高考理科数学空间向量及其运算复习资料.ppt

1、1,第九章 直线、平面、简单几何体,空间向量及其运算,第 讲,5,2,3,1. 空间向量：在空间，我们把具有_和_ 的量叫做向量，空间向量也用_表示，并且 _ 的有向线段表示同一向量或相等的向量. 2. 空间向量的加法，减法与数乘向量：如下图，我们定义空间向量的加法，减法与数乘向量为： =_， =_, =_(R).,大小,方向,有向线段,方向相同且长度相等,a+b,a,4,3. 空间向量的加法与数乘向量运算满足 如下运算律： (1)加法交换律：_； (2)加法结合律：_； (3)数乘分配律：_.,a+b=b+a,(a+b)+c=a +(b+c),(a+b)=a+b,5,4. 如果表示空间向量的

2、有向线段所在的直线 _,则这些向量叫做共线向量或平行向量,a平行于b,记作ab. 5. 共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数使_.,相互平行或重合,a=b,6,推论:如果直线l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式 ,其中向量a叫做直线l的方向向量. 6. 共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y使p=_. 推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y,使 =_.,xa+yb,7,7. 空间向量基本定理：如果三个向量

3、a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z使p= . 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使 =_. 8. 已知空间两个向量a，b，则a，b的数量积为：ab=_,其中a,b表示向量a,b的_，其范围为_.,xa+yb+zc,|a|b|cosa,b,夹角,0,8,9. 空间向量的数量积有如下性质： (e为单位向量) (1)ae= _; (2)ab_; (3)|a|2=_. 10. 空间向量满足如下运算律： (1)(a)b=_； (2)ab=_; (3)a(b+c)= _.,|a|cosa,e,ab=0,aa,(

4、ab),ba,ab+ac,9,1.设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是( ) A. a+b，b-a，a B. a+b，b-a，b C. a+b，b-a，c D. a+b+c，a+b，c 解：由已知及向量共面定理，易得a+b，b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底,故选C.,C,10,2.在平行六面体ABCD-ABCD中，向量 、 、 是( ) A. 有相同起点的向量 B. 等长的向量 C. 共面向量 D. 不共面向量 解：因为 ， 所以 、 、 、共面.,C,11,3.已知四边形ABCD中， =a-2c， =5a +6b-8c，对角线AC、BD的中点分别为 E、F，则

5、= . 解：因为 ， 又 ，两式相加，得,3a+3b-5c,12,因为E是AC的中点，故 . 同理， . 所以 =6a+6b-10c, 所以 =3a+3b-5c.,13,1. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， 求证： 证明：因为平行六面体的 六个面都是平行四边形， 所以 ， ，,题型1 向量关系的化简与证明,14,所以 点评：向量的化简与证明实际上就是转化为向量的加减运算及其逆运算，利用向量的合并或分解进行转化，以求得结果.,15,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，化简下列表达式： (1) ； (2) . 解：(1)原式= = = (2)原式=,16,2. 在平行六面体A1B

6、1C1D1-ABCD中，M分 所成的比为 ，N分A1D所成的比为2.设 =a， =b，AA1=c，试用a，b，c表示 . 解：如图，连结AN， 则 . 由已知四边形ABCD是平行四边形， 故 =a+b. 又,题型2 向量的基底表示,17,由已知N分 所成的比为2，故 于是， 点评：空间向量的基底一般是取共起点的三个不共面的向量，其他向量都可转化为这三个向量的代数和形式.注意向量的方向性及加减运算.,18,19,20,21,已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB=OC，求证：PMQN. 证法1：因为 所以 所以 故PMQN.,题型3 空间

7、向量的初步应用,22,证法2： 所以PMQN. 点评：空间向量是解决立体几何问题的一种工具.本题就是利用向量的垂直关系来证直线的垂直关系，而证空间向量的垂直，一般先将两向量转化为基向量的形式(基底一般是取题中已知条件中出现过的直线上的向量)，然后计算两向量的数量积.,23,如图，平行六面体AC1中，AE =3EA1，AF=FD，AG= GB，过E、F、G的平面与对角线AC1交于点P， 求APPC1的值. 解：设 因为,24,所以 又因为E、F、G、P四点共面， 所以 所以 ,所以APPC1=316.,25,1. 如左下图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1BD的重心，求证：A、

8、M、C1三点共线. 证明：如右上图,连结A1M并延长交BD于E点.,题型 共线问题的判定与证明,26,因为M为A1BD的重心， 所以E为BD的中点，连结AE. 所以 故向量AM与AC1共线，即A、M、C1三点共线.,27,2. 求证：平行六面体的四条对角线相交 于一点，并且在交点处互相平分. 证明：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中，设O、P、M、N 分别是对角线AC1、 BD1、A1C、B1D的中点，,题型 共点问题的判定与证明,28,则 同理可证， 所以O、P、M、N四点重合. 故四条对角线相交于一点， 且在交点处互相平分.,29,1. 空间向量是平面向量的推广，空间向量的加法、减

9、法和数乘向量运算，与平面向量的运算法则一致. 2. 空间任意两个向量都可用同一平面内的两条有向线段表示，因此，空间两个向量的加法与减法运算，实质上是两个平面向量的加法与减法运算.,30,3. 空间共线向量与平面共线向量的概念是相通的，共线向量定理也完全一致.空间共面向量定理是平面向量基本定理的变通.空间向量基本定理是平面向量基本定理的扩展.这些定理源于平面向量的加法、减法与数乘向量运算，是沟通向量之间内在联系的重要依据.,31,4. 空间直线的向量参数表示式： 是一个以向量形式表示的直线方程，直线l上的点P和实数t之间是一一对应的关系.若取a= ，则向量式 表示P、A、B三点共线. 5. 向量

10、的基底表示是向量运算的一个重点.利用三角形法则和平行四边形法则，将一个向量分解成两个向量的和或差，经过若干次分解，就能得出向量的基底表示.,32,第九章 直线、平面、简单几何体,空间向量的坐标运算,第 讲,6,（第一课时）,33,34,1. 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做_，常用i，j，k来表示. 2. 在空间选定一点O和一个单位正交基底i，j，k，以O为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做_，点O叫做原点，向量i、j、k都叫做_，,单位正交基底,坐标轴,坐标向量,35,通过每两个坐标轴的平面叫做_ ,分 别称为xO

11、y平面、yOz平面、zOx平面. 3. 在空间直角坐标系中，记右手拇指指向_的正方向，食指指向_的正方向，如果中指能指向_的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 4. 在空间直角坐标系O-xyz中,对空间任一向量a,满足a=a1i+a2j+a3k的有序实数组(a1,a2,a3)叫做a的坐标,简记为a=_.,坐标平面,x轴,y轴,z轴,(a1,a2,a3),36,5. 在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一 向量a，满足a=xi+yj+zk的有序实数组(x,y,z) 叫做点A的坐标，记作_,其中x,y,z 分别叫做点A的_. 6. 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则,

12、A(x,y,z),横坐标、纵坐标、竖坐标,37,a+b=_; a-b= ; a=_(R); ab= _; ab (R); ab _.,a1b1+a2b2+a3b3,a1=b1,a2=b2,a3=b3,a1b1+a2b2+a3b3=0,(a1+b1,a2+b2,a3+b3),(a1-b1,a2-b2,a3-b3),(a1,a2,a3),38,7. 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)， 则cosa，b= _. 8. 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则dAB= = _. 9. 如果表示向量a的有向线段所在直线垂 直于平面，即a，那么向量a叫做 平面的_.,法向量

13、,39,1.已知向量a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)， 且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是( ) A. 1 B. C. D. 解：ka+b=k(1，1，0)+(-1，0，2)=(k-1，k，2)， 2a-b=2(1，1，0)-(-1，0，2)=(3，2，-2). 因为两向量垂直， 所以3(k-1)+2k-22=0，解得k=,D,40,2.在空间直角坐标系中， 已知点A(1，0，2)， B(1，-3，1)，点M在y轴上， 且M到A与到B的距离相等， 则M的坐标是_ 解：设M(0,y,0). 由12+y2+4=1+(-3-y)2+1,可得y=-1, 故M(0,-1,0).,(0,-1

14、,0).,41,3. 已知空间三点A(1，1，1)、B(-1，0，4)、C(2，-2，3)，则 与 的夹角的大小是 . 解： =(-2，-1，3)， =(-1，3，-2)， 所以= ， =120.,120.,42,1. 如图，在棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、DB 的中点，G在棱CD上，且CG= CD， H是C1G的中点.以D为原点， DA、DC、DD1所在直线分 别为x轴、y轴、z轴建立空 间直角坐标系， 求向量 和 的坐标.,题型1 求点和向量的坐标,43,解：由已知可得，E(0，0， )，F ( ， ，0)， C1(0，1，1)，G(0， ，0). 因

15、为H是C1G的中点，所以H(0， ， ). 故 点评：涉及空间向量的坐标问题，首先建 立空间直角坐标系，即找到从一点出发的 三条两两互相垂直的直线，以此点为原 点，三条直线分别为三条坐标轴；然后根 据条件写出关键点的坐标；再求得向量 的坐标.,44,如图所示，PD平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，AB=2，E是PB的中点，cos ， = . (1)建立适当的空间直角坐 标系，写出点E的坐标; (2)在平面PAD内求一 点F，使EF平面PCB.,45,解：(1)以点D为原点，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2

16、，0). 设E(1，1，m). 所以 =(-1，1，m) =(0，0，2m). 所以cos ， = 解得m=1. 所以点E的坐标是(1，1，1).,46,(2)因为F平面PAD，所以可设F(x，0，z)， 则 =(x-1，-1，z-1). 因为EF平面PCB， 所以 . 由(x-1，-1，z-1)(2，0，0)=0，解得x=1; 由(x-1，-1，z-1)(0，2，-2)=0，解得z=0. 所以点F的坐标是(1，0，0)， 即点F是AD的中点.,47,2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E分别是A1D1、A1B1、C1D1的中点， 求证：BE平面AMN. 证明：如图建立空间直

17、角坐标系，设正方体 的棱长为4，则 A(4，0，0)，M(2，0，4)， N(4，2，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4).,题型2 平行问题的判定与证明,48,所以 =(2，2，0)， =(-2，0，4)， =(-4，-2，4). 设 =x +y ， 则 解得 所以 =- + ，所以 与 、 共面.所以BE平面AMN.,49,点评：利用坐标向量判断平行(或共面)问题的思路是：先利用平面向量基本定理，即向量a与两向量b、c共面的充要条件：a=xb+yc(x，yR).当向量b，c是坐标形式时，由待定系数法可得三个方程，两个未知数，如果有解，则说明三向量共线.再根据向量对应直线的关系得到平行(

18、或共面).,50,51,52,53,54,55,3. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1D1中，A CB =90，AC=1，CB=2，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线的交点为D， B1C1的中点为M. 求证：CD平面BDM. 证明：如图建立直角坐标系， 则B( ，0，0)，B1( ，1，0)， A1(0，1，1)，D( ， ， )， M( ，1，0).,题型3 垂直问题的判定与证明,56,所以 =( ， ， )， =( ，-1，-1)， =(0， ，- ). 于是有 所以CDA1B，且CDDM. 因为A1B和DM为平面BDM内两条相交直线， 所以CD平面BDM.,57,点评：利用空

19、间向量的坐标运算证空间两直线垂直问题的一般步骤是：先建立空间直角坐标系，然后写出(或求出)关键点的坐标，再计算出直线所对应向量的坐标，最后计算其数量积，并判断是否为零.,58,如图所示，已知在矩形ABCD中， AB=1，BC=a(a0)，PA平面ABCD， 且PA=1. (1)试建立适当的坐标系， 并写出点P、B、D的坐标； (2)问当实数a在什么范围 时，BC边上能存在点Q， 使得PQQD？,59,解：(1)以A为坐标原点，AB、AD、AP 所在直线分别为x、y、z轴建立坐标系， 如图所示. 因为PA=AB=1，BC=a， 所以P(0，0，1)，B(1，0， 0)，D(0，a，0). (2)设点Q(1，x，0)， 则 =(1,x-a,0), =(-1,-x,1)