理论力学5—摩擦

1、5.1 5.2 摩擦角和自锁现象 5.3 考虑摩擦的平衡问题 5.4 滚动摩擦,第五章 摩 擦,摩擦的类别：,当两个相互接触的物体具有相对滑动或相对滑动趋势时，彼此间产生的阻碍相对滑动或相对滑动趋势的力，称为滑动摩擦力。摩擦力作用于相互接触处，其方向与相对滑动的趋势或相对滑动的方向相反，它的大小根据主动力作用的不同，可以分为三种情况，即静滑动摩擦力，最大静滑动摩擦力和动滑动摩擦力。 若仅有滑动趋势而没有滑动时产生的摩擦力称为静滑动摩擦力；若存在相对滑动时产生的摩擦力称为动滑动摩擦力。,5.1 滑动摩擦,在粗糙的水平面上放置一重为p的物体，该物体在重力p和法向反力fn的作用下处于静止状态。今在该

2、物体上作用一大小可变化的水平拉力f，当拉力f由零值逐渐增加但不很大时，物体仍保持静止。可见支承面对物体除法向约束反力fn外，还有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向力，此力即静滑动摩擦力，简称静摩擦力，常以fs表示，方向向左，如图。,5.1.1 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力,fn,p,fn,p,fs,f,静摩擦力的大小随水平力f的增大而增大，这是静摩擦力和一般约束反力共同的性质。静摩擦力又与一般约束反力不同，它并不随力f的增大而无限度地增大。当力f的大小达到一定数值时，物块处于将要滑动、但尚未开始滑动的临界状态。这时，只要力f再增大一点，物块即开始滑动。当物块处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到

3、最大值，即为最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力，以fmax表示。此后，如果f再继续增大，但静摩擦力不能再随之增大，物体将失去平衡而滑动。这就是静摩擦力的特点；,5.1.1 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力,fn,p,fs,f,综上所述可知，静摩擦力的大小随主动力的情况而改变，但介于零与最大值之间，即,由实验证明：最大静滑动摩擦力的大小与两物体间的法向反力的大小成正比，即：,这就是静滑动摩擦定律。式中fs称为静滑动摩擦系数。,静摩擦定律（库仑摩擦定律）,静摩擦系数的大小需由实验测定。它与接触物体的材料和表面情况(如粗糙度、温度和湿度等)有关，而与接触面积的大小无关。,5.1.2 动滑动摩擦定律,当

4、滑动摩擦力已达到最大值时，若主动力f再继续加大，接触面之间将出现相对滑动。此时，接触物体之间仍作用有阻碍相对滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，以fd表示。实验表明：动摩擦力的大小与接触体间的正压力成正比，即,式中f是动摩擦系数，它与接触物体的材料和表面情况有关。 动摩擦力与静摩擦力不同，没有变化范围。一般情况下，动摩擦系数小于静摩擦系数，即 f fs。,5.1.2 动滑动摩擦定律,实际上动摩擦系数还与接触物体间相对滑动的速度大小有关。对于不同材料的物体，动摩擦系数随相对滑动的速度变化规律也不同。多数情况下，动摩擦系数随相对滑动速度的增大而稍减小，但当相对滑动速度不大时，动摩擦

5、系数可近似地认为是个常数。,5.2.1 摩擦角,当有摩擦时，支承面对平衡物体的反力包含法向反力fn和切向摩擦力fs ,这两个力的合力称为支承面的全约束反力，即fr= fn + fs ，它与支承面间的夹角j将随主动力的变化而变化，当物体处于临界平衡状态时，j角达到一最大值jf。全约束力与法线间的夹角的最大值j f称为摩擦角。,5.2 摩擦角和自锁现象,fn,fs,fr,j,fn,fmax,fr,j,jf,由图可知，角jf与静滑动摩擦系数f的关系为：,5.2.1 摩擦角,即：摩擦角的正切等于静摩擦系数。可见，摩擦角与摩擦系数一样，都是表示材料的表面性质的量。,当物块的滑动趋势方向改变时，全约束反力

6、作用线的方位也随之改变；在临界状态下，fr的作用线将画出一个以接触点a为顶点的锥面，称为摩擦锥。设物块与支承面间沿任何方向的摩擦系数都相同，即摩擦角都相等，则摩擦锥将是一个顶角为2jf的圆锥。,5.2.2 自锁现象,物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，可在零与最大值fmax之间变化，所以全约束反力与法线间的夹角j也在零与摩擦角jf之间变化，即,由于静摩擦力不可能超过最大值，因此全约束反力的作用线也不可能超出摩擦角以外，即全约束反力必在摩擦角之内。,fn,fmax,fr,j,jf,q,jf,jf,jf,fr,fra,a,j,(1)如果作用于物块的全部主动力的合力fr的作用线在摩擦角jf之内，则

7、无论这个力怎样大，物块必保持静止。这种现象称为自锁现象。因为在这种情况下，主动力的合力fr与法线间的夹角q jf，因此， fr和全约束反力fra必能满足二力平衡条件，且q = j jf 。,5.2.2 自锁现象,5.2.2 自锁现象,(2) 如果全部主动力的合力fr的作用线在摩擦角j之外，则无论这个力怎样小，物块一定会滑动。因为在这种情况下，q j f，而j j f ，支承面的全约束反力fra和主动力的合力fr不能满足二力平衡条件。应用这个道理，可以设法避免发生自锁现象。,斜面的自锁条件是斜面的倾角小于或等于摩擦角。 斜面的自锁条件就是螺纹的自锁条件。因为螺纹可以看成为绕在一圆柱体上的斜面，螺

8、纹升角a就是斜面的倾角。螺母相当于斜面上的滑块a，加于螺母的轴向载荷p，相当物块a的重力，要使螺纹自锁，必须使螺纹的升角a小于或等于摩擦角jf。因此螺纹的自锁条件是,5.2.2 自锁现象,5.3 考虑摩擦的平衡问题,考虑摩擦时，求解物体平衡问题的步骤与前几章所述大致相同，但有如下的几个特点：(1)分析物体受力时，必须考虑接触面间切向的摩擦力fs，通常增加了未知量的数目；(2)为确定这些新增加的未知量，还需列出补充方程，即fs fsfn，补充方程的数目与摩擦力的数目相同；(3)由于物体平衡时摩擦力有一定的范围(即0fsfsfn)，所以有摩擦时平衡问题的解亦有一定的范围，而不是一个确定的值。 工程

9、中有不少问题只需要分析平衡的临界状态，这时静摩擦力等于其最大值，补充方程只取等号。有时为了计算方便，也先在临界状态下计算，求得结果后再分析、讨论其解的平衡范围。,p129思考题5-7: 分析后轮驱动的汽车前、后轮摩擦力的方向。,f1,n1,f2,n2,a,a,解1：（解析法）,以物块为研究对象，当物块处于向下滑动的临界平衡状态时，受力如图，建立如图坐标。,例1 将重为p的物块放在斜面上，斜面倾角 大于接触面的摩擦角 （如图），已知静摩擦系数为 f ，若加一水平力 使物块平衡，求力 的范围。,联立求解得：,当物块处于向上滑动的临界平衡状态时，受力如图，建立如图坐标。,联立求解得：,故力 应满足的

10、条件为：,解2：（几何法）,当物体处于向下滑动的临界平衡状态时，受力如图，可得力三角形如图。由力三角形可得：,当物体处于向上滑动的临界平衡状态时，受力如图，可得力三角形如图。由力三角形可得：,故力 应满足的条件为：,将上式展开亦可得同上结果。,例2 梯子ab长为2a，重为p，其一端置于水平面上，另一端靠在铅垂墙上，如图。设梯子与地和墙的静摩擦系数均为 ，问梯子与水平线的夹角 多大时，梯子能处于平衡？,解1：（解析法）以梯子为研究对象，当梯子处于向下滑动的临界平衡状态时，受力如图，此时 角取最小值 。建立如图坐标。,（1）,（2）,（3）,将式（4）、（5）代入（1）、（2）得：,即可解出：,故

11、 应满足的条件是：,此条件即为梯子的自锁条件。,将 代入（2）求出 ，将 和 代入（3），得：,将 代入上式，解出：,解2：（几何法）,当梯子处于向下滑动的临界平衡状态时，受力如图，显然 ，于是,故 应满足的条件是：,例3 在用铰链 o 固定的木板 ao和 bo间放一重 w的匀质圆柱, 并用大小等于p的两个水平力p1与 p2维持平衡,如图所示。设圆柱与木板间的摩擦系数为 f , 不计铰链中的摩擦力以及木板的重量,求平衡时p的范围。,( 分析：p小，下滑； p大，上滑),设圆柱处于下滑临界状态,画受力图.,由对称性得:,n1 = n2 = n,f1 = f2 = f,fy = 0,联立(1)和(

12、2)式得:,取oa板为研究对象画受力图，此时的水平力有极小值pmin,(2)求p的极大值,当p达到极大值时,圆柱处于上滑临界状态.只要改变受力图中摩擦力的指向和改变 f 前的符号即可.,mo(fi) = 0,用摩擦角表示得:,当角等于或大于时,无论p多大,圆柱不会向上滑 动而产生自锁现象.,例重w的方块放在水平面上，并有一水平力p作用。设方块底面的长度为b, p与底面的距离为a，接触面间的摩擦系数为f ，问当p逐渐增大时，方块先行滑动还是先行翻倒？,w,p,a,b,w,p,a,c,a,fn,fmax,解： 1 假定方块处于滑动临界平衡状态,fy = 0,n - w = 0,fx = 0,p -

13、 fm = 0,即 p = fm=f n = f w,fmax= f fn,2 假定方块处于翻倒临界平衡状态,画受力图。,n,f,a,ma(fi) = 0,3 讨论:比较 wb/2a 与 f w 可知,(1)如果 f w wb/2a ,即 f b/2a , 则方块先翻倒。 （wb/2a为将要翻倒时所需p力） （w为将要滑动时所需p力. ）,(2)如果 f w wb/2a ,即 f b/2a , 则方块先滑动.,(3)如果 f w = wb/2a ,即 f = b/2a , 则滑动与翻倒将同时发生.,例5 均质三角板oab的重量为w1，均质圆轮c的重量为w2，圆轮的外半径为r，内半径为r，且r2

14、r，d、e处静摩擦系数都为f，若水平拉力q作用于h处， ,试求系统能保持平衡q的最大值（不计滚动摩阻）。,解 该题若先判断出d、e两处接触面滑动趋势，再画出这两个接触处摩擦力的方向，存在一定困难，但若应用平衡方程作定性受力分析，则可正确确定两接触处摩擦力方向。,可确定d、e处摩擦力方向均自右向左，圆轮的受力图如图:,本题的解题步骤为 1以圆轮为研究对象，由,2以三角块为研究对象，其受力图为图（c）,3假设d处先达到临界状态，则在临界状态下,求得：,，所以无法确定d、e 处哪处先滑动。,4假设e处先达到临界状态，则在临界状态下,求得：,5系统能保持平衡的最大为,这说明，对系统中多处存在摩擦的平衡

15、问题，当系统的 平衡状态破坏时，各处摩擦力一般不会同时达到最大值。 此题平衡状态破坏时圆盘处于滚动状态。,5-4 滚动摩擦,(1) 滚阻力偶和滚阻力偶矩,设一半径为r的滚子静止地放在水平面上，滚子重为p。在滚子的中心作用一较小的水平力q。,取滚子为研究对象画受力图。,fx = 0 q - f = 0,fy = 0 n - p = 0,ma(fi) = 0 m - qr = 0,m = q r,n,f,m,(2) 产生滚阻力偶的原因,n,f,r,滚子与支承面实际上 不是刚体,在压力作用下 它们都会发生微小变形。,设反作用力的合力为r并作用于b点, 滚子在力p , q与r作用下处于平衡状态。,将力

16、 r 沿水平与竖直两个方向分解, 则水平分力即为摩擦力f，竖直分力即为法向反力n。,由于物体变形力n向前偏移一微小距离e。,将力f与n向a点简化，得到作用于a点的力 n与f，另外还得到一附加力偶.其力偶矩为m = n e 。即阻止滚子滚动的滚阻力偶。,(3) 滚动摩擦定律,ma(fi) = 0 m - qr = 0,0 m mmax,mmax = n,滚阻力偶矩的最大值与法向反力成正比。,例6. 在搬运重物时下面常垫以滚木，如图所示。设重物重w,滚木重w ，半径为 r，滚木与重物间的滚阻系数为，与地面间的滚阻系数为。求即将拉动时水平力p的大小。,解:1 取整体为研究对象画受力图。,fx= 0,fy= 0,p - f1 - f2 = 0 (1),- w - 2w + n1