异面直线所成角的计算.ppt

1、异面直线所成角的计算,a,b,b,O,一.复习定义，奠定基础,注意：异面直线所成角的范围是,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点 O ,分别引直线aa , b b。我们把直线a和b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.,（0， ,a,预备知识,角的知识,正弦定理a=2RsinA a=2RsinA,S,ABC,=,bc sinA,余弦定理,A,B,C,b,c,a,cosA=,求角的步骤：,1. 确定角,2. 求角,求异面直线所成角的步骤有哪些？,想一想,一，判断,1不存在与两条异面直线都平行的直线 （ ） 2与两条异面直线分别平行的两条直线仍然是异面直线 （ ） 3与两条异面直线分别

2、都垂直的两条直线仍然是异面直线（ ） 4若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c是异面直线（ ）,二，填空,直线a直线b，直线ca，则b、c的位置关系是 2垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是 3如果两条异面直线所成的角是，那么的取值范围是,三，解答题,1在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1C1和A1D所成的角,A,D,C,B,F,E,例1、在三棱锥A-BCD中AD=BC=2a，E，F分别是AB，CD的中点EF= ，求AD和BC所成的角,M,EMF=120,AD和BC所成的角为60,切记:别忘了角的范围!,例2、如图，四棱锥P-ABCD中，底面是正方形，中心为O，且底面边长和侧棱

3、相等，M是PC中点，求MO与AB所成的角。,例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。,取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，,如图，连B1D1与A1C1 交于O1，,于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）,O1,M,解：,为什么？,由余弦定理得,A1C1与BD1所成角的余弦值为,方法归纳：,平移法,连A1M，在A1O1M中,即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。,解法二：,方法归纳：,补形法,把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体

4、等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。,在A1C1E中，,由余弦定理得,A1C1与BD1所成角的余弦值为,如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面,连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，,BC1的方体B1F ，,(二)、数学思想、方法、步骤总结：,解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。,2.方法：,3.步骤：,求异面直线所成的角：,作（找）, 证, 求,1.数学思想：,正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OD1与A1C1所成的角的度数为,练习1,

5、900,在正四面体S-ABC中，SABC, E, F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）,C,D,(A)300 (B)450 (C)600 (D)900,练习2,B,G,练习2（解法二）,练习2 （解法三）,练习3：如图，P为ABC所在平面外一点，PCAB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。 （1）求证：EF与PC为异面直线； （2）求EF与PC所成的角； （3）求线段EF的长。,假设EF与PC不是异面直线, 则EF与PC共面由题意可知 其平面为PBC,这与已知P为ABC所在平面外一点矛盾,练习3：如图，P为ABC所在平面外一点，PCAB，PC=A

6、B=2，E、F分别为PA和BC的中点。 （1）求证：EF与PC为异面直线； （2）求EF与PC所成的角； （3）求线段EF的长。,为EF与PC所成的角或其补角,EF与PC所成的角为,练习3：如图，P为ABC所在平面外一点，PCAB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。 （1）求证：EF与PC为异面直线； （2）求EF与PC所成的角； （3）求线段EF的长。,拓展题、如图，a、b为异面直线，直线a上的线段AB=6cm，直线b上的线段CD=10cm， E、F分别为AD、BC的中点，且EF=7cm，求异面直线a与b所成的角的度数,A,B,C,D,E,F,定角一般方法有：,（1）平移法（常用方法）,小结：,1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，体现了化归的数学思想。,2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：,（1） 当 cos 0 时，所成角为 ,（2） 当 cos 0 时，所成角为 ,（3） 当 cos = 0 时，所成角为,3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识解决。,90o,（2）补形法,化归的一般步骤是：,定角,求角,说明：异面直线所成角的范围是（0， ，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常