向量的内积、长度及正交性

1、向量的内积、长度及正交性,本章主要讨论方阵的特征值与特征向量、方阵的相似对角化和二次型的化简问题 其中涉及向量的内积、长度及正交等知识 本节先介绍这些知识,上页,下页,铃,结束,返回,首页,向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 x yx1y1x2y2 xnyn x y称为向量x与y的内积,说明,内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数 用矩阵记号表示 当x与y都是列向量时 有 x yxTy,下页,向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 x yx1y1x2y2 xnyn x y称为向量x与y的内积,内积的性质

2、 设x y z为n维向量 为实数 则 (1)x yy x (2)x yx y (3)xy zx zy z (4)当x0时 x x0 当x0时 x x0 (5)x y2x xy y 施瓦茨不等式,下页,向量的长度,向量的长度的性质 设x y为n维向量 为实数 则 (1)非负性 当x0时 |x|0 当x0时 |x|0 (2)齐次性 |x|x| (3)三角不等式 |xy|x|y|,下页,向量间的夹角,当x y0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x与任何向量都正交,定理1 若n维向量a1 a2 ar是一组两两正交的非零向量 则a1 a2 ar线性无关,下页,例1 已知3维向量空间R3中两个向量 a

3、1(1 1 1)T a2(1 2 1)T 正交 试求一个非零向量a3使a1 a2 a3两两正交,解,设a3(x1 x2 x3)T 则a3应满足 a1Ta30 a2Ta30 即a3应满足齐次线性方程组,取a3(1 0 1)T即合所求,得基础解系(1 0 1)T,下页,注,当|x|1时 称x为单位向量,规范正交基 设n维向量e1 e2 er是向量空间V(VRn)的一个基 如果e1 e2 er两两正交 且都是单位向量 则称e1 e2 er是V的一个规范正交基,例如 向量组,是R4的一个规范正交基,下页,规范正交基 设n维向量e1 e2 er是向量空间V(VRn)的一个基 如果e1 e2 er两两正交

4、 且都是单位向量 则称e1 e2 er是V的一个规范正交基,向量在规范正交基中的坐标 若e1 e2 er是V的一个规范正交基 那么V中任一向量a应能由e1 e2 er线性表示 并且 aa e1e1a e2e2 a erer 事实上 设a1e12e2 rer 则,eiTaieiTeii,即ieiTa a ei,下页,说明,要找一组两两正交的单位向量e1 e2 er 使e1 e2 er与a1 a2 ar等价 这样一个问题 称为把a1 a2 ar这个基规范正交化,施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组,下页,施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取

5、向量组,容易验证b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar等价,把b1 b2 br单位化 即得V的一个规范正交基,下页,例2 设a1(1 2 1)T a2(1 3 1)T a3(4 1 0)T 试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化,解,令b1a1,再令,e1 e2 e3即为所求,下页,例3 已知a1(1 1 1)T 求一组非零向量a2 a3 使a1 a2 a3两两正交,a2 a3应满足方程a 1Tx0 即 x1x2x30 它的基础解系为 1(1 0 1)T 2(0 1 1)T 把基础解系正交化 即得所求 亦即取,解,下页,正交阵 如果n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT) 那么称A为正交矩阵 简称正交阵,方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单位向量 且两两正交,n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn的一个规范正交基,正交矩阵举例,下页,正交阵 如果n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT) 那么称A为正交矩阵 简称正交阵,正交矩阵的性质 (1)若A为正交阵 则A1AT也是正交阵 且|A|1 (2)若A和B都是正交阵 则AB也正交阵,