信息光学总复习1.ppt

1、主讲人：梁春雷,信息光学总复习,光学中几种常用函数,1 矩形函数 定义：一维 应用：单缝透过率、门函数、时间脉冲波形.,标准型：,第一章 傅立叶分析,2 sinc函数 定义： 应用：单缝或矩形孔的夫琅和费衍射的振幅分布,注意归一化和非归一化的两种表达方法。,强度分布为sinc函数平方,3 阶跃函数 定义：,应用：光学直边或刀口的透过率,标准型：,4 符号函数 定义： 应用：* 与某函数相乘，可使该函数在某点的正负发生反转。 相位突变。,标准型：,5 三角函数 定义： 应用：矩形光瞳的非相干成像系统光学传递函数。,注意：函数形状非真三角形。,标准型：,6 高斯函数 定义：,标准型：,特点： 1）

2、函数分布在整个区域连续、可导。 2）光滑、中心强边缘弱。 3）其傅里叶变换还是高斯函数。,应用：,1）是激光的常见模式：基膜高斯分布。,2）光信息处理中的“切趾术”，实质：软边光栏。,7 圆域函数 定义： 应用：描述圆孔的透过率、二维的门函数.,8 函数 定义：,物理意义：描述脉冲状态这样一类物理量，函数表示某种极限状态，可用于描述高度集中的物理量，如：点电荷、点光源、瞬间光电脉冲等，又称脉冲函数。,焦点处光能描述,点电荷处电场描述,1） 筛选特性： 对任一连续函数 (x), 有：, 函数的性质：,物理意义：所有的有限函数都可以分解成 函数的线性组合,很有现实意义。,应用：信息处理中函数取点。

3、,2 可分离变量特性：,直角坐标系里，有,3 坐标缩放： 推论：,4 乘积特性 从物理上去怎么理解呢？,推论：,当xx0, 由于 (xx0)=0, 所以等式成立。 当x=x0, (x)= (x0), 等式显然成立。,5 积分形式：,物理意义： 函数可以由等振幅的不同频率正弦或余弦波合成，或者说 函数可以分解成等振幅的不同频率正弦或余弦波。（傅里叶级数）,9 梳状函数（comb function）定义：,* 各个梳之间等间距； * 每个梳具有 函数性质。,二维：,梳状函数与普通函数的乘积：,应用：重复取样、描述时间上重复出现的光电脉冲、空间上等间距排列的点或线光源。,实现重复取样！,1.2 卷积

4、,1 定义： 设f(x)和h(x)是两个复函数，其卷积定义为：,卷积运算的意义：一个函数绕函数轴反转并沿自变量轴做某一平移后与另一函数的重叠面积。,2.卷积的应用,1）卷积运算在线性系统、光学成像理论和傅立叶变换中经常用到。,x0,y0,xi,yi,透镜1,线光源,获得线光源的远场衍射图案,狭缝,2）光学系统具有卷积功能。,透镜2,f,f,f,f,卷积是关于x的函数，而只是中间的积分变量。,卷积的几何意义：置换变量翻转平移相乘积分,相乘和积分,1) 展宽效应：卷积的效果往往是使原函数变胖 （光斑变大，脉冲变宽）,卷积后信号的非零区域大概为原来两个信号的非零区域之和。,卷积的两个效应：,2)平滑

5、效应：使原来剧烈变化的函数变缓。例如快变函数f (x)与宽度为a的矩形函数卷积,原函数f(x)在某点x的值卷积后用某一段(x-a/2, x+a/2)的积分值来表示, 等价于这段区间的平均值。,参与卷积的任一函数在x方向上平移x0，其卷积的形状不变，只是也在x方向上平移x0 。,卷积的位移不变性,卷积的运算性质,卷积的坐标缩放性质：,两个卷积函数的自变量放大a，其卷积结果等价于卷积值的压缩1/|a|。卷积函数的形状和位置均不变。,复函数卷积：利用卷积的交换律、分配律将实部和虚部分开进行。,注意：绝对值符号。,与 函数的卷积,任一函数与函数卷积运算的结果只是将该函数在坐标上平移x0, y0，函数值

6、分布不变，曲线形状不变。,两个复函数f(x,y)和h(x,y)的互相关定义为：,相关的定义及其运算性质,相关运算的四个步骤：第一函数取共轭两函数变量变换第二函数平移相乘积分。,1.3 相关,意义：与卷积相类似，相关与傅立叶变换密切相关，在光信息处理、光学图像特征识别以及图象转换甚至光学测量等方面都有重要应用；,不满足交换律,与卷积的联系：,但有：,互相关与卷积的比较： 1）互相关时有一函数要取复共轭，而卷积没有； 2）互相关图形不需要反转； 3）两者在位移、相乘和积分这三个过程是一样的。,如果f (x)为实偶函数，那么互相关和卷积的结果相等。这时函数折叠和共轭都不改变函数值。,互相关的意义：衡

7、量两个函数间存在的关联程度，两信号关联程度高互相关值就大。,2 自相关 定义： 性质： 意义：衡量同一函数不同点之间的相关程度。,应用：自相关测量,自相关的运算性质：,2、自相关函数的模在原点处有极大值。即,证明：,1、厄米特对称： 若f(x)为实函数，则自相关函数为偶函数。,解：,2-x4, f() 与h(x+)不重合,-2 2-x0， 2 x4, f() 与h(x+)部分重合,0 2-x2， 0 x2, f() 与h(x+)部分重合,f (),-2,0,2-x2， x0, f() 与h(x+)不重合，相应的相关函数为零。,波的特征：振幅、相位、偏振、波长（频率和周期）等；,位相,1.4 光

8、波场的复振幅描述：,光场是横波。,光波的振幅,位相有两部分,时间相关,空间相关,其中exp-it是时间因子，在空间各处都是相同的，对描述光场的空间分布意义不大。,上式称为光波的复振幅，用来描述光波的振幅和位相随空间位置坐标的变化关系。,即光波的振幅和空间位相因子的乘积,平面波不沿z轴传播，沿波矢k方向传播的平面波复振幅为 ：,（cos, cos, cos）,等相位面方程,平面波的复振幅描述,空间周期与空间频率,在x轴上(y=z=0)，每传播一个/cos距离，位相变化为2。 /cos是x轴方向上的光波空间变化周期。,同样定义,定义x向空间频率：在x轴上单位长度内，位相变化为2的次数。,空间频率为

9、：f=(fx2+fy2+fz2)1/2,空间频率的直角分量：fx=cos/， fy=cos/ ，fz=cos/,相应的空间周期分量：Lx= /cos ， Ly= /cos ，Lz= /cos,用空间频率表示光场复振幅,空间频率的意义是什么？,* 空间频率的直角分量和光波的传输角有关，可以说，不同空间频率的光对应不同的传输方向。 * 光波空间周期性变化的频率。,球面波的复振幅描述,球面波的特征：相位间隔为2的等相面是一组等间距同心球面，光波场中各点的振幅与该点到球心的距离成反比（能量守恒）。,球面波的复振幅,1.5 二维傅立叶变换和频谱函数的概念,1 二维傅立叶变换,f(x,y)的傅立叶谱,函数

10、f(x,y)的傅立叶变换(Fourier Transform)定义：,x空间频率,y空间频率,函数f(x,y)和F(fx, fy)构成傅立叶变换对，表示为：,傅立叶逆变换：(将函数f(x,y) 用其频谱函数F(fx, fy)表示),关于物函数和谱函数： 两种有实际意义的描述信息的方法: * 不同物空间点光信息的组合；（物函数表示） * 不同空间频率的光（不同传输方向光）的组合。 （谱函数表示）,傅立叶逆变换,可以看成是从物空间各点(x, y)光场可以看成以各传输方向（fx, fy）传输的，振幅F(fx, fy)不同的平面波的叠加。,傅立叶变换存在的充分条件 1）f(x,y)在Oxy平面上绝对可

11、积。 2）f(x,y)在Oxy平面上仅存在有限个不连续点和有限个极大、极小点。在每一个有限域内局部连续。 3）没有无穷大的间断点。,振幅谱,相位谱,物理上的可能就是存在傅立叶变换有力法的充分条件。,极限意义下的傅立叶变换。 将一个“不存在”傅立叶变换的函数用另一个存在傅立叶变换的函数代替，而这个替代函数的极限就是原函数。 例如：函数、符号函数、正弦函数等。,广义傅立叶变换,计算步骤为： 1）选择适当的数列，其极限等于待变换函数； 2）求该数列的傅里叶变换； 3）求所得到的傅里叶变换的极限。,解：（1）选择适当的函数序列。例如,例题 求符号函数sgn(x)的傅里叶变换。,（2）求函数gN(x)的

12、傅里叶变换。,（3）求函数gN(x)傅里叶变换的极限。,二、 F.T.定理 - F.T.的基本性质,1. 线性定理 Linearity,2. 空间缩放 Scaling (相似性定理）,二、 F.T.定理 空间缩放,注意空域坐标(x,y)的扩展(a,b1),导致频域中坐标(fx,fy)的压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然.,f,0,2,-2,1/2,二、 F.T.定理 3. 位移定理 Shifting,频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.,空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变,但位相随频率线性改变.,二、 F.T.定理 4. 帕色伐(Parseval)定理,若g(

13、x)代表加在单位电阻上的电流或电压, 则| g(x) |2dx 代表信号的总能量(或总功率),| G(f) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率),Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给出.或者说等于各频率分量的能量之和能量守恒,二、 F.T.定理 - Parseval定理的证明,交换积分顺序,先对x求积分:,利用复指函数的F.T.,利用d 函数的筛选性质,思考题:,二、 F.T.定理 5. 卷积定理,空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积.,空域中两个函数的乘积, 其F.T.是各自F.T.的卷积.,将时、空域的卷积运算，化为频域的乘

14、积运算，特别有用. 亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积,卷积定理的证明,交换积分顺序:,应用位移定理,应用F.T.定义,7.自相关定理,9.迭次变换定理,6. 互相关定理,( 表示互功率谱),8.积分定理,10.积分变换定理,常见函数的傅里叶变换对,1.6线性系统与线性空不变系统,1 系统的算符表示 系统：对给定的信号作出响应而给出另外的信号，即对信号产生作用。 作用：将其定义为一种变换，把对系统的输入称为激励，而对此系统的输出称为响应。,2、线性系统的定义：,它的重要性质就是线性叠加性,由几个激励函数相加产生的总响应是各个激励单独作用时产生的响应函数之和,含义：若把一个线性组合整体

15、输入线性系统，则系统的总响应是单个响应的同样的线性组合； 也可以理解为：系统对任意输入的响应能够用它对此输入分解成的某些基元函数的响应表示出来。,当系统未加激励时它不产生任何响应，保持比例因子不变。,处理线性系统常用方法：,线性系统的分析与综合：傅立叶分析,一个复杂输入,分解,多个简单“基元”输入,计算每个“基元”输入的响应,总响应,叠加,傅立叶分析提供了一个进行这种分解的手段：,基元函数,权重因子,即逆傅立叶变换提供了分解函数的一种手段。,基元函数的意义： 代表了传播方向为：cosfx cosfy的单位振幅的平面波。,逆傅立叶变换的物理意义：物函数f(x,y)可看作是无数振幅不同 ( )方向

16、不同（ cosfx cos fy ）的平面波线性叠加的结果。 这种方法通常称为傅立叶分解。,问题： 根据系统的定义，傅立叶变换算符可看作系统的变换算符，那么它是线性系统吗？为什么？,1)线性空不变系统的定义,线性空不变系统对输入信号空间位置的平移所产生的唯一效应是使输出信号的位置也产生成常数比例的平移,而系统的脉冲响应函数不变。,3 线性空不变系统,2)线性空不变系统与理想成像系统,物函数f(x1, y1),物平面,像平面,像函数g(x2, y2),物函数f(x1-x0, y1-y0),像函数g(x2-Mx0, y2-My0),即理想成像系统就是一个线性空不变系统。 系统的线性表示系统激励经系

17、统后不变形，而系统的线性空不变表示激励函数不论在物空间横向位置怎样平移，系统相应的形状是不变的。,M 为与空间坐标无关的常数，系统的横向放大率。,脉冲响应形式较简单： 只依赖于位置差而与具体位置坐标无关。当点光源在 物场中移动时，像只改变位置而不改变形状（等晕性）,3)线性空不变系统的性质,叠加积分式：,像可表示为物与系统脉冲响应在输出平面上的一个二维卷积,系统传递函数，表示系统在频域对信号的传递能力,傅立叶变换形式简单,线性空不变系统的本征函数 如果一输入函数经过一线性空不变系统后，输入、输出函数满足 其中a为常数（称为本征值），则f(x,y)就是该系统的本征函数。,本征函数通过该系统函数的

18、形式不变，空间也没被放大或缩小，只是空间各点的幅值被均匀的放大或衰减或产生常数相移。,1. 对于线性系统，任何复杂激励的响应都是输入函数与脉冲响应函数乘积的积分； 2. 对于线性不变系统，任何复杂激励的响应都是 输入函数与脉冲响应函数的卷积； 3. 线性不变系统输出的频谱等于系统传递函数与输入频谱的乘积； 4. 对线性不变系统，脉冲响应h(x)与传递函数H(fx) 构成一个傅立叶变换对。,注意：,抽样时会出现的问题？ 抽样精度不够高，信息丢失； 抽样精度过高，浪费资源、时间和效率。,抽样过程的实现？对某一原函数进行抽样，则将这一原函数与一个抽样函数相乘。,采用二维梳状函数,1.7 二维抽样定理

19、,分离方式取样; 进行信息处理; 再现原来的图形。,1 抽样函数二维梳状函数,梳状函数(comb function) 定义：一维 二维： 函数fs(x, y)的抽样：,原函数的频谱,用梳状函数取样后的函数的频谱,抽样前后函数的频谱特点： 1）如果抽样前函数是带限函数，其频谱则只是占据某一区域。 2）用梳状函数取样后的函数的频谱则变成一系列等间隔的区域函数分布。每个区域函数形状与取样前的谱函数一样。,1) 取样函数的频谱比原函数丰富，包含原函数的频谱； 2) 分离的取样得到分离的频谱； 3）取样点间的距离越近（取样越密），分离频谱相邻间距越大。 取样点间距应该满足什么样的要求？,2. Nyquist判据 抽样点阵的最大容许间隔：,核心意思：取样点应足够密，以至使各分离频谱间距足够大（不重叠）。,欠抽样，不能恢复原函数。,过抽样，有利于提高恢复原函数的精度。但太过抽样，增加信息处理的工作量、需