ch1p1 常见非初等函数和脉冲函数.ppt

1、信息光学Information Optics,2,参 考 书,J.W. Goodman, Introduction to Fourier Optics(及其中译本，科学出版社) 吕乃光 傅里叶光学 机械工业出版社 波恩，沃尔夫 著，杨葭荪 等译，光学原理 电子工业出版社 杨震寰著，母国光等译，光学信息处理 南开大学出版社 王仕璠 信息光学理论与应用 北京邮电大学出版社 于美文等 光全息及应用 北理工出版社 1996年 J.D. Gaskill, Linear System, Fourier Transforms and Optics 中译本 人民教育出版社 苏显渝等 信息光学 科学出版社 19

2、99年 麦伟麟 光学传递函数及其数理基础 国防出版社,3,光是人们赖以生存的重要条件。它既是能源，也是携带和传递信息的重要载体。 光学是一门古老的传统科学，一个世纪以来，形成许多新的分支学科和边缘学科(光谱学，量子光学，信息光学，光电技术，成像，显微镜，光电子，生物光学),4,光波能够携带物体的信息，传入人的眼睛，人们才能对周围的事物产生视觉，这是人类认识外部世界的最主要的方式。人们可以借助书刊、照片、电视、电影等交流。,5,照片 电视,6,电影：,7,光传播是能量和信息传播的过程，从应用来看： 把光看作能源，关心的问题是如何有效利用光辐射的能量，如照明工程，激光武器，激光加工，太阳能利用 把

3、光看作信息传递时，则考虑包含信息的光场分布在传递过程中所发生的变化，如光信息记录、显示和测量，光信息的处理，光纤通信等,8,自发光物体或者间接发光的物体依照自身的形状、明暗、色彩来改变光波的相位、振幅、波长等参数，对光波产生空间调制，这种调制和照明光波的性质有关。 物体本身的信息转化成光信息由光波携带而传出去。,9,把光学系统看作是收集和传递信息的系统，作用和通信系统在本质上是相同的，差别在于： 通信系统中，信号随时间变化，如电压、电流 光学系统中，信号随空间变化，如振幅、强度 两者的相似之处在于：在一定条件下，都具有线性和不变性。 因此可把电子通信系统中的线性系统理论描述和分析用到光学中，用

4、空间脉冲响应和空间频率响应来描述光学系统。 从频域的角度来考虑光学系统的效应，正是线性系统理论和傅立叶变换的重要应用。,10,信息光学：,是光学与通信和信息理论相结合而产生的一个现代光学新的分支。 它采用傅立叶分析和线性系统理论分析光波的传播、衍射、成像等现象。 光学传递函数、光学全息、光学信息处理则是建立在傅立叶理论基础上的实践领域。 光学信息处理的优点是容量大，并行性好。 1948年，全息术； 1955年，光学传递函数；1960年，激光器出现，共同促进了信息光学的发展。,11,光学发展史,地平线上的太阳大于头顶的太阳 尼尼微的遗址发现了水晶制作的汇聚透镜 公元139年，托勒密测量了折射角和

5、入射角的关系 欧几里德，阿基米德等人对光学现象做过一些研究,1270年，威特洛修士整理出一本光学著作 提出望远镜的设想,1608年，荷兰人利佩尔兹海制造出望远镜 1610年，伽利略借助望远镜发现了太阳黑子 1611年，开普勒出版了折光学,希腊时期,中世纪,文艺复兴时期,12,人们放弃了波动学说，支持光的粒子学说,托马斯 杨的双缝干涉实验证明了光的波动学说 菲涅尔的实验再次确认了干涉 1867年，迈克尔逊测量光速 气体光谱的发现,以太漂移测试 、 光谱线、光量子学说 X射线(伦琴射线)、量子理论 光电现象，激光，磁光,十八世纪,十九世纪,二十世纪,Snell发现了光的折射定律 1664年牛顿，棱

6、镜色散 1678年，惠更斯提出了光的波动学说,十七世纪,13,对信息光学起到推动作用的大事： 1948年，全息术 1955年，光学传递函数 1960年，激光器,加上傅立叶变换和通信中的线性系统理论，使光学与通信在信息学领域统一起来从“空域” 走向“频域”,(激光器的出现为光学信息处理提供了单色性好、强度高的单色光),14,光学不再仅限于用光强、振幅和透过率的空间 分布描述光学图像，也用空间频率的分布变化描述光学图像，形成了光学信息处理新的分支，为信息传输和处理提供了崭新的技术。他以傅里叶成像理论、全息摄影、光学信息处理以及光学计算等为基础研究，光作为信息载体用以获取与传递信息，处理与存储数据的

7、领域。 与其他形式的信号处理相比光学信息处理具有高度并行、大容量的特点。,15,第一章 线性系统分析,信息处理系统 线性系统 可以用FT分析方法来描述 非线性系统 除了一些特殊情形，没有统一的理论 在物理上，在实际应用中，大多数系统不是线性系统，只是在某些条件或者一些近似可以看作是线性系统来处理。 比如常见的光学成像系统，就是这样的。,16,矩形函数 Rectangular function Sinc函数 Sinc function 三角形函数 Triangle function 符号函数 Signum function 阶跃函数 Step function 圆函数 Circular func

8、tion 高斯函数 Gaussian function,1.1 几个常用的非初等函数,我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。,在科学技术以及工程问题中，有一些参量的变化在整个区间范围内无法用一般的代数函数来描述，必须进行分区间定义， 需要引入一些特殊函数。,17,1.1.1矩形函数 Rectangular function,1D rect函数,18,当x为时间变量时，矩形函数可以表示一个方波，如： 电路中的开关作用； 照相机的快门作用。 当为空间变量时，可以用来表示一个狭缝的透过率,19,2D rect函数,20,21,22,1.1.2 si

9、nc函数 sinc function,在x=x0出有最大值1。且以x0对称,Sinc函数的零点：,23,24,25,单缝的夫琅和费衍射 振幅分布 矩孔的夫琅和费衍射 振幅分布,26,27,1.1.3. 三角形函数 Triangle function,图形时以0为中心，宽度为2a，高度为1，面积为a的等腰三角形。,28,1.1.4. 符号函数(sign function),符号函数存在一个第一类间断点,29,sgn函数的宽度和面积的概念是无意义的，常数a的大小无意义，其正负仅仅决定函数的取向或极性，一般取为1 sgn函数可用于在某点逆转另一函数的极性，比如：,30,1.1.5 阶跃函数(step

10、 function),31,step函数的宽度和面积的概念是无意义的，常数a的大小无意义，其正负仅仅使函数在某一点打开或关闭，一般取为1.,step函数可用作一个开关，以便在某点打开或关闭另一函数，比如：,32,1.1.6 圆函数 circular function,直角坐标系下的圆函数,极角坐标系下的圆函数,33,可用于描述圆孔的透过率， a是圆孔的半径。,34,1.1.7 Gaus函数 Gaussian function,35,可见，高斯函数的面积为1 它是个光滑函数，即它的一切导数都是连续的。 Gaus函数的FT是另一个Gaus函数，对分析线性系统和激光束传播很有用。,36,小结：,在r

11、ect函数、三角函数、sinc函数、sinc2函数及gaus函数的定义中，中心的纵坐标总是1，而面积总是等于定标因子的大小|a|。 要想得到这些函数的变形: 若改变其高度，则只要用一个适当的常数乘以上面所定义的函数即可。 若要得到任何所希望的宽度和面积,则适当选择常数a。,37,1.2 脉冲函数(函数),1930年，为了描述一些宽度极为狭窄，而幅度趋于无穷大的物理量而引入。 在物理和工程技术中，常用于描述能量或质量在空间或时间上高度集中的各种现象，如：质点，点电荷，点光源，脉冲信号等 函数不是普通函数，他不像普通函数那样完全由数值对应关系确定。是广义函数，其属性完全由它在积分中的作用表现出来。

12、,38,将线密度对x积分得到,如果线段的长度趋近于零，那么我们将得到位于坐标原点的质点的线密度，即,例如：质量m均匀分布在长为l的线段-l/2,l/2上，则其线密度可以表示为：,39,40,1.2.1 函数的定义,类似普通函数形式的定义 最简单的定义，保留了普通函数的数值对应关系的痕迹,41,普通函数序列极限形式的定义 若有一个函数序列，gn(x,y), n=1, 2 , 3, ,该函数序列中的任何一个函数gn(x,y) 均满足：,那么有：,42,常用的函数有gaus函数、sinc函数及rect函数等，即：,别的可能的定义是用圆对称的函数：,43,3 广义函数形式的定义,其中， 在(0,0)或

13、者在(x0,y0)处连续。 一个函数只要它在积分中的作用与上式相同，就可以认为它是函数。,44,总之，函数不是普通函数，不象普通函数那样完全由数值对应关系确定。它是一个广义函数，其属性完全由它在积分中的作用体现出来。 Note: (x) is highly peaked where its argument is zero. Its “weight” or “strength” is defined by its integral (unity) This is a “generalized function” or “distribution”,45,筛选性质 与函数乘积的性质 坐标缩放性质 可分离变量性 奇偶性 Derivative Powers,1.2.2 函数的性质：,46,1. 筛选性质（也可称作与函数积分的性质或Sifting Property）,如果函数f(x,y)在(x0,y0)点连续，则有： 这个性质可以有delta函数的广义形式的定义直接得到。,47,2. 与函数乘积的性质,如果函数f(x,y)在(x0,y0)点连续，则有 设a, b为实常数，则有 作业：证明delta函数坐标缩放的性质,3. 坐标缩放性质,48,坐标缩放性质的证明：,由此得：,4