经济数学微积分二阶常系数线性微分方程.ppt

1、二、线性微分方程解的结构,三、二阶常系数齐次线性方程解法,五、小结思考题,第五节二阶常系数线性微分方程,四、二阶常系数非齐次线性方程解法,一、定义,一、定义,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,二、线性微分方程的解的结构,1.二阶齐次方程解的结构,问题:,例如,观察有,2.二阶非齐次线性方程的解的结构,解的叠加原理,都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数,所求通解为,例1,三、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上述方程, 得,故有,特征方程,特征根,1)有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,2) 有两个相等的

2、实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,3)有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例3,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,四、二阶常系数非齐次线性微分方程,设非齐次方程特解为,代入原方程,整理得,1. 型,综上讨论,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程的通解为,例5,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程

3、的通解为,例6,特别地,解,对应齐次方程通解,代入原方程求得,原方程通解为,例7,解,对应齐次方程通解,代入原方程求得,例8,原方程通解为,五、小结,1.线性方程解的结构；,2.二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,( 待定系数法求特解 ),思考题,1.求微分方程 的通解.,2.写出微分方程,的待定特解的形式.,3.写出微分方程,的待定特解的形式.,思考题解答,令,则,特征根,通解,思考题解答,2.设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,思考题解答,则所求特解为,特征根,设 的

4、特解为,3.原方程可化为,设 的特解为,练 习 题,练习题答案,也可以引入虚变量，建立一个统一的模型（Gujarati方法）,分段,n0未知，但,一般可以选择不同的n0 ，进行试估计，然后从多次试估计中选择最优者。选择的标准是使得两段方程的残差平方和之和最小。,n0未知，且,将n0看作待估参数，用最大或然法进行估计。,（2）n0未知,*二、随机变参数模型, 参数在一常数附近随机变化,将原模型转换为具有异方差性的模型，而且已经推导出随机误差项的方差与解释变量之间的函数关系。,可以采用经典线性计量经济学模型中介绍的估计方法，例如加权最小二乘法等方法很方便地估计参数。 一种普遍的形式是1968年提出

5、的的变参数 Hildreth-Houck模型 。, 参数随某一变量作规律性变化，同时受随机因素影响,将原模型转换为具有异方差性的多元线性模型。,可以采用经典线性计量经济学模型中介绍的估计方法，例如加权最小二乘法等方法很方便地估计参数。, 自适应回归模型,由影响常数项的变量具有一阶自相关性所引起。 是实际经济活动中常见的现象。 采用广义最小二乘法（GLS）估计模型参数 。,8.2简单的非线性单方程计量经济学模型,一、非线性单方程计量经济学模型概述 二、非线性普通最小二乘法 三、例题及讨论,说明,非线性计量经济学模型在计量经济学模型中占据重要的位置 ；已经形成内容广泛的体系，包括变量非线性模型、参

6、数非线性模型、随机误差项违背基本假设的非线性问题等；,非线性模型理论与方法已经形成了一个与线性模型相对应的体系，包括从最小二乘原理出发的一整套方法和从最大或然原理出发的一整套方法。 本节仅涉及最基础的、具有广泛应用价值的非线性单方程模型的最小二乘估计。,一、非线性单方程计量经济学模型概述, 解释变量非线性问题,现实经济现象中变量之间往往呈现非线性关系 需求量与价格之间的关系 成本与产量的关系 税收与税率的关系 基尼系数与经济发展水平的关系 通过变量置换就可以化为线性模型, 可以化为线性的包含参数非线性的问题,函数变换,级数展开,不可以化为线性的包含参数非线性的问题,与上页的方程比较，哪种形式更

7、合理？ 直接作为非线性模型更合理。,二、非线性普通最小二乘法, 普通最小二乘原理,如何求解非线性方程？, 高斯牛顿(Gauss-Newton)迭代法,高斯牛顿迭代法的原理 对原始模型展开台劳级数，取一阶近似值,构造并估计线性伪模型,构造线性模型,估计得到参数的第1次迭代值,迭代,高斯牛顿迭代法的步骤, 牛顿拉夫森(Newton-Raphson)迭代法,自学，掌握以下2个要点 牛顿拉夫森迭代法的原理 对残差平方和展开台劳级数，取二阶近似值； 对残差平方和的近似值求极值； 迭代。,与高斯牛顿迭代法的区别 直接对残差平方和展开台劳级数，而不是对其中的原模型展开； 取二阶近似值，而不是取一阶近似值。,

8、应用中的一个困难,如何保证迭代所逼近的是总体极小值（即最小值）而不是局部极小值？ 需要选择不同的初值，进行多次迭代求解。,非线性普通最小二乘法在软件中的实现,给定初值 写出模型 估计模型 改变初值 反复估计,三、例题与讨论,例8.2.1 农民收入影响因素分析模型,分析与建模：经过反复模拟，剔除从直观上看可能对农民收入产生影响但实际上并不显著的变量后，得到如下结论：改革开放以来，影响我国农民收入总量水平的主要因素是从事非农产业的农村劳动者人数、农副产品收购价格和农业生产的发展规模。,用I表示农民纯收入总量水平、Q表示农业生产的发展规模、P表示农副产品收购价格、L表示从事非农产业的农村劳动者人数。

9、收入采用当年价格；农业生产的发展规模以按可比价格计算的、包括种植业、林业、牧业、副业和渔业的农业总产值指数为样本数据；农副产品收购价格以价格指数为样本数据。,农民收入及相关变量数据,线性化模型估计结果,非线性模型估计结果（1978-1997）,非线性模型估计结果（1980-1997）,拟合结果（PIFIS-线性、PIFNIS-非线性）,结构分析,LNPI = -4.722 + 0.511*LNPQ + 0.786*LNPP + 0.855*LNNPL + AR(1)=0.825,AR(2)=-0.663 PI=0.00158*PQ1.786*PP0.271*NPL0.370 结构参数（弹性）差异很大 从经济意义方面分析，哪个更合理？,8.3 二元离散选择模型 Binary Discrete Choice Model,一、二元离散选择模型的经济背景 二、二元离散选择模型 三、二元Probit离散选择模型及其参数估计 *四、二元Logit离散选择模型及其参数估计 五、一个实例,说明,在经典计量经济学模型中，被解释变量通常被假定为连续变量。 离散被解释变量数据计量经济学模型（Models with Discrete Dependent Variables）和离散选择模型(DCM, Discrete Choice Model)。 二元选择模型(Binary Choice Model)