概率论基础ch1.5.ppt

1、2020/7/23,数科院,Ch1.5-1,Ch1：事件与概率,5 概率空间,一、走向概率的公理化结构,二、事件域,三、概率的公理化定义,四、可列可加性与连续性,五、概率空间,2020/7/23,数科院,Ch1.5-2,事件,1、概率论缺乏严格的理论基础,直到20世纪初，概率论的一些基本概念还缺乏明确的定义。,一、走向概率的公理化结构,事件是“某些样本点的集合”，那么任意样本点的集合都是事件吗，或者说样本空间的子集都是事件吗？,2020/7/23,数科院,Ch1.5-3,概率,统计定义、古典定义、几何定义,各有适用范围，各有局限性,各种定义下的性质也略有不同,2020/7/23,数科院,Ch1

2、.5-4,测度论的发展： 事件的运算与集合的运算完全相似 概率和测度有相同性质 19世纪末，数学各分支的公理化潮流,2、概率论公理化时机的逐渐成熟,1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.,2020/7/23,数科院,Ch1.5-5,概率的公理化定义，即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.,柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单， 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.,2020/7/23,数科院,Ch1.5-6,样本点：随机试验的可能结果，用表示； 可以看成是抽象的点,二、事件域,样本空间：试验的所有可能结果组成的集合，即 样本点的全体，记作 ,事件： 样本空间的一

3、个子集，常用大写字母A、 B、C 等表示；事件A发生当且仅当A所包含 的样本点中在实验中出现,2020/7/23,数科院,Ch1.5-7,说明：,一般不把样本空间的一切子集都作为事件,必须把问题中感兴趣的事件都纳入研究之中,事件域： 事件的全体，记为F ：样本空间的一些子集构成的集类 ：是样本空间上的一个-域,2020/7/23,数科院,Ch1.5-8,2020/7/23,数科院,Ch1.5-9,定义： 若F 为样本空间的一些子集构成的一个-域，则称它为事件域， F 中的元素称为事件，W称为必然事件， 称为不可能事件。,事件域可以选得很简单，也可以选得十分复杂， 需要根据不同要求选择适当的事件

4、域。,2020/7/23,数科院,Ch1.5-10,一维博雷尔域 B 包括一切开区间，闭区间，单个实数，可列个实数，以及由它们的可列并、可列交、补运算得出的集合。,类似可定义n维博雷尔域,2020/7/23,数科院,Ch1.5-11,三、概率的公理化定义,在公理化结构中，概率是针对事件定义的，即对应于事件域F中的每一个元素A有一个实数P(A)与之对应。,集合函数：从集合到实数的映射。,概率是定义在事件域F 上的集合函数。,在公理化结构中，只规定概率应满足的性质，而不具体给出它的计算公式或计算方法。,2020/7/23,数科院,Ch1.5-12,定义在事件域F上的一个集函数P称为概率，如 果它满

5、足如下三个条件： （1）非负性：P(A) （2）规范性：P(W)=1; （3）可列可加性：,1. 概率的定义,2020/7/23,数科院,Ch1.5-13,证明,由概率的可列可加性得,2. 概率的性质,2020/7/23,数科院,Ch1.5-14,证明,由概率的可列可加性得,2020/7/23,数科院,Ch1.5-15,证明,2020/7/23,数科院,Ch1.5-16,证明,证明,2020/7/23,数科院,Ch1.5-17,证明,由图可得,又由性质 3 得,因此得,2020/7/23,数科院,Ch1.5-18,推论,1、布尔不等式,2、Bonferroni不等式,2020/7/23,数科院

6、,Ch1.5-19,加法公式的推广：三个事件和的情况,n 个事件和的情况,2020/7/23,数科院,Ch1.5-20,解,2020/7/23,数科院,Ch1.5-21,2020/7/23,数科院,Ch1.5-22,例2 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答出甲 乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题 都能答出的概率为0.1. 求小王,解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”,(1),(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率,(2),(3),2020/7/23,数科院,Ch1.5-23,例3 设A , B满足

7、P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？,解,最小值在 时取得, 最小值, 最大值,最大值在 时取得,2020/7/23,数科院,Ch1.5-24,例4 某区域有N 部卡车，车牌号从1到N，有一外地人到该区域去，把遇到的n部卡车的车牌号抄下来（可能重复），以Ak表示 “抄到的最大号码正好为k（1kN）”，求Ak的概率。,解：记Ak=记到的最大号码为k, Bk=记到的最大号 码不超过k,则Ak= Bk- Bk-1。,2020/7/23,数科院,Ch1.5-25,例5（匹配问题） 某人写好n封信，又写好n只信封，

8、然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，试求至少有一封信放对的概率。,解：记Ai=第i封信与信封符合，则所求事件为,2020/7/23,数科院,Ch1.5-26,可列可加性,有限可加性,？,？,四、可列可加性与连续性,2020/7/23,数科院,Ch1.5-27,所以只需要下面条件成立,=,2020/7/23,数科院,Ch1.5-28,下连续性,可列可加性,有限可加性,下连续的定义,因此我们有：,？,2020/7/23,数科院,Ch1.5-29,若P 是F上满足P(W)=1的非负集合函数，则它具有可列可加性的充要条件是 (i) 它是有限可加的 (ii)它是下连续的,证明：充分性：由前面的推导可得

9、必要性: (i)有限可加性很容易证明 (ii)证下连续性,即证明对任意F中的 一个单调不减的集序列Sn，都有,定理,2020/7/23,数科院,Ch1.5-30,(定义S0=f),分析：要证,2020/7/23,数科院,Ch1.5-31,系1 概率是下连续的,系2 概率是上连续的,2020/7/23,数科院,Ch1.5-32,分析：,2020/7/23,数科院,Ch1.5-33,柯尔莫哥洛夫的概率公理化结构,样本空间,事件域F,概率测度P,全空间（全集）,s域,测度(集函数),具体讨论问题时，假定（W ,F, P）是事先给定的,如何给出（W, F, P）需要根据具体情况而定,五、概率空间,20

10、20/7/23,数科院,Ch1.5-34,例6 （有限概率空间）,W: n个样本点（有限个样本点） F: W中所有子集的全体（有限个集合，2n） 这样，每个样本点wi 本身是事件 P：只要对样本点wi给定P(wi),满足,则由概率的可加性可知,2020/7/23,数科院,Ch1.5-35,总结：,（1）选定了（W, F）之后，概率的给定还有相当大的灵活性。（例如抛硬币）,（2）一旦P(wi)给定后，事件A的概率就不能 任意给定,2020/7/23,数科院,Ch1.5-36,例8 离散概率空间,W: 可列个样本点w1，w2, F: W中所有子集的全体。这样，每个样本点 wi本身是事件 P：选可列个非负数Pi, i=1,2,满足 作为样本点wi的概率。 这时，事件A的概率就取A所包含的样本点概率之和。,2020/7/23,数科院,Ch1.5-37,例9 （Borel s代数）,W=R1：即样本空间由全体实数构成 F: 直线上Borel点集全体 P：对左闭右开区间定义概率,W：R1的一部分 F: 直线上Borel点集I W全体 P：对左闭右开区间I W定义概率,2020/7/23,数科院,Ch1.5-38,例10 （n维Borel代数）,W=Rn F: n维欧几里德空间中Borel点集全体Bn P