概率论与数理统计答案 第四版 第1章(浙大)

1、1、 写出下列随机试验的样本空间s：（1） 记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2） 生产产品直到有10件正品为之，记录生产产品的总件数。（3） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查结果。（4） 在单位圆内任取一点，记录它的坐标。(1)解：设该班学生数为n，总成绩的可取值为0,1,2,3，100n，(2)解：s=10、11、12所以试验的样本空间为s=i/n| i=1、2、3100n(3)解：设1为正品0为次品s=00，100，1100，010，1111，1110，1011，

2、1101，0111，0110，0101，1010 (4)解：取直角坐标系，则s=（x，y）|x2+y21取极坐标系，则s=（，）|1,00，证明p（ab|a）p（ab|ab）（2）若p（a|b）=1，证明p（b|a）=1（3）若设c也是事件，且有p（a|c）p（b|c），p（a|c）p（b|c），证明p（a）p（b）解：（1） p（ab|a）=p（aab)p（a）=p（ab)p（a） p（ab|ab）=p（abab）p（ab）=p(ab）p（ab） 因为 p(a)pab笔误?右边是并吧所以 p（ab)p（a）p(ab）p（ab）因此 证明 p（ab|a）p（ab|ab）（2）p（b|a）=p（

3、ba)p（a）=1-p（ab）1-p（a）=1-pa-pb+p(ab)1-p（a）因为 p（a|b）=p（ab)p（b）所以 p(ab)=p(b)所以 p（b|a）=1-pa-pb+p(ab)1-p（a）=1-pa1-p（a）=1（3）p（a）=p(ac)+ p(ac)= p（a|c）p(c)+ p（a|c）p（c） p（b）= p(bc)+ p(bc)= p（b|c）p(c)+ p（b|c）p（c）所以 p(a)-p(b)=p(c)( p（a|c）- p（b|c）)+ p（c）(p（a|c）- p（b|c）)已知 p（a|c）p（b|c） p（a|c）p（b|c）所以 p(a)-p(b) 0

4、所以 p（a）p（b）28有两种花籽，发芽率分别为0.8和0.9，从中各取一个，设各花籽是否发芽相互独立 （1）这两颗花籽都能发芽的概率 （2）至少有一颗能发芽的概率 （3）恰有一颗能发芽的概率解：设事件a为a花籽发芽，事件b为b花籽发芽（1） p（ab）=p(a)p(b)=0.72（2） p（ab）=p(a)+p(b)-p(ab)=0.98（3） p(abab)= p（ab）- p（ab）=0.2629、根据报道美国人血型的分布近似地胃：a型为37，o型为44，b型为13，ab型为6。夫妻拥有的血型是相互独立的。（1）b型的人只有输入b、o两种血型才安全。若妻为b型，夫为何种血型未知，求夫是

5、妻的安全输血者的概率。（2）随机地取一对夫妇，求妻为b型夫为a型的概率。（3）随机地取一对夫妇，求其中一人为a型，另一人为b型的概率。（4）随机地取一对夫妇，求其中至少有一人是o型的概率。解：设一个人的血型为a,b,0，ab分别为事件a,b,o,ab.(1) 设夫是妻的安全输血者为事件c,则p（c）=p（b）+ p（o）=13%+44%=0.57(2) 设妻为b型夫为a型为事件d,则p（d）=p（b）p（a）=13%37%=0.0481（4） 设随机地取一对夫妇，其中一人为a型，另一人为b型为事件x，则事件x包括妻为b型夫为a型和妻为a型夫为b型,p（x）=p(a) p(b)+ p(a) p(

6、b)=0.0962(4)法一：设随机地取一对夫妇，其中至少有一人是o型为事件y，一个人的血型不是o为事件 ,则事件y可表示为两人恰有一人为o型和两人都是o型，p(y)=p(o) p()+p(o) p()+p(0) p(o)=0.6864法二：设随机地取一对夫妇，其中至少有一人是o型为事件y，则事件y的对立事件为两人都不是o型血（事件）,则p(y)=1-p()=1- p()p()=0.686430、（1）给出事件a、b的例子，使得（i）p（a b）p（a），（ii）p（a b）=p（a） （iii）p（a b）p（a）（2）设事件a、b、c相互独立，证明：（i）c与ab相互独立 （ii）c与ab

7、相互独立。（3）设事件a的概率p（a）=0，证明对于任意另一事件b，有a、b相互独立。（4）证明事件a、b相互独立的充要条件是p（a b）=p（a b）答：（1）（i）当事件b发生会是事件a发生的概率减小时，p（a b）p（a） 比如a是骑自行车上学的学生，b是男生，全集是所有学生（ii）当事件b发生对a没有影响，即a、b互为独立事件时，p（a b）=p（a）比如事件a是扔骰子得到一点，事件b是明天下雨。（iii）当事件b发生会是事件a发生的概率增加时，p（a b）p（a） 比如事件a是课余时间我去健身，事件b是课余时间室友们健身，显然他们很有可能对我的决定产生影响。（2）（i）a、b、c相互

8、独立 p（abc）=p（a）p（b）p（c）=p（ab）p（c） 即p（ab）c）=p（ab）p（c） c与ab相互独立 （ii）p（ab）=p（a）+p（b）-p（ab） p（ab）p（c）=p（a）p（c）+p(b)p(c)-p(ab)p(c)=p(ab)c) c与ab相互独立（3）因aba,故若p（a）=0，则0p（ab）p(a)从而 p(ab)=0=p(b)0=p(b)p(a)按定义，a,b相互独立。（4）必要性.设a,b相互独立，则a, 也相互独立，从而只p（a|b）=p(a), p(a|)=p(a).故p（a|b）= p(a|).充分性.设p（a|b）= p(a|)，按定义此式即表

9、示 =由比例的性质得=31.设事件a，b的概率均大于零，说明以下叙述（1）必然对，（2）必然错，（3）可能对。并说明理由。（1）若a与b互不相容，则它们相互独立。（2）若a与b相互独立，则它们互不相容。（3）p(a)=p(b)=0.6，且a,b互不相容。（4）p(a)=p(b)=0.6，且a,b相互独立。解：（1）、（2）必然错原因：若a，b相互独立，则p(ab)=p(a)p(b)0 若a，b互不相容，则ab=,即p(ab)=0 所以（1）、（2）必须错（3）必然错原因：p(aub)=p(a)+p(b)-p(ab)1 p(a)=p(b=0.6) 笔误 即p(ab)0.20 则a，b不可能互不相

10、容（4）可能对原因：当p（ab）=p(a)p(b)=0.36时，a，b相互独立，否则a，b不相互独立。32.有一种检验艾滋病毒的检验法，其结果有概率0.005报道为假阳性（即不带艾滋病毒者，经此法检验有0.005的概率被认为带艾滋病毒），今有140名不带艾滋病毒的正常人全都接受此种检验，被报道至少有一人带艾滋病毒的概率为多少？解：设事件a表示被报道至少有一人带艾滋病毒p(a)=k=1140p140(k)=1-p140(0)=1-c14000.00500.995140=0.504333、 盒中有编号为1,2,3,4的4只球，随机地自盒中取一只球，事件a 为“取得的是1号球或2号球”，事件b为“取

11、得的是1号或3号球”，事件c为“取得的是1号或4号球”验证：p(ab)=p(a)p(b)，p(ac)=p(a)p(c)，p(bc)=p(b)p(c)，但p(abc)p(a)p(b)p(c)，即事件a，b，c两两独立，但a，b，c不是相互独立的。解、由题意知，事件ab，ac，bc，abc均为“取得的是1号球”则p(ab)=p(ac)=p(bc)=p(abc)=，且p(a)=p(b)=p(c)=所以p(ab)=p(a)p(b)=，p(ac)=p(a)p(c)=，p(bc)=p(b)p(c)=,但p(abc)=p(a)p(b)p(c)=。故可证明事件a，b，c两两独立，但a，b，c不是相互独立的。3

12、4、 试分别求以下两个系统的可靠性：（1） 设有四个独立工作的元件1，2，3，4，它们的可靠性分别为p1,p2,p3,p4,将它们按题34图（1）的方式连接（称为并串联系统）（2） 设有5个独立工作的元件1,2,3,4,5，它们的可靠性均为p,将它们按题34图（2）的方式连接（称为桥式系统）。123412345解：（1）设系统工作为事件b，元件1,2,3,4工作分别为事件a1，a2，a3，a4，则 p（b）=p（a1）p（a2a3a4） =p1p(a2a3)+p(a4)-p(a2a3a4) =p1p2p3+p1p4-p1p2p3p4(2)设系统工作为事件b,元件1,2,3,4,5工作分别为事件

13、a1，a2，a3，a4，a5则 法一p(b)=p3p(a1a4)p(a2a5)+(1-p3)p(a1a2a4a5) =p（p+p-p*p）(p+p-p*p)+(1-p)(p*p+p*p-p*p*p*p) =法二p(b)=p(a1a2a1a3a5a4a5a4a3a2) =p(a1a2)+p(a1a3a5)+p(a4a5)+p(a4a3a2)-p(a1a2a1a3a5) -p(a1a2a4a5)-p(a1a2a4a3a2)-p(a1a3a5a4a5)-p(a1a3a5a4a3a2) -p(a4a5a4a3a2)+p(a1a2a1a3a5a4a5)+p(a1a2a1a3a5a4a3a2) +p(a1

14、a2a4a5a4a3a2)+p(a1a3a5a4a5a4a3a2) -p(a1a2a1a3a5a4a5a4a3a2) = 35、如果一危险情况c发生时，一电路闭合并发出警报，我么可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性. 在c发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出. 如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况c发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的.解：法一设ai表示事件“第i只开关闭合”，则ai表示事件“第i只开关断开”

15、，in*.根据题意， ai(in*)之间彼此独立且p(ai)=0.96. 另设bi表示事件“有i个开关并联时遇到情况c电路闭合”， in*.（1）当有两只开关并联时,系统可靠性为 p (b2)=p (a1a2)=1-p (a1a2)=1-p (a1a2)=1-p (a1)p(a2)=1-(1-0.96) (1-0.96)=0.9984当有两个开关并联连接时，系统可靠性为0.9984. （2）当有n只开关并联时，系统可靠性为 p (bn)=p (a1a2an)=1-p (a1a2an)=1-p (a1) p (a2) p (an)=1-(1-0.96)n=1-0.04n 所以要使p (bn)达到

16、0.9999，即p (bn)0.9999，则 1-0.04n0.9999 即0.04n0.0001 即nlg0.04lg0.0001 即nlg0.0001lg0.04=4lg25=2.861 因为n只能为整数，所以n至少为3，即如果需要有一个可靠性为0.9999的系统，则至少需要用3只开关并联.法二1) 解：设两个开关分别为a和b.电路的可靠性即开关至少一个闭合，又因为a与b相互独立，故p(a+b)=p(a)+p(b)-p(ab)= p(a)+p(b)-p(a)*p(b)=0.96+0.96-0.96*0.96=0.99842) 解：为使系统可靠性达到0.9999，设需要n个开关，第i个开关用

17、xi 表示，n个开关相互独立，同理，p(x1+x2+x3+.+xi+xn)=i=1npxi-1ijnp(xixj)+-1n-1p(x1x2xn)则令n=3时，p(x1+x2+x3)=p(x1)+p(x2)+p(x3)-p(x1x2)-p(x1x3)-p(x2x3)+p(x1x2x3) = p(x1)+p(x2)+p(x3)-p(x1x2)-p(x1x3)-p(x2x3)+p(x1)p(x2)p(x3)=0.96*3-0.96*0.96*3+0.963 =0.9999360.9999 因此当n=3时，已可以使系统达到要求的可靠性。故至少需要用3个这样开关。36、三人独立地破译一份密码，已知个人能

18、译出的概率分别为1/5,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解： 设ai表示事件“第i个人译出密码”，i=1,2,3. ai之间相互独立。 则事件“至少一人能将此密码译出”即a1a2a3. p (a1a2a3) =1-p (a1a2a3) =1-p (a1a2a3) =1-p (a1) p (a2) p (a3) =1-(1- 15) (1- 13) (1- 14)=35.所以三人中至少有一人能将此密码译出的概率是3/5。37. 设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别在两只盒子中各取一只球。（1）求至少

19、有一只蓝球的概率（2）求有一只蓝球一只白球的概率（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率解：（1）设“至少有一只蓝球”为事件a，则其对立事件a为“两只盒子都未抽到蓝球”因为在两只盒子中取球相互独立，所以p（a）= 4779 = 49 则所求概率p（a）= 1 - p（a）= 1 - 49 = 59（2）设“有一只蓝球一只白球”为事件b，“第一只盒子取到蓝球，第二只盒子取到白球”为事件c，“第一只盒子取到白球，第二只盒子取到蓝球”为事件d则p（c）= 3749 =421 p（d）= 2729=463由于事件c、d互斥，则所求概率p（b）= p（c）+ p（d）= 421+463=16

20、63（3）由（1）（2）所设及题意知所求概率为p（b|a）=p（ab）p（a）=p（b）p（a）= 1663 / 59=163538. 袋中装有m枚正品硬币、n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一枚，将它投掷r次，已知每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率为多少？解：设“一枚硬币投掷r次每次都得到国徽”为事件a，“这枚硬币是正品”为事件b由于每次投掷硬币相互独立，则 p（a|b）=（12）r p（a|b）=1 p（b）=mm+n p（b）= 1- p（b）= nm+n 由题意知所求概率为p（b|a） 根据贝叶斯公式 p（b|a）= pabpa=pabpbpabpb+pabpb

21、= （12）rmm+n （12）r mm+n +1 nm+n = mn2r+m t39. 设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏2%（这一事件记为a1）,损坏10%（事件a2）,损坏90%（事件a3）,且知p(a1)=0.8，p(a2)=0.15，p(a3)=0.05.现在从已被运输的物品中随机地取3件，发现这3件都是好的（这一事件记为b）.试求p(a1|b), p(a2|b) ,p(a3|b) (这里设物品件数很多，取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率)。解：p(b|a1)=(1-2%)3=0.941192p(b|a2)=(1-10%)3=0.729p(b

22、|a3)=(1-90%)3=0.001p(a1b)=p(b|a1)*p(a1)=0.941192*0.8=0.7529536p(a2b)=p(b|a2)* p(a2)= 0.729*0.15=0.10935p(a3b)=p(b|a3)* p(a3)= 0.001*0.05=0.00005因为a1、a2、a3是s的一个划分，由全概率公式得：p(b) = p(b|a1)*p(a1)+p(b|a2)*p(a2)+p(b|a3)*p(a3)= 0.941192*0.8+0.729*0.15+ 0.001*0.05=0.8623536再由贝叶斯公式得：p(a1|b)=p(a1b)p(b)=p(b|a1)*p(a1)p(b|a1)*p(a1)+p(b|a2)*p(a2)+p(b|a3)*p(a3)