数字信号处理3.ppt

1、第三章 离散傅里叶变换（DFT）,中北大学信息与通信工程学院 信号课程建设组 主讲：陈友兴,使用班级：08050741、08050742、08050141、 08050142、08050941、08050942,第三章 离散傅里叶变换（DFT）,3.0 引言（3） 3.1 离散傅里叶级数（5） 3.2 离散傅里叶变换（18） 3.3 离散傅里叶变换的性质（43） 3.4 频率抽样理论（59） 3.5 DFT的应用（68）,一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、 卷积、相关都可以用DFT在计算机上 实现。,

2、3.0引言,二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。,信号处理,DFT(FFT),傅氏变换,离散量化,返回,3.1 离散傅里叶级数DFS,3.1.1 周期序列的DFS,连续的周期信号的指数傅里叶级数：,类似有，周期序列的指数傅里叶级数（周期为N）：,周期的,N个独立谐波,为 的离散傅里叶级数系数，用DFS表示 和 都是周期为N的序列,正变换,反变换,记,3.1.2 DFS的性质,1、线性,2、序列的移位与调制性质,则有：,如果,移位性质证明：,令i=m+n,则 n=i-m。 n=0 时，i=m; n=N-1时，i=N-1+m,所以,和 都是以N为周

3、期的周期函数。,调制性质证明：,时域乘以虚指数( )的m次幂，频域搬移m,调制特性。,3、周期卷积定理 如果 ，则,m,0 1 2 3,m,计算区,m,两个周期序列的周期卷积过程,m,m,m,计算区,3,1,注：三个序列的周期都为N,频域卷积定理 如果 ，则,3.1.3 周期序列的傅里叶变换,DTFT的周期性,周期序列的DTFT,返回,3.2 离散傅里叶变换DFT,3.2.1 傅里叶变换的几种形式,1、连续时间、连续频率的傅里叶变换（FT）,0,t,0,2、连续时间、离散频率傅里叶变换（FS）,3、离散时间、连续频率的傅里叶变换（DTFT）,-,4、离散时间、离散频率的傅里叶变换（DFS）,1

4、、基本概念 （1）周期延拓 周期序列 是有限长序列 的周期延拓 （2）主值序列 有限长序列 是周期序列 的主值序列 （3）主值区间 从n=0 到（N-1）的第一个周期为主值区间,3.2.2 离散傅里叶变换DFT,如：,N-1,n,x(n),0,0,N-1,2、从DFS到DFT,从上式可知，DFS、IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间 进行。,因此可得到新的定义，即有限长序列的离散傅氏变换(DFT)的定义。,DFS示意,或者：,有限长序列的离散傅氏变换(DFT),3.2.3 序列的圆周移位(循环移位),1、定义 一个有限长序列 的圆周移位定义为 这里包括三层意思：

5、 先将 进行周期延拓 再进行移位 最后取主值序列：,2、圆周位移的含义 由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把 排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于 在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列,3.2.4 序列的几种卷积,1、周期卷积和,2、有限长序列线性卷积,1,0,1,2,n,1,0,1,2,n,3,m,n,2,1,0,3,1,4,5,2,3,3,2,1,3、圆周卷积,(1) 先将两个序列进行N点周期延拓 (2) 然后计算周期卷积和 (3) 取主值序列,公式简化,圆周

6、移位,圆周卷积过程,6,0,n,6,0,n,0,2,3,3,2,1,1,6,n,最后结果：,三种卷积的关系 1、周期卷积和是针对周期序列， 线性卷积和圆周卷积是针对有限长序列的 2、圆周卷积是周期卷积的主值序列 3、当 时，圆周卷积和线性卷积相等 此时周期卷积是线性卷积的周期延拓 N表示圆周卷积的长度或周期卷积的周期,返回,3.3 离散傅里叶变换的性质,（1）两序列都是N点时 如果 则有：,（2） 和 的长度N1和N2不等时， 选择 为变换长度，短者进行补零达到N点。,一、线性,二、圆周移位性质,（1）时域移位 （2）频域移位,三、共轭对称性,1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量 周期为N

7、的周期序列的共轭对称分量与共轭反对 称分量分别定义为,同样，有,2.有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量 有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称 分量分别定义为,由于,所以,这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量。,3. X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性,4.共轭对称特性之一,5.共轭对称特性之二,可知：,也可用IDFT来证明， 类似于特性一,6.共轭对称特性之三,复数序列实部的DFT=该序列DFT的圆周共轭对称分量,7.共轭对称特性之四,复数序列虚部乘以j的DFT= 该序列DFT的圆周共轭反对称分量,六个共轭对称特性,实部 共轭对称分量

8、虚部 共轭反对称分量,8.实、虚序列的对称特性,当x(n)为实序列时,当x(n)为纯虚序列时,特性三,特性四,四、圆周卷积定理,长度为N， 如果 ，则,相当于将 作周期卷积和后， 再取主值序列。,将 周期延拓：,则有：,五、圆周相关定理,线性相关：,圆周相关定理 如果： 则：,相关的应用：用于信号起点的确定,圆周相关：,相关的应用：用于信号起点的确定,缺陷信号,无缺陷信号,直接差分,校正起点后差分,两信号相关,六、帕塞瓦尔定理,能量守恒,返回,3.4 频域抽样理论,时域抽样: 对一个频带有限的信号，根据抽样定理对其进行抽样，所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓，因此，完全可以由抽样信号

9、恢复原信号。 频域抽样: 对一有限序列(时间有限序列)进行DFT所得X(k)就是序列傅氏变换的采样。所以DFT就是频域抽样。,3.4.1 如何从频域抽样恢复原序列,（1）两种抽样,一个绝对可和的非周期序列x(n)的z变换为 由于x(n)绝对可和，故其傅氏变换存在且连续，也即其z变换收敛域包括单位圆。这样，对X(z)在单位圆上N等分抽样，就得到,（2）由频域抽样恢复序列,对 进行反变换，并令其为 ，则,可见，由 得到的周期序列 是非周期序列x(n)的周期延拓。也就是说，频域抽样造成时域周期延拓。,x(n)必须是有限长的； 当x(n)为长度M，只有NM时，才能不失真的恢复信号，即,（3）频域抽样不

10、失真的条件,序列x(n),（0nN-1）的z变换为 由于 ，所以,3.4.1 由X(k)表达 X(z) 及内插公式,（1）由X(k)恢复X(z),上式就是由X(k)恢复X(z)的内插公式，其中,称作内插函数。,将内插函数写成如下式:,零点（抽样点）： 极点： z=0为(N-1)阶极点 本抽样点：与极点相消的零点 内插函数仅在本抽样点处不为零，其他(N-1)个抽样点均为零。,（2）内插函数的特性,返回,3.5 DFT 的应用,（1）圆周卷积：直接利用卷积定理。 （2）线性卷积：当圆周卷积的 时，可以用圆周卷积代替线性卷积。 （3）周期卷积：对周期信号取一个周期进行DFT变换，利用卷积定理可以得到

11、圆周卷积，再进行周期延拓，就是周期卷积。（注：两个信号的周期一样）,3.5.1 求解卷积,3.5.2 用DFT逼近连续非周期信号的FT,时域抽样：频域周期延拓，且延拓周期为时域抽样的频率值，即频域周期 频域抽样：对应时域按频域抽样间隔的倒数进行周期延拓，即,（）时域抽样与截断,（）频域抽样与截断,3.5.3 用DFT逼近连续周期时间信号的FS,截断的长度如果不是周期的整数倍，会造成离散DFT与连续FS的差异,信号的抽样、频谱的截取,时域抽样,频域截取,抽样定理：， 为抽样频率； 为信号的最高频率分量； 频域抽样： 为频域采样间隔，频率分辨率， 为时域周期（记录长度） 抽样点数为N，则时域满足

12、，频域满足 结论：在N给定的条件下，若提高 ，则增加 ，从而频率分辨率下降。反之，若提高频率分辨率，即减小 ，则减小 ，从而减小信号的高频容量。 解决办法：增加N,3.5.4 与DFT应用有关的问题,（1）混叠现象与频率分辨率,在实际应用中，通常将所观测的信号限制在一定的时间间隔内，也就是说，在时域对信号进行截断操作，或称作加时间窗，亦即用时间窗函数乘以信号，由卷积定理可知，时域相乘，频域为卷积，这就造成拖尾现象，称之为频谱泄漏. 泄漏将导致频谱的扩展，从而使最高频率有可能超过折叠频率，造成混叠失真。 解决办法：选择适当的窗函数,（2）频谱泄漏,用DFT计算频谱时，只是知道为频率 的整数倍处的频谱。在两个谱线之间的情况就不知道，这相当通过一个栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应。 补零点加大周期 ，可使 变小来提高辨率，以减少栅栏效应。,（3）栅栏效应,信号的频谱分析,0 40,0 8,0 200,0 80,信号的频谱分析,0 8,0 40,0 200,0 80,详细程序见P149例4.7.3,有一频谱分析用的FFT处理器，其抽