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文档简介

1、2.2 行列式的性质与计算,一. 行列式的性质,二. 行列式的计算,三. 方阵乘积的行列式,返回,2.2 行列式的性质与计算,一. 行列式的性质,性质1 行列式按任一行展开，其值相等，即,例2 计算,解,同理,推论 若行列式的某一行全为零，则行列式等于零.,性质2 n阶行列式某两行对应元全相等，则行列式为零. 即当 aik = ajk ， ij, k=1, n时，det A = 0.,证 （归纳法）结论对二阶行列式显然.,由于Mij(l=1,n)是n-1阶行列式，且其中都有两行元全相等，所以,设结论对n-1阶行列式成立，对于n阶：按第k(i, j)行展开,性质3,证,例3,观察 ：与矩阵加法的

2、区别 ？,性质4（行列式的初等变换）若把行初等变换施于n阶矩阵A上：,(1) 将A的某一行乘以数k得到A1，则 detA1 = k(detA)； (2) 将A的某一行的k(0)倍加到另一行得到A2 ,则 detA2 = detA； (3) 交换A的两行得到A3, 则 detA3 = - detA.,证,(1)按乘以数k的那一行展开，即得结论成立。,（2）,（3）,i行,j行,推论 若行列式某两行对应元成比例，则行列式的值为零.,2. 初等矩阵的行列式：,应 用：,3. 初等矩阵与任一方阵A乘积的行列式：,例4,一般 ，,性质5 设A为n阶矩阵，则,证,即存在初等矩阵,设,又A不可逆 AT不可逆

3、,所以 det AT = 0,当A不可逆时：,存在初等矩阵,当A可逆时：,由性质5，,例5. 奇数阶反对称阵的行列式必为零.,证 设Ann (n为奇数)满足：,例6,解,行列式性质小结：,二、三类初等变换 ：,1.换行反号 ,2.倍乘 ,3.倍加 .,三、三种为零 ：,1.有一行全为零 ,3.有两行成比例 .,2.有两行相同 ,四、一种分解 .,五、,一、按行展开 ：,二. 行列式的计算,例7. 设,，求 detA.,解.,例8. 计算,解.,例9. 计算,解.,例10. 证明范德蒙行列式(n2),证.,n = 2:,设对于n-1阶结论成立，对于n阶：,n-1阶范德蒙行列式,例11,例12.

4、计算,解.,加边法,(考虑：至少有三种解法？),(再考虑例9？),三.方阵乘积的行列式,1.可逆矩阵与行列式；,2.矩阵乘积的行列式.,定理1. 方阵A可逆的充要条件为det A0.,设,即存在初等矩阵,若A不可逆，,则R的最后一行的元全为零，,则R=I，,解决：,证.,定理2. 设A, B为n阶方阵，则,证.,即存在初等矩阵,若A可逆，则R=I,若A不可逆，则R的最后一行全为零, RB的最后一行全为零.,推论1 设Ai (i=1, , t)为n阶矩阵，则,推论2 设A, B为n阶矩阵，且AB=I (或BA=I), 则B=A -1.,证,A可逆,A -1 AB= A -1 I= A -1,B= A -1,应用：det(A

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