示平面区域内的点（ a,b ）与点 P(1,0) 连线斜率。 Q K PQ1,由图可知z 1或z

38、 2， b (,2U 1,) a1 即 8.（2009 枣庄一模）设函数f (x) x ax 2x b(x R,)其中a,b R. 432 （1）当a 10 时,讨论函数f (x)的单调性； 3 （2）若函数f (x)仅有x 0处有极值,求a的取值范围； （3）若对于任意的a2,2,不等式f (x) 1在1,0上恒成立，求b的取值范围。 解： （1）f (x) 4x 3ax 4x x(4x 3ax 4). 322 10 时, f (x) x(4x210 x 4) 2x(2x 1)(x 2). 3 1 令f (x) 0,得x1 0,x2,x3 2. 2 当a 当x变化时, f (x), f (x

39、)的变化情况如下表： x (,0) - 0 0 1 (0, ) 2 + 1 2 0 1 ( ,2) 2 - 2 0 (2,) + 单调递增 f (x) f (x) 单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值 所以f (x)在(0, )和(2,)上是增函数， 在区间(,0)和( ,2)上是减函数 1 2 1 2 22 （2）f (x) x(4x 3ax 4),显然x 0不是方程4x 3ax 4 0的根。 f (x)仅在x 0处有极值。 则方程4x 3ax 4 0有两个相等的实根或无实根， 2 9a2 416 0. 解此不等式，得 88 a , 33 这时，f (0) b是唯一极值。 , 因此满足

40、条件的a的取值范围是 , ，扣 2 分。 注：若未考虑 9a 4 0.进而得到a的范围为 2 8 8 3 3 2 8 8 3 3 （3）由（2）知，当a2,2时,4x 3ax 4 0恒成立。 当x 0时, f (x) 0, f (x)在区间(,0上是减函数， 因此函数f (x)在1,0上的最大值是f (1).12 分 又 对任意的a2,2,不等式f (x) 1在1,0上恒成立。 f (1) 1,即3 a b 1. 于是b a 2在a2,2上恒成立。 b 2 2,即b 4. 因此满足条件的b的取值范围是(,4). 2007200720082008 年联考题年联考题 一、选择题 1.(广东省惠州市

41、 2008 届高三第三次调研考试)若函数f (x) x3 x22x 2的一个正数零 点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： f(1) = 2 f(1.375) = 0.260 f(1.5) = 0.625 f(1.4375) = 0.162 f(1.25) = 0.984 f(1.40625) = 0.054 （）那么方程x3 x22x2 0的一个近似根（精确到 0.1）为 A1.2B1.3C1.4D1.5 答案C 解析f(1.40625)=0.054 0 且都接近 0，由二分法可知其根 近似于 1.4。 2.(四川省成都市新都一中高 2008 级一诊适应性测试)如果二次方程 x -px

42、-q=0(p,qN ) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有（） 2* A 5 个B 6 个C 7 个D 8 个 答案C 3.（2008 年全国百校月考） 用二分法研究函数f (x) x3 3x 1的零点时，第一次经计算 f (0) 0，f (0.5) 0，可得其中一个零点x0 ，第二次应计算. 以上横线上 应填的内容为 A （0，0.5） ，f (0.25)B （0，1） ，f (0.25) C （0.5，1） ，f (0.75)D （0，0.5） ，f (0.125) 答案A 4.(四川省成都市新都一中高2008 级 12 月月考)在股票买卖过程中， 经常用到两种曲线， 一 种是即时价格

43、曲线yf(x)，一种是平均价格曲线yg(x)(如f(2)3 表示开始交易后 第 2 小时的即时价格为 3 元；g(2)4 表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均 价格为 4 元).下面所给出的四个图象中， 实线表示yf(x)，虚线表示yg(x)，其中可 能正确的是 ( ) yyy y x x x ABCD 答案C 解析刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A 错误；开始交易后，平均价格 应该跟随即使价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度， B、D 均错 误. 二、解答题 5.（2007 年岳阳市一中训练）某工厂统计资料显示，产品次品率p 与日产量 n (件)（nN*，

44、且 1n98）的关系表如下： N12 P 34 98 1 x 2 99 1 49 2 97 1 48 又知每生产一件正品盈利a 元，每生产一件次品损失 a 元（a 0）. 2 (1)将该厂日盈利额 T（元）表示为日产量 n (件)的一种函数关系式； (2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？( 3 1.73) 解（1）由题意可知P 额T(n) a(n pn) 2 (1 n 98,nN*)日产量 n 件中，正品（n-pn）件，日盈利 100n a3n pn a(n )(1 n 98,nN*). 2100 n T(n)300300 （2） 3n(a 0) 103(100n)1032 300 68.4 a100n100n 300T(82)T(83) ,即 n=100-10 3 82.7,而nN*，且, 当且仅当 100-n= aa100 n 故n 83时 T 取最大值，即T取最大值. a 6.（ 20082008 年高考数学各