高中数学3不等关系同步导学案北师大版

1、第三章第三章不不等等式式 本章概述本章概述 课程目标 1.双基目标 （1）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量的不等关系，了解不等式（组）的实际 背景. （2）会比较两个实数的大小，理解不等式的基本性质. （3）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程. （4）通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. （5）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图. （6）探索并了解基本不等式的证明过程. （7）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. （8）从实际情境中抽象出二元一次不等式组. （9）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二

2、元一次不等式组. （10）从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 2.情感目标 （1）注重突出不等式的现实背景和实际应用，突出数学的应用价值，有助于激发学生学习数学的兴 趣，发展学生的应用意识与解决实际问题的能力. （2）本章注意体现数学文化价值的渗透，让学生了解数学是人类文化的重要组成部分. （3）借助于信息技术去探索数学规律，从事一些富有探索性和创造性的数学活动. 重点难点 重点：不等式的解法及应用，基本不等式的应用，线性规划问题. 难点：解决线性规划问题和利用基本不等式解决实际问题. 方法探究 不等式是刻画现实世界中不等关系的数学工具，它是描述优化问题的一种数学模型

3、. 学习本章应注重数形结合，学会通过函数图像理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系，并 能解释二元一次不等式和基本不等式的几何意义.在此基础上，体会不等式在解决实际问题中的作用，进 一步提高解决实际问题的能力. 学习本章应注意的问题 （1）要注意与一元一次不等式，一元二次不等式、整式方程、函数、三角等知识的联系，以便对不 等式的知识有一个全面、完整的了解与认识. （2）要注意体会二元一次不等式（组）与平面区域的关系，借助几何直观解决简单的线性规划问题 . （3）注意对不等式 ab ab 22 (a0,b0)和a+b2ab(aR R,bR R)的理解、记忆，正确、灵活地 2 使用其解决

4、问题，尤其是在正确的使用上下功夫. （4）本章重点内容是证明不等式和不等式的解法以及简单的线性规划 .证明不等式没有固定的模式可 以套用，它的方法灵活多变、技巧性强、综合性强，不等式的解法重点是一元二次不等式（组）的解法， 注意数轴穿根法. （5）线性规划知识也是重点内容，在近几年高考中也有明显的体现，应引起同学们的注意. 1等 关 系 知能目标解读知能目标解读 1.通过具体的情境，感受现实生活中存在的大量不等关系，并了解不等式（组）的实际背景. 2.能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小，并掌握不等关系的传递性和不等式的基本性质 . 重点难点点拨重点难点点拨 重点：比较两数（或式）的大小

5、，理解不等式的性质及其证明，并能说出每一步推理的理由. 难点：对不等式性质的准确把握以及严密的逻辑推理证明能力的培养. 学习方法指导学习方法指导 一、不等关系 1.不等式：我们用数学符号“” 、 “” 、 “” 、 “”连结的不等式，表示严格的不等关系，是严格不等式；用符号“” 、 “” 、 “”连结的不等式，表示非严格的不等关系，是非严格不等式. 注意： 如何理解表示不等式的各个符号的含义？ 不等式表示的是不相等的关系.对于“不相等”可以是“大于”或“小于” .对于不等式ab，表示的 是ab或a=b，只需满足其中一条，不等式就成立.如 33 就是 33 或 33，尽管 3b或a=b，同样也是

6、只需满足其 中一条，不等式就成立.对于实数来讲，只存在a=b或ab或a” 、 “b” 、 “ab；如果a-b是负数，那么a0ab;a-b=0a=b;a-b0ab,abbb,bcac. (3)aba+cb+c. 推论ab,cda+cb+d. (4)ab,c0acbc;ab,c0acb0,cd0acbd; 推论 2ab,ab0 11 b0anbn(nN N,且n1). (5)ab0 na nb (nN N,且n1). 2.关于不等式性质的式子的理解 （1）说明了不等式的对称性； （2）说明了不等式的传递性； （3）表示同向不等式具有可加性，它是 不等式移项的基础； （4）表明不等式两边允许用非零数

7、（式）乘，相乘后的不等式的方向取决于乘式的符 号. 知能自主梳理知能自主梳理 1.不等式的定义 用表示不等关系的式子叫不等式. 2.比较实数大小的依据 设a,bR R，则a-b0;a-b=0;a-bb,bc;(2)ab,c0; (3)ab,cb,cd; (5)ab0,cd0;(6)ab0,nN N ,n1. + 答案1.不等号2.aba=bac(2)acbc(3)acb+d(5)acbd(6)a b , na nb 思路方法技巧思路方法技巧 命题方向比较大小 例 1已知x1,比较x3-1 与 2x-2x的大小. 分析作差因式分解变形判断符号 解析x-1-(2x-2x)=x-2x+2x-1 =(

8、x-x)-(x-2x+1) =x(x-1)-(x-1) 2 2 2 322 3232 2 =(x-1)(x-x+1) =(x-1)（x- 1 2 3 ） + 42 x1,x-10, 42 1 2 3 ） 0, 42 (x-1) （x- 32 x-1Q,求实数a,b应满足的条件. 222 解析P-Qa b+5-2ab+a+4a =(ab-1) +(a+2) 22 222 2 PQ,(ab-1) +(a+2) 0 ab1 或a-2. 故实数a、b应满足的条件是ab1 或a-2. 命题方向应用不等式（组）表示不等关系 例 2某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，此时可以售出 8 万本，据市场调查，

9、若单价每本提 高 0.1 元，销售量就可能相应减少 2000 本，若把提价后的杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售 的总收入仍不低于 20 万元呢？ 分析利用提价后的价格 x 表示出销售总收入，再将题中所要求的不等关系用不等式表示. 解析杂志的定价为x元，则销售的总收入为 （8- 2 x 2.5 0.2）x万元， 0.2 那么不等关系“销售的总收入不低于20 万元”可以用不等式表示为（8- x 2.5 0.2）x20. 0.2 说明决此类问题的关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件找到不等关系，然后用不等式 表示即可. 变式应用 2 咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别为

10、9g,4g,3g,乙种饮料一杯用奶粉、咖啡、 糖分别为 4g，5g，10g，已知每天可用原料为奶粉 3600g，咖啡 2000g，糖 3000g.写出每天配制的两种饮 料的杯数所满足的不等式组. 解析每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则x、y应满足如下条件： （1）奶粉的总使用量不大于3600g； （2）咖啡的总使用量不大于2000g； （3）糖的总使用量不大于3000g； （4）x,y为自然数. x,y满足不等式组： 9x+4y3600, 4x+5y2000, 3x+10y3000, xN N, yN N. 命题方向不等式性质的简单应用 例 3对于实数a、b、c，有下列命题 若ab,则a

11、cbc; 若acbc,则ab; 若ababb; 22 22 若cab0;则 ab ; c ac b 若ab, 11 ,则a0,bbc知c0, 所以c0,所以ab, 故该命题是真命题. 2 22 ab a0 aab, abb.所以 a abb 故该命题为真命题. bb-a-bc-aa,所以c-a0.所以 0c-a0. c ac b 又因为ab0,所以 aba-b0, ab .故该命题为真命题. c ac b 1111b a .因为a-b0,所以b-a0.所以abb,所以a0,b0ab（） ab ab （） bc （2）ab且cdacbd（） （3）ab0 且cd0 （4） ab ab（ ） 22

12、cc cc ab 答案 解析（1） 当a0 时，此式成立， 推不出ab， (1)错； 11 b0 （3） cd0 abab 0成立.(3)对； dcdc 22 （4）显然c0,两边同乘以c,得ab.(4)对. 探索延拓创新探索延拓创新 命题方向应用不等式的性质讨论范围 例 4已知：- ，求，的范围. 2222 分析已知的不等式相当于 - 22 - 22 ， 故本题其实就是已知单角范围求和角、差角范围，所以要进行不等式的加减 .但我们只有这样的性质： 同向不等式可相加，那么要进行不等式相减怎么办？那只有将其转化为同向不等式再相加. 解析- ， 22 - , 22 - ， 22 +得-+ - .

13、222 -， 22 由得- +得-，又， -0， -0，- 变式应用 4 已知 12a60,15b36，求a-b及 0. 22 a 的取值范围. b a1 的范围,应先求的范围,再利用不等式性质求 bb 解析欲求a-b的范围,应先求-b的范围,欲求 解. 15b36, -36-b-15. 12-36a-b60-15, -24a-b45. 又 111 2x(xR R); a+ba b+ab(a,bR R); a+b2（a-b-1）中正确的个数为（） A. 0B. 1 22 3322 2 C. 2D. 3 答案C 解析对于，x+3-2x=(x-1) +20 恒成立，对于，a+b-a b-ab=a(

14、a-b)+b(b-a) =(a-b)(a-b)=(a-b) (a+b), a、bR R,(a-b) 0， 而a+b0,或a+b=0,或a+b0,故不正确, 对于，a+b-2a+2b+2=a-2a+1+b+2b+1=(a-1) +(b+1) 0， 正确，故选 C. 2.设xa0，则下列各不等式一定成立的是（） A.xaxaxa 22 22 C.xaaax 答案B xa0 xax 解析x0 xaxa.22 2 a0axa2 3.若xy与 11 同时成立，则（） xy A.x0,y0B.x0,y0 C.x0D.x0,y，需满足xy0.又xy，x0,y0. xy 2 4.已知x1，f(x)=3x,g(

15、x)=3x-x+1,则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)g(x). 答案 解析f(x)-g(x)=3x-(3x-x+1) =(3x-3x)+(x-1) =3x(x-1)+(x-1)=(3x+1)(x-1), x1 得x-10，而 3x+10, (3x2+1)(x-1)0， 3x3x-x+1. f(x)g(x). 5.已知 60x84,28y33,则x-y的取值范围为， 32 2 22 3232 3 x 的取值范围为. y 答案(27,56)( 20 ,3) 11 解析28y33, -33-y-28, 又60x84, 27x-y56. 由 28yb).若保持原面积不变，则规划后的正方形布 局

16、的面积为ab;若保持周长不变， 则规划后的正方形布局的周长为2(a+b)，所以其边长为 a b ,其面积为 2 （ a b 2 a b 2 ） .因为ab-（） 22 4 2a b =ab- a b 0 (ab),所以abQB.P0,-a(a+1)0， 42 a2a21 2 0， a a 1 PQ. 3.(2011陕西文，3)设 0ab,则下列不等式中正确的是（） A.ab ab B.a ab a b 2 a b b 2 a b 2 C.a abb D. aba 答案 B a b b 2 解析0ab, a a b 0,即aba,故选 B. 本题也可通过特殊值法解决，如取a=1,b=4,易知选

17、B. 4.若a、b是任意实数，且ab,则（） A.ab B. 22 b 0 D.( 答案 D 1 a 1 b ) b并不保证a、b均为正数，从而不能保证A、B 成立.又aba-b0,但不能保证a-b1,从而 不能保证 C 成立， 显然只有 D 成立.事实上， 指数函数y=( 成立.故选 D. 5.已知aba，则以下不等式中恒成立的是（） A.b0 1 x 1 a 1 b ) 在xR 上是减函数， 所以ab() () 222 C.ab0 D.ab 答案 A 解析 特殊值法：令a=-1,b=0,满足ab|b|,排除 D，故选 A. 6.已知a+aa-a-a B.-aa-aa C.-aaa-a D.

18、a-aa-a 答案 B 解析 特殊值法：a+a0,-1a0. 2 2222 2222 222 令a=- 111 2 1 2 ,则a=,-a=,-a=-，故选 B. 4422 22 222 一般解法：由a+a0,得 0a-a 且a-a0,故a-aa0; 不等式命题 . 32 32 32 32 32 cc ;bcad.以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的 ab 若成立，则成立；若成立则成立，. 若成立即bcad,若成立， 则 bcadcd ，. ababab 33 10.如果ab，那么下列不等式： ab; 11 ; ab ab 3 3 ; lgalgb. 其中恒成立的是 . 答案 解

19、析 a-b=(a-b)(a+b+ab) =(a-b)(a+ x 3322 b 2 3 2 ) +b0; 24 ab y=3 是增函数，ab，3 3 当a0,b0 时，不成立. 2 2 11.设m=2a+2a+1,n=(a+1) ,则m、n的大小关系是 . 答案mn 2 22 解析m-n=2a+2a+1-(a+1) a0. 12.设ab0,m0,n0，则p= 答案prsq 解析 取a=4,b=2，m=3,n=1,则p= bab m ,q=,r=, aba m 1 ,q=2, 2 s= a n 的大小顺序是 . b n r= 35 ,s=则prsq（特值探路）. 73 bb m b am -=0，

20、pr. aa maa m 具体比较如下： p-r= ab0,m0,n0 a+mb+m0.a+nb+n0， b ma n 1,1,rs. a mb n b ma n - a mb n rs. 或r-s= = b a b a m n60), 由 2(x-60)+80120,得x80, 某用户每月上网时间在80 小时以内，选择乙方案比较合适. 14.(1)已知ab,ef,c0.求证：f-ac0.求证： a bc d . bd 解析 (1)ab,c0, acbc,-ac-bc, fe,f-ac0, ac , bd ac +1+1, bd a bc d . bd ab 与 a+b的大小. ba 15.已知a、b为正实数，试比较 解析解法一： （