直线和抛物线.ppt

1、直线和抛物线,分析:直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：一种是直线平行于抛物线的对称轴； 另一种是直线与抛物线相切,判断直线与抛物线位置关系的操作程序,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的 对称轴平行,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,分析: 直线与抛物线有两个公共点时0,分析: 直线与抛物线没有公共点时0,注:在方程中,二次项系数含有k,所以要对k进行讨论 作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情形,观察直线绕点P转动的情形,变式一:已知抛物线方程y2=4x,当b为何值时,直线l:y=x+b与抛物线(1)只有一个公共点(2)两个公共点(

2、3)没有公共点.当直线与抛物线有公共点时,b的最大值是多少?,分析:本题与例1类型相似,方法一样,通过联立方程组求得. (1)b=1 (2)b1,当直线与抛物线有公共点时,b的最大值当直线与抛物线相切时取得.其值为1,变式二:已知实数x、y满足方程y2=4x,求函数 的最值,变式三:点(x,y)在抛物线y2=4x上运动,求函数z=x-y的最值.,本题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时斜率的最值问题.,本题转化为直线y=x-z与抛物线有公共点时z的最值问题.,无最大值,知 识 迁 移,例2.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求

3、证:直线DB平行于抛物线的对称轴.,x,O,y,F,A,B,D,例3 设A、B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB. (1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积； (2)求证：直线AB过定点； (3)求弦AB中点P的轨迹方程； (4)求AOB面积的最小值,AB过定点(2p,0)，设M(2p,0) 当x1x2时，AB仍然过定点(2p,0),中点P的轨迹方程为y2px-2p2.(p0) (4)SAOBSAOMSBOM |OM|(|y1|y2|)p(|y1|y2|) 2p 4p2， 当且仅当|y1|y2|2p时，等号成立， 故AOB面积的最小值为4p2.,练习：,练习：等腰直角三角形AOB

4、内接于抛物线y2=2px(P0),O为抛物线的顶点,OAOB,则AOB的面积为 A. 8p2B. 4p2C. 2p2D. p2,变式：已知直线l：x=2p与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点，求证：OAOB.,证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p) 所以 =1， =-1 因此OAOB,推广1 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点，求证：OAOB.,证明：设l 的方程为y=k(x-2p) 或x=2p,直线l过定点(2p,0),推广2： 若直线l与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点，且OAOB ，则_,验证：由 得 所以直线l的方程为 即 而因为OAOB ，可知 推出 ，代入 得到直线l 的方程为 所以直线过定点（2p,0).,高考链接：过定点Q（2p,0)的直线与y2 = 2px（p0）交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H(H为圆心），试证明抛物线顶点在圆H上。,小结