概论与初等模型3.ppt

1、公选课数学模型,主讲教师：周水生,上课时间：周一晚、周三晚,注意：1) 本课程每周 4 节课！ 2) 交选课卡同学请工整书写姓名、学号!,全国大学生数学建模竞赛是教育部组织的，面向全国高等院校学生开展的一项竞赛活动， 数学建模竞赛每年举办一次(9月下旬举行)。学生3人1队、以学校为单位组织参赛，参加队数不限！是全国高校规模最大的学生课外科技活动. 口号：一次参赛，终身受益！(今年恰是该赛事成功举办20周年(1992-2011) 奖项设置:国1、国2、省1、省2、成功参赛奖。官方网站: ,关于数学建模竞赛,2005 年：795所院校、8492个队，其中甲组(本科)6556队、乙组(专科)1936

2、队。 2006年： 864所院校、9985队(甲组7682队、乙组2303队) 、约3万。 2007 年：969所院校、11742个队(其中甲组9494队、乙组2248队)、3万5千多名来自各个专业的大学生参加竞赛. 2008 年： 1023所院校(31个省/市/自治区，包括香港) 、 12846个队(其中甲组10384队、乙组2462队)、3万8千多名来自各个专业的大学生参加竞赛. 西电的成绩：2007年4个国家奖 2008年6个国家奖,关于数学建模竞赛,全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。2010

3、年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)及新加坡和澳大利亚的1197所院校、17317个队（其中本科组14108队、专科组3209队）、5万多名大学生参加了本项竞赛。 摘自http:西电的成绩：6个国家奖,关于数学建模竞赛,美国(国际)数学建模竞赛，每年2月初举行，COMAP (Consortium for Mathematics and Its Applications)主办。分MCM和ICM两类！(非官方组织举办，全球影响较大) 英文题目、英文答卷 奖项:Outstanding/Meritorious/Honorable Mention/Successful Particip

4、ant. 网站: 注记：这两项赛事本校多年来都一直参与!,关于数学建模竞赛美模,开设数模公选课(第4学期的前半学期，5.1前结课)，普及数模知识。 5.1 期间有一个校内竞赛, 成绩是选拔的重要依据之一；5.1后先大范围选拔约200余人参加培训：主要针对2年级学生院系推荐，依据平时成绩(主要看数学课程、英语、计算机课程) 。 培训结束考核(试卷)； 依据以上成绩信息，综合选拔实际参赛人数的2倍左右同学，进一步培训、测试。 7月份(放假)前后大致选定参赛队员(可能会多出一些替补)！ 暑期强化培训、竞赛前强化练习(参赛队员将基本不放暑假)！ 9月中旬参加竞赛！ 在参加过竞赛的队员中选拔部分参加国际

5、竞赛(参赛队员将基本不放寒假) ！,西电历年的大体组织过程,获奖同学可获得免试推荐研究生资格！ 本校、外校都可,国内竞赛：国家一等奖、二等奖、省1 国际竞赛： Outstanding/Meritorious/Honorable Mention,近几年本校获益同学去清华、北大、中科院、南开、浙大等很多人。 参加过数模培训和竞赛的队员在后期工作中表现非常突出，导师非常欢迎，大部分都进行硕博连读，很快就是研究院所的中坚力量。,公选课数学模型,参考书目(不限于) 1.数学建模与数学实验, 赵静, 但琦主编, 高等教育出版社, 2003年6月第二版;2. 数学模型, 姜启源编, 高等教育出版社, 200

6、3;3.数学建模，叶其孝,姜启源等译，机械工业出版社，2004-12-064. 数学建模, 杨启帆, 谈之奕, 何勇编, 浙江大学出版社, 2006年6月(二版); 5.数学建模基础, 薛毅主编, 北京工业大学出版, 2004年4月; 5.数学建模, 刘锋编著, 南京大学出版, 2005年9月; 考核方式：平时作业(23次)结课考试 注记：成绩仅是选择竞赛队员的依据之一!,数学模型, 该网页(久未更新)上课件可参考，其他通知无效！,教师邮箱: 欢迎联系,数学建模讲义,建模概论与初等模型,风洞中的飞机,物理模型,地图、电路图,符号模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 简缩、抽象、提炼

7、出来的原型的替代物。,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.,我们常见 的模型,什么是数学模型,一、数学建模概论,玩具、照片,实物模型,数学模型 (Mathematical Model) 数学建模（Mathematical Modeling),数学建模指建立数学模型的全过程。 包括模型建立、求解、分析、检验。,数学模型对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践过程. 即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后, 将实际问题用数学方式表达，以建立起数学模型, 然后运用先进的数

8、学方法及计算机技术进行求解.,观点：“所谓高科技就是一种数学技术”,数量关系,1. 解释孟德尔遗传定律的“3:1”,数学建模三大功能解释, 判断, 预见,美国原子能委员会提出如下处理浓缩放射性废物：封装入密封性很好的坚固的圆桶中，沉入300ft的海里，而一些工程师提出质疑？需要判断方案的合理性。,2.判断放射性废物处理,3.预见谷神星的发现,行星的轨道半径,水、金、地、火、木、土,1802年，发现了谷神星与3对应，之后还发现了海王星、冥王星。,你碰到过的数学模型航行问题,用x表示船速，y表示水速，列出方程：,求解得到 x=20, y=5,答：船速每小时20公里.,甲乙两地相距750公里，船从甲

9、到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少？,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设(船速、水速为常数, 方向一致);,用符号表示有关量(x, y表示船速和水速)；,用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以 时间)列出数学式子(二元一次方程)；,求解得到数学解答（x=20, y=5）；,回答原问题（船速每小时20公里）。,录象机计数器的用途,问 题,经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152。在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？,要求,不仅仅回答问题, 而且建立计数器

10、读数与录像带转过时间的关系一个数学模型!,思考,本题中计数器读数是均匀增长的吗？,日常问题：常见的录音机的转轴转动是匀速的吗?,问 题 分 析,录象机计数器的工作原理,录象带运动,观察或分析:,计数器读数增长越来越慢！,模 型 假 设,录象带的运动速度是常数 v ；,计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn；,录象带厚度(含夹在两圈间的空隙)为常数 w；,空右轮盘半径记作 r ；,时间 t=0 时读数 n=0 .,建 模 目 的,建立时间t与读数n之间的关系,(设v，k ，w ，r 为已知参数),模 型 建 立,建立t与n的函数关系有多种方法:,1. 右轮盘转过第 i 圈的半径为r+w

11、i, m圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以,模 型 建 立,2. 考察右轮盘面积的变化,等于录象带厚度乘以转过的长度,即,3. 考察t到t+dt录象带在右轮盘缠绕的长度,有,思 考,1. 3种建模方法得到同一结果,2.模型中有待定参数,确定参数的一种办法是测量或调查，试设计测量方法参数估计.,参 数 估 计,将模型改记作,只需估计,理论上，已知t=183.5, n=6152, 再有一组(t, n)数据即可；,实际上, 由于测试有误差, 最好用足够多的数据作拟合。,若现有一批测试数据：,用最小二乘法可得,模 型 检 验,应该另外测试一批数据检验模型：,模 型 应 用,回答提出

12、的问题：由模型算得 n = 4580 时 t = 118.5分, 剩下的录象带能录 183.5-118.5 = 65分钟的节目，可以录制60分钟的节目。,2. 揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规 律，当录象带的状态改变时，只需重新估计 a, b 即可。,基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律。,将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型,二者结合,机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数,数学建模的方法和步骤,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(Case Studies)来学习.以下建模主要指机

13、理分析.,数 学 建 模 的 一 般 步 骤,数学模型的分类： 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型等。 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。,为了便于学习掌握，可对数学模型做适当的分类：,数 学 建 模 的 重 要 意 义,电子计算机的出现及飞速发展,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。,数学建模,计算机技术,知识经济,四、近几年全国大学生数学建模

14、竞赛题,怎 样 学 习 数 学 建 模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术!,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想象力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,创新意识,数学建模的论文结构,1、摘要问题、模型、方法、结果,2、问题重述,4、分析与建立模型,5、模型求解,6、模型检验,7、模型推广,8、参考文献,9、附录,3、模型假设,谢 谢 ！,例1 哥尼斯堡七桥问题 符号表示“一笔画问题”(抽象分析法) 游戏问题图论(创始人欧拉) 完美的回答连通图中至多两结点的度数为奇数，则该图可一笔画.,二、初等模型,(1111),(111

15、0),(1010),(1011),(1101),(0000),(0001),(0101),(0100),(0010),例2 人狗鸡米过河问题,模型表示：建立(人,狗,鸡,米)的4维0/1向量;,是一个简单的游戏，但可以建立经典计算机编程求解。,如:(1,0,1,0)表示狗、米已过河, 人、鸡没有等;,可取状态：24610种,可取过河方式：4种(1100) (1010) (1001) (1000),运算方式：按位异或运算(xor),例：一次运算过程,(0011) (0101) (0110) (0111),XOXX,图论解法：,示例3 椅子能在不平的地面上放稳吗?,模型假设,模型构成,椅脚连线为正

16、方形ABCD(如右图). t 椅子绕中心点O旋转角度,f(t)A,C两脚与地面距离之和 g(t)B,D两脚与地面距离之和,f(t), g(t) 0,1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形; 2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况)，即地面可视为数学上的连续曲面; 3. 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。,模型构成,由假设1，f和g都是连续函数,由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地：对任意t ，f(t)和g(t)中至少有一个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0, f

17、(t)0, 原题归结为证明如下的数学命题：,已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t, f(t) g(t)=0,且g(0)=0,f(0)0。则存在t0，使f(t0)= g(t0)=0,模型求解,最后，因为f(t) g(t)=0，所以f(t0)= g(t0)=0。,令h(t)= f(t)-g(t),则h(0)0和h( ) 0，由f和g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质,必存在t0 （0t0 ),使h(t0 )=0，即f(t0)= g(t0)。,将椅子旋转90,对角线AC与BD互换. 由g(0)=0,f(0)0可知g( )0,f( )=0,方法总结,1) 一个变量t表示位置；

18、引入距离函数(只设两个)； 证明技巧转动90度。,模型推广,1) 若对象是4条腿同长的长方形桌子，结果怎样？,2) 某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？ (数学解法、巧妙的形象解法),建模示例4 商人们怎样安全过河,问题(智力游戏),随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策 每一步(A到B或B到A)船上的人员,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多)

19、,经有限步使全体人员过河!,模型构成,xk第k次渡河前A岸的商人数,yk第k次渡河前A岸的随从数,xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,sk=(xk , yk)过程的状态,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,S 允许状态集合,uk第k次渡船上的商人数,vk第k次渡船上的随从数,dk=(uk , vk)决策,D=(u , v) u+v=1, 2 允许决策集合,uk, vk=0,1,2; k=1,2,sk+1=sk+(-1)k dk,状态转移律,求dkD(k=1,2, n), 使skS按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0

20、,0).,多步决策问题,模型求解,穷举法 编程上机,图解法,状态s=(x,y) 16个格点,允许决策D 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,s1,sn+1,d1, d11给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法, 易于推广,考虑4名商人各带一随从的情况,允许状态S,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,D=(u , v) u+v=1, 2,建模示例5 报童的诀窍！,问题: 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c。请为该报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大收入？,假设和分析:,1. 设abc, 且一般地a-bb-c;,2. 需求量是随机的，但是有规律, 可以通过市场调查和经验统计其规律，比如在其销售范围内每天报纸需求量为r的概率是f(r) (r=0, 1, 2, .)一个概率分布;,3. 若设其购进n份报纸，每天报童的销售净收益是随机的! 于是讨论其平均净收益G(n)(期望收益), 如下,平均净收益G(n)(期望收益)：,问题转化为：,模型建立一个离散概率模型：最大化期望收益,模型求解,求导等技巧直接不能用！,数学模型