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1、为迎接香港回归，柯受良1997年6月1日驾车飞跃黄河壶口。东岸跑道长265m，柯受良驾车从跑道东端起动，到达跑道终端时速度为150km/h，他随即以仰角5冲出，飞跃跨度为57m，安全落到西岸木桥上。,第1章 质点运动学,1.1 质点运动的描述,主要内容：,1. 质点 参考系 坐标系,2. 位置矢量与运动方程,3. 位移与路程,4. 速度,5. 加速度,1.1.1 质点 参考系 坐标系,说明：,(1)质点是一个理想模型；,(2)质点的选择是相对的。,参考系：,坐标系：,常用坐标系：,其他坐标系：,质点：在所研究的问题中，可忽略形状和大小的物体, 有质量而无形状和大小。,为描述物体的运动而选取的用

2、作相对位置变化描述的其它物体称为参考系 。,为了对物体的运动作出定量描述而对参考系的一种数学抽象。,柱(面)坐标系(轴对称问题) 球(面)坐标系(球对称问题) 极坐标系(某些平面问题),直角坐标系、自然坐标系。,参考点引向质点所在处的矢量，用符号 表示。,1.1.2 位置矢量与运动方程,1. 位置矢量,在直角坐标系中,位矢的大小：,位矢的方向余弦：,定义：,2. 运动方程,定义:质点的位矢随时间变化的函数关系。,矢量式,分量式,质点被约束在二维平面（如沿 x , y 平面）内运动时,3.轨迹方程,质点被限在一直线（如沿x轴）运动时,从运动方程中消去参数 t 可得到运动轨迹方程。,这是大家熟悉的

3、抛物线方程。,式中 x0 , y0 ,v0 x , v0y , ay 等为常量。,（1）,（2）,例,已知一质点的运动方程为,质点的运动轨迹。,求,解,从式（1）中解出参数t，代入式（2）中得到轨迹方程,1.1.3 位移与路程,1. 位移,在直角坐标系中：,注意: 位矢与坐标的选取有关， 位移与坐标的选取无关。,(描述质点位置变化的物理量),即,当t 0 时,即,2. 路程,定义:,当t 很小时近似相等，即,质点沿运动轨迹所经过的实际路径长度，用 s 表示。,路程与位移的比较:,(1)路程是标量，位移是矢量。,(2)位移的大小一般不等于路程。,1.1.4 速度,1.平均速度,大小：,方向：,的

4、方向。,2.瞬时速度,轨道切线方向。,（描述物体运动快慢及运动方向的物理量）,方向：,速度的大小：,(瞬时速率),瞬时速率等于路程对时间的一阶导数。瞬时速率是恒取正值的标量。,大小：,在直角坐标系中,根据路程和速度的定义,由图可知，位移,路程,速度增量,速度增量的大小,速率的增量,质点作半径为R，速率为v 的匀速率圆周运动。 试写出由A点到B点下列各物理量：位移 、路程s、速度变化 、速度变化的大小 、速率的变化 。,例,求,解,1.1.5 加速度,1. 平均加速度,2. 瞬时加速度,描述质点运动速度变化快慢的物理量,加速度等于速度对时间的一阶导数，位矢对时间的二阶导数。,在直角坐标系下,大小

5、：,2.一维运动情况下 与 的方向在同一直线上。,3.注意,1.曲线运动中，加速度总指向运动轨道凹的一侧。,说明：,方向: t 0 时 的方向。,的矢量性、瞬时性、相对性。,作业,1.1（7）、（8）、（9），1.3，1.5,1.2 质点运动学的基本问题,主要内容：,1. 运动学第一类问题,2. 运动学第二类问题,1. 第一类问题,已知质点的运动方程，求质点在任意时刻的位矢，速度和加速度。,只要知道运动方程，就可以确定质点在任意时刻的位置、 速度和加速度。,从运动方程中消去时间参数t，还可得质点运动的轨迹方程。,微分法,已知一质点的运动方程为：,式中a, b均为正常数。,本题属于运动学第一类问

6、题:,例,证,证明质点的加速度恒指向椭圆中心。,求,加速度矢量 与位矢 方向相反，说明加速度恒指向椭圆中心。,在离水面高为h 的岸边，有人用绳子拉小船靠岸，人以不变的速率u 收绳。,例,求,当船在离岸距离为x时的速度和加速度。,任意时刻船的位矢,解,设船靠岸的速度为,任意时刻小船到岸边的距离x 都满足,按题意 是人收绳的速率，因为绳长r 随时间在缩短，故,则有,（船速方向沿x 轴负向）,船靠岸的速率为,船的加速度为,即,(船的加速度方向沿x 轴负向),设v为人影头部的移动速度,两边求导,路灯距地面高度h，身高为l 的人以速度v0 在路上匀速行走。,例,求,人影头部的移动速度。,解,由几何关系,

7、2. 第二类问题,已知质点运动的速度或加速度，并附以初始条件（即t=0时，质点的位置 和速度 ），求质点的运动方程。,积分法,注意：矢量积分在具体运算时要化为标量积分。,已知质点作匀变速直线运动，加速度为a，a=常量，且初始条件t=0 时，v =v0 ，x = x0,例,解,一维运动中，矢量表示可省去单位矢量，方向用正负号表示,两边积分,由此得,求,质点的运动方程。,又由定义,以上三式为匀变速直线运动的基本公式,得,（运动方程）,由,得,一质点作直线运动，已知其加速度,初始条件为 x0=0, v0=0,例,(1) 求质点在任意时刻的速度,解,分离变量,两边积分,质点在任意时刻的速度,t =1s

8、 时的速度,由,(2)由质点的速度求运动方程,分离变量,两边积分,质点的运动方程,（m）,(3) 质点在前三秒内经历的路程,令 v =2t-t 2 =0 ，得 t =2,一质点沿x轴作直线运动，已知其加速度,初始条件为x0 = 0, v0 = 0。,例,求,质点的速度。,解,v，t，x 均为变量，作恒等变换,分离变量,两边积分,质点速度,舍去负速度,解,选向下为x轴正向,（1）,分离变量并两边积分,一石子从空中由静止下落。已知 ，,例,石子的速度和运动方程。,求,（2）由 求运动方程,讨论：石子下落速度随时间增长按指数规律变化，t 时, vg/B(常量)，达到最大速度，称为收尾速度或终极速度。

9、,式中g为重力加速度，B为常量。,要注意描述质点运动的几个物理量的矢量表示方法，分清| |与r，| |与v。, 解题思路,1.运动学的第一类问题，用微分法。,用求导数的方法求出速度和加速度。,根据已知条件在选定的坐标系中写出运动方程。,2.运动学的第二类问题，用积分法。,已知,及初始条件用积分的方法求出速度和运动方程。,或,或, 运动学第二类问题解法总结,初始条件：,1.匀变速直线运动 a常量,2.加速度是时间函数,3.加速度是坐标函数,4.加速度是速度函数,欲求速度与时间关系,欲求速度与距离关系,1.3 抛体运动,主要内容：,1. 无阻力抛体运动,2. 阻力与速度(低速)成正比的抛体运动,任

10、意时刻速度分量为,积分可得运动方程,1. 无阻力抛体运动,从地面上某点向空中抛出一物体，它在空中的运动称为抛体运动。抛体运动是一种平面曲线运动。以抛出点为原点，取水平方向为x轴，竖直方向y轴。,消去t 得轨迹方程,由y=0有,得射高,由y =0得射程,讨论：,抛射初速度大小v0一定的情况下，抛射角 = 45o 时，射程最大， = 90o 时，射高最大。,该矢量形式还可以写成,使用矢量形式分析,抛体在任意时刻的速度,抛体运动可以看作沿初速度方向的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动的叠加,-归结为直线运动的叠加。,抛体在任意时刻的运动方程,2. 阻力与速度(低速)成正比的抛体运动,阻力与速度(

11、低速)成正比的抛体运动也可以分解为两个直线运动。,小球从距地面高h处以速度v0沿水平方向抛出，因阻力原因，小球除具重力加速度外，还具有一与速度方向相反的加速度a =-kv，v为小球的速度，k为常量，,以小球为研究对象。初始条件为t =0时, x =0,0 x=v0,0y =0,根据加速度公式有,解,例,求,小球的运动方程,分离变量，并积分,将式（1）、（2）再积分，可得,式（3）、（4）就是以时间t为参量的小球运动方程。, 解题思路,3. 抛体运动的运动方程、速度、加速度是相应各直线运动的叠加。,抛体运动可看成是两个或三个相互垂直的直线运动的叠加。,处理抛体问题的步骤：,1. 写出沿不同方向的

12、直线运动方程。,2. 求出沿不同方向的速度、加速度分量等。,1.4 自然坐标及自然坐标中的速度、加速度,主要内容：,1. 自然坐标,2. 匀速率圆周运动中的加速度,3. 变速率圆周运动中的加速度,4. 圆周运动的角量描述,5. 一般曲线运动中的加速度,6. 自然坐标中的运动学问题,在已知的运动轨迹上任选一点O为原点，从O点起沿轨迹的某一方向量得曲线长度s(取正值),此方向为自然坐标正向。,自然坐标中质点的运动方程,1.4.1 自然坐标,质点作曲线运动且轨迹已知时，用自然坐标描述。,:切向单位矢量, 指向自然坐标正向。,:法向单位矢量, 指向轨迹曲线凹侧。,自然坐标中的速度：,自然坐标中 ， 不

13、是恒矢量,其方向随质点在轨迹上的位置而变化。,1.4.2 匀速率圆周运动中的加速度,的大小,质点作半径为R速率为v的匀速圆周运动,由几何关系,的方向,质点在A点处的加速度方向垂直于A点的速度方向，沿半径指向圆心，称为法向加速度，以an表示。,当t0时， 0, a /2，即,1.4.3 变速圆周运动中的加速度,反映速度方向变化。,反映速度大小变化。,反映出质点速度方向的变化，称为法向加速度。,法向加速度的方向始终指向曲线凹侧。,反映出质点速度大小的变化，称为切向加速度。,切向加速度的方向，趋向于A点速度的方向或与A点速度的方向相反。,an的大小恒为正，其值为：,at 的大小为:,大小,方向, 为

14、加速度与速度之间的夹角,切向加速度引起速度大小的变化 法向加速度引起速度方向的变化,自然坐标中，变速圆周运动的加速度, 讨论,1.4.4 一般曲线运动的加速度,“以圆代曲”,为曲率半径,思考题,如果质点的切向加速度和法向加速度为下列各种情况，质点作何种运动？,1. ， ；,2. ， ；,3. ， ；,4. ， 。,1.4.5 圆周运动的角量描述,角位置 ,方向:,s,角位移 ,沿顺时针转动， 为负。,角量表示的运动方程,角速度,角加速度,沿逆时针转动， 为正；,用角量表示匀变速圆周运动的基本方程,角量和线量的关系：,1.4.6 自然坐标中的运动学问题,第一类问题：,已知质点运动方程 s=s(t

15、) ，求质点在任意时刻的速度和加速度。 用求导法。,第二类问题：,已知质点运动的速率v或切向加速度at ，求曲线运动的运动方程s=s(t) 。用积分法。,自然坐标中运动学的两类问题：,质点的圆周运动可用线量描述也可用角量描述。,如图所示，炮弹的出口速率为v0，发射角为，不计阻力。,例,(1) 任一时刻t的切向加速度at 及法向加速度an ；,(2) 轨迹最高点的曲率半径 。,炮弹作抛体运动，设炮弹在平面Oxy上运动,解,(1) 为恒矢量,任一时t刻炮弹速度在Ox, Oy轴上的分量,求,任一时刻t的切向加速度,法向加速度,(2)轨迹最高点的曲率,由于顶点处速率 最小，且法向加速度 最大(为什么?

16、),按 可知，在顶点处 达到最小值。同理可推知，在抛出点和落地点 为最大值。,讨论,求,汽车在t=1s时的加速度,汽车在半径为200 m的水平圆弧形弯道上行驶，发现路障后司机刹车。若将开始刹车的时刻作为记时起点，则刹车阶段汽车的运动方程为 。,例,本题为自然坐标中第一类问题。,解,切向加速度,法向加速度,总加速度,当t1s时,t1s时，加速度的大小,加速度 与速度 的夹角为,质点沿半径为R的圆周按 运动，式中s为自然坐标中的路程，v0、b为常量。,例,求,(1) 质点的加速度； (2) 质点的角速度、角加速度； (3) 法向加速度和切向加速度数值相等前，质点运动的时间。,解,(1) 本题是自然

17、坐标的第一类问题。,先求出速率,(2) 根据线量和角量关系，写出用角量描述的运动方程,(3) 由 可得,解出,一质点作半径为R的圆周运动，其速度随时间变化的规律为 ，式中v0、b均为正的常量。t=0时，质点位于自然坐标的原点。,例,求,(1) 自然坐标中质点的运动方程； (2) 当加速度的大小为b时，质点沿圆周运动了几圈？,(1) 本题为自然坐标中的第二类问题，根据速度的定义,解,分离变量,两边积分,(2)根据加速度的定义,由,解得,这时质点运行的圈数为,1.5 相对运动,主要内容：,1. 基本参考系与运动参考系,2. 伽利略坐标变换,3. 伽利略速度变换,1.5.1 基本参考系与运动参考系,

18、两个作相对运动的参考系，选其中一个作为基本参考系，用S系表示；把另一参考系称为运动参考系，用S系表示。,物体相对于S 系的运动 绝对运动； 物体相对于S系的运动 相对运动； S系相对于S 系的运动 牵连运动。,S,1.5.2 经典力学中的平动坐标系变换,质点P 在两个相互作平动运动的坐标系中位矢之间的关系,绝对速度,牵连速度,相对速度,质点P 在相互作平动运动的坐标系中速度之间的关系,伽利略速度变换公式(经典力学速度变换公式),该公式在物体运动速度很高，接近于光速时不成立。,伽利略位置矢量变换公式,对速度变换作时间的一阶求导，可得加速度变换关系,绝对加速度,牵连加速度,相对加速度,伽利略加速度

19、变换公式,说明：伽利略变换公式只适应于经典物理范围。,例,用枪瞄准攀伏在树上的猴子，随着枪响，受惊的猴子开始向下掉落, 设空气阻力可以忽略不计。,求,试证明不论子弹的初速度v0多大，都会击中自由下落的猴子.,证,取地面为基本参考系，猴子为运动参考系。子弹为运动物体，则子弹的速度为:,常矢量,子弹相对于猴子作匀速直线运动,只要初始被瞄准，不论子弹的初速度v0为多大，自由下落的猴子都会被击中。,另一种解法：,设子弹初速度为v0，发射角为，猴子的初始坐标为（x0，y0）,瞄准时,要击中猴子，必须在某一时 刻 t, 子弹和猴子的坐标一样。,子弹在t 时刻的位置为,猴子在t 时刻的位置为,子弹击中猴子：

20、同一时刻，子弹和猴子到达同一位置。,当x1=x2，即,得,将 代入y1和y2的表达式得,即,可见，在 这一时刻，x1=x2，y1=y2，即子弹和猴子到达同一位置，所以不论初速度v0为多大，只要开始瞄得准，总可击中下落的猴子。,飞机上的罗盘指出飞机航向正东（即飞机相对气流方向为正东），航速表的读数为215 km/h，此时风向正北，风速为65 km/h。,例,(1) 飞机相对地面的速度； (2) 若飞行员想朝相对地面方向正东飞行，他应取什么航向？,基本参考系:地面;运动参考系:气流;运动物体:飞机。,解,(1) 已知飞机相对气流的速度v =215km/h，方向正东。气流相对地面的速度即风速u=65

21、km/h，方向正北。,由速度变换关系可知，飞机相对地面的速度为：,(东),(北),求,其大小为,方向角,(2) 飞机相对气流的速度大小不变,v=215km/h,飞机相对地面的绝对速度v方向向东,风速的大小和方向不变,u=65km/h，方向正北。,由速度变换关系知：,即,的方向如图所示.,由图可知，飞行员应取的航向为正东偏南，其值为,(1)以大圆环为参考系，直角坐标系,半径为R的大圆环上套一个小环M，直杆AB穿入小环，并绕在大环上的A轴以规律=t（ 为常数）逆时针转动。 （1）试以大环为参考系，分别用直角坐标系和自然坐标系求小环的运动学方程、速度和加速度。 （2）试以杆AB为参考系，求小环的运动学方程、速度和加速度。,例,求,解,O,s,r,M,（2）以杆AB为参考系，做一维直线坐标系，以A为原点， 小环位置以r表示。,自然坐标系,本章小结,1. 描述质点运动的物理量,(1) 位矢：从坐标原点引