高中数学2第2课时余弦定理同步导学案北师大版

1、第第 2 2 课时课时余弦定理余弦定理 知能目标解读知能目标解读 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理，理解用数量积推导余弦定理的过程，并 体会向量在解决三角形的度量问题时的作用. 2.了解余弦定理的几种变形公式及形式. 3.会从方程的角度来理解余弦定理的作用及适用范围，并会用余弦定理解决“已知三边求三角形的三 角”及“已知两边及其夹角求三角形中其他的边和角”等问题. 4.能熟练应用余弦定理解三角形以及现实生活中的实际问题. 重点难点点拨重点难点点拨 重点：余弦定理的证明及其应用. 难点：处理三角形问题恰当地选择正弦定理或余弦定理. 学习方法指导学习方法指导 一、余弦定理 1

2、.余弦定理：在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，那么有如下结论： a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC. 即三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.这一结论 叫做余弦定理，它揭示了任意三角形边角之间的客观规律.也是解三角形的重要工具. 注意： （1）在余弦定理的每一个等式中含有四个量，利用方程的思想，可以知三求一. （2）余弦定理也为求三角形的有关量（如面积，外接圆，内切圆等）提供了工具，它可以用来判定 三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛.

3、 2.关于公式的变形：将余弦定理稍加变形，可以得到另外的形式，我们称为余弦定理的推论.掌握这 些表达形式，可以帮助我们深入理解和灵活应用余弦定理. b2 c2 a2a2 c2b2a2b2c2 cosA=，cosB=，cosC=. 2bc2ac2ab 由上述变形，结合余弦函数的性质，可知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么 第三边所对的角是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角，如果大于第三边的平方， 那么第三边所对的角为锐角.从这一点说，余弦定理可以看作勾股定理的推广，而勾股定理则是余弦定理 的特例. 二、余弦定理的证明 教材中给出了用向量的数量积证明余弦定理的方

4、法，是平面向量知识在解三角形中的应用.另外，对 余弦定理的证明，还可以应用解析法、几何法等方法证明. 证明：方法 1： （解析法）如图所示，以A 为原点，ABC 的边 AB 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系. 则A（0,0）,C(bcosA,bsinA),B(c,0), 由两点间的距离公式得BC=（bcosA-c） +(bsinA-0) , 即a=b+c-2bccosA. 同理可证b=a+c-2accosB, 222 222 22 2 c2=a2+b2-2abcosC. 方法 2： （几何法）如图.当ABC为锐角三角形时，过C作CDAB于D，则CD=bsinA, AD=bcosA,BD=AB

5、-AD=c-bcosA. 在 RtBCD中，BC=CD+BD,即a=bsinA+(c-bcosA) . 所以a=b+c-2bccosA. 同理可证b=a+c-2accosB,c=a+b-2abcosC. 如图， 当ABC为钝角三角形 则AD=bcosA,CD=bsinA. 时，过C作CD垂直于AB的延长线，垂足为D， 222222 222 222222 2 BD=AD-AB=bcosA-c. 在 RtBCD中 ,BC=CD+BD,即a=bsinA+（bcosA-c） . 所以a=b+c-2bccosA. 同理可证：b=a+c-2accosB,c=a+b-2abcosC. 三、余弦定理的应用 余

6、弦定理主要适用以下两种题型: （1）已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解. 注意： 在应用余弦定理求三角形的边长时，容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结 果常有两解，因此，解题时需要特别注意三角形三边长度应满足的基本条件. 知能自主梳理知能自主梳理 1.余弦定理 （1）语言叙述： 三角形任何一边的平方等于减去的积的. （2）公式表达: 222222 222 2222222 a2=; b2=; c2=. (3)变形: cosA=; cosB=; cosC=. 2.余弦定理及其变形的应用 应用余弦定理

7、及其变形可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其解三角形， 另一类是已知解三角形. 答案 1.(1)其他两边的平方和这两边与它们夹角的余弦两倍 b2 c2 a2a2 c2b2 a2+b2-2abcosC(3) a2b2c2 2bc2ac2ab 2.夹角三边 思路方法技巧思路方法技巧 命题方向已知三边解三角形 例 1在ABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大角和 sinC. 分析在三角形中，大边对大角，所以a边所对角最大. 解析acb,A为最大角, = b2 c2 a2325272 由余弦定理得， cosA 1 2bc = 235 2 ， 又0A180,A=120， sinA=sin12

8、0= 3 2 . 由正弦定理 ac sin A sinC 得， 5 3 sinC= csin A 2 a = 5 3 714 . 最大角A为 120，sinC= 5 3 14 . 说明（1）求 sinC也可用下面方法求解： cosC= a2b2c272325211 2ab = 273 = 14 ， C 为锐角. sinC=1cos2C= 1（ 11 14 ）2 5 3 14 . (2)在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理. 变式应用 1 b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosB(2) 在ABC中，已知(b+c)：(c+a)：(a+b)=4：5：6，求ABC的最大内角.

9、解析设b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k(k0). 则a+b+c=7.5k,解得a=3.5k,b=2.5k,c=1.5k. a是最大边，即角A是ABC的最大角. b2 c2 a21 由余弦定理，得 cosA=-, 2bc2 0A180,A=120，即最大角为 120. 命题方向已知两边及一角解三角形 例 2ABC中，已知b=3,c=3 3,B=30,解三角形. 分析由题目可知以下信息： 已知两边和其中一边的对角. 求另外的两角和另一边. 解答本题可先由正弦定理求出角C,然后再求其他的边和角，也可由余弦定理列出关于边长a 的方程， 求出边 a,再由正弦定理求角 A，角 C. 解析解法一：由

10、余弦定理b=a+c-2accosB, 得 3 =a+(3 3) -2a33cos30,222 2 222 a-9a+18=0,得a=3 或 6. 当a=3 时，A=30,C=120. 当a=6 时，由正弦定理 sinA= A=90,C=60. asin B = b3 6 1 2 =1. 解法二：由bcsin30=3 3 13 3 =知本题有两解. 22 1 3 3 csin B 2 = 3 ,由正弦定理 sinC= 2b3 C=60或 120， 当C=60时，A=90, 由勾股定理a=b2c2= 3 (3 3) =6. 当C=120时，A=30，ABC为等腰三角形， a=3. 说明知两边和一角

11、解三角形时有两种方法： （1）利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长. (2)直接用正弦定理，先求角再求边. 用方法（2）时要注意解的情况，用方法（1）就避免了取舍解的麻烦. 变式应用 2 22 在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且cosA= 解析余弦定理得 1 ,若a=4,b+c=6,且bc,求b、c的值. 4 b2 c2 a21 cosA=， 2bc4 （b c）2 2bc a21 =, 2bc4 又b+c=6,a=4, bc=8, b=2 c=4 b=4 c=2 又bc,b=2,c=4. 命题方向判断三角形的形状 例 3ABC中，已知(a+b

12、+c)(a+b-c)=3ab,且 2cosAsinB=sinC，确定ABC的形状.分析 由于已知条件等式中既含有边的关系，又含有角的关系，因此在判断三角形的形状时，可考虑将边统一成 角或将角统一成边. 解析解法一：利用角的关系来判断. A+B+C=180,sinC=sin(A+B). 又2cosAsinB=sinC, 2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB, sin(A-B)=0. A与B均为ABC的内角，A=B. 又(a+b+c)(a+b-c)=3ab, (a+b) -c=3ab,a+b-c+2ab=3ab, 根据余弦定理，上式可化为2abcosC+2ab=3ab, 解得 c

13、osC= 22222 1 ,C=60. 2 故ABC为等边三角形. 解法二：利用边的关系来确定. 由正弦定理，得 sinCc =. sin Bb 由 2cosAsinB=sinC,得 cosA= sinCc =. 2sin B2b b2 c2 a2cb2 c2 a2 又cosA=,=, 2bc2bc2b 即c=b+c-a,a=b. 又(a+b+c)(a+b-c)=3ab, (a+b) -c=3ab,4b-c=3b, b=c,a=b=c. 因此ABC为等边三角形. 说明判断三角形的形状主要有两种思路： 其一是利用正、余弦定理将已知条件转化为边的关系， 通过代数变换（一般是因式分解）得到边的关系，

14、最终判断出该三角形的形状；其二是利用正、余弦定理 将已知条件转化为角的关系，通过三角恒等变换得到角的关系，最终判断该三角形的形状.在实际应用中 应针对具体的题目，灵活选用解决问题的方法. 变式应用 3 ABC中，AB5,BC=6,AC=8,则ABC的形状是 () A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.非钝角三角形 答案C 22222 2222 解析利用余弦定理判断最大角的余弦值是大于0、等于0 还是小于 0，即可对其形状作出判断. 52 62821 因为 cosB=-0,所以B为钝角，即ABC是钝角三角形. 25620 探索延拓创新探索延拓创新 命题方向利用余弦定理确定范围问题 例

15、4设 2a+1,a,2a-1 为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围. 分析一边大于两边差而小于两边和是任一个三角形三边都成立的条件.若是在锐角或钝角三角 形中，三边的制约条件还要更强.若ABC为锐角三角形，则有ab+c,ba+c,ca+b;若ABC为钝 角三角形，最大边为a,则一定有ab+c,这些都是可以从余弦定理中直接推导的. 解析2a+1,a,2a-1 是三角形的三边, 2a+10 a0 222 222222222 2a-10， 解得a 1 ,此时 2a+1 最大. 2 22 要使 2a+1,a,2a-1 表示三角形的三边，还需a+(2a-1)2a+1,解得a2. aa 8a22a 12

16、a 1 设最长边 2a+1 所对的角为,则 cos=0, 2a2a 12a2a 1 解得 1 a8,a的取值范围是 2a8. 2 说明本题易忽视构成三角形的条件a2,而直接应用余弦定理求解，从而使a的范围扩大. 变式应用 4. 已知锐角三角形三边长分别为2，3，x，求x的取值范围. 解析由三角形三边的关系有 3-2x3+2，即 1x5. 又三角形为锐角三角形，由余弦定理可知任一边的平方小于另两边平方和. x2 +3 即 3 x+2 x13 x5 5x13 即 x0 解得 5x13， x的取值范围为（ 5，13）. 名师辨误做答名师辨误做答 例 5在ABC中，C=2A,a+c=10,cosA=

17、2 2 2 222 222 3 ,求b. 4 误解由正弦定理，得 又C=2A, csinC = asin A csin2A33 =2cosA=2， asin A42 又a+c=10, a=4,c=6. 由余弦定理，得a=b+c-2bccosA, b-9b+20=0, b=4 或b=5. 辨析运用余弦定理求边长时，易产生增解，因此要结合题目中隐含条件进行判断. 正解由正弦定理，得 2 222 csinC =, asin A 又C=2A, csin2A33 =2cosA=2， asin A42 222 又a+c=10,a=4,c=6. 由余弦定理，得a=b+c-2bccosA, b-9b+20=0

18、, b=4 或b=5. 当b=4 时，a=4,A=B, 又C=2A,且A+B+C=, A= 2 3 ,这与已知 cosA=矛盾，不合题意，舍去. 44 课堂巩固训练课堂巩固训练 当b=5 时，满足题意，b=5. 一、选择题 1.在ABC中，若abc,且ca+b,则ABC为（） A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形D.不存在 答案B 222 222 解析abc,且ca+b,C为锐角.又C为最大角.故选 B. 2.ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b=ac，且c=2a,则 cosB=（） A. 2 13 B. 44 22 D. 43 2 C. 答案B a2 c2

19、b2a2 4a2 a2a3 解析由b=ac，又c=2a，由余弦定理，得 cosB= =. 2a2a2ac4 3.（2011四川理，6）在ABC中，sinAsinB+sinC-sinBsinC,则A的取值范围是 () A.(0, 222 B.,) 66 D.,) 33 222 C.(0, 答案C 解析本题主要考查正余弦定理，sinAsinB+sinC-sinBsinC, b2 c2 a2bc1 由正弦定理得：ab+c-bc，即b+c-abc，由余弦定理得：cosA=，0bc, 最大角为A.sinA= 钝角. cosA=- 3 ，若A为锐角，则A=60，又CBA,A+B+C180，这显然不可能，A

20、为 2 1 , 2 22 设c=x,则b=x+2,a=x+4. 1x2x 2x 4 =-， 22xx 2 x=3，故三边长为 3，5，7. 三、解答题 22 6.在ABC中，已知b-bc-2c=0,且a= 6,cosA= 7 ,求ABC的面积. 8 解析b-bc-2c=0,( 22 b 2 b ) -2=0, cc 解得 b 22222 7 =2,即b=2c.由余弦定理，得a=b+c-2bccosA,即b+c-bc=6,与b=2c c4 7 , 8 联立解得b=4,c=2.cosA= sinA= 1cos2A= SABC= 15 , 8 151 bcsinA=. 22 课后强化作业课后强化作业

21、 一、选择题 1.在ABC中，b=5,c=5 3,A=30,则a等于（ ） A.5B.4C.3D.10 答案A 解析由余弦定理，得 2bccosA=b+c-a, 255 3cos305 （53） -a,222 2 222 a=25,a=5. 2.在ABC中，已知a=b+c+bc,则角A为（） A. 222 22 B.C.D.或 33363 222 答案C 解析a=b+c+bc, b2 c2 a2b2 c2b2cbc cosA=, 2bc2bc 又0A,A= 2 2 . 3 3.在ABC中，若 a= 3+1,b=3-1,c=10,则ABC的最大角的度数为（ ） A.60B.90C.120D.15

22、0 答案C 解析显然 103+13-1, cosC= 3 1 3 1 10 23 13 1 222 =- 21 ,C=120. 42 4.ABC的三内角A、B、C所对边长分别为a，b，c,设向量p p=(a+c,b),q q=(b-a,c-a).若p pq q,则C的大 小为 () A. 2 B.C.D. 3632 答案B 解析p p=(a+c,b), q q=(b-a,c-a)且p pq q， (a+c)(c-a)-b(b-a)=0， 即a+b-c=ab, 222 a2b2c2ab1 cosC=. 2ab2ab2 C= . 3 22 2 5.在ABC中，已知 2a=c+( 2b+c) ,则A

23、的值为（ ） A.30B.45C.120D.135 答案D 解析由已知得 2a=c+2b+c+2 2bc,2222 a=b+c+ 2bc,222 b+c-a- 2bc,222 又b+c-a=2bccosA, 2bccosA=- 2bc, cosA=- 222 2 , 2 22 A=135. 6.（2011重庆理，6）若ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a+b) -c=4，且C=60，则ab 的值为 () A. 42 B. 8-4 3 C.1D. 33 222 答案A 解析本题主要考查余弦定理的应用. 在ABC中，C=60,a+b-c=2abcosC=ab, (a+b) -c=a+b

24、-c+2ab=3ab=4,ab= 22222 4 ,选 A. 3 7.在ABC中，三边长AB=7,BC=5,AC=6,则ABBC等于 () A.19B.-14 答案D 解析在ABC中AB=7,BC=5,AC=6, 则 cosB= C.-18D.-19 49 253619 =. 25735 又ABBC=ABBCcos(-B) =-ABBCcosB 75 19 =-19. 35 8.在ABC中，若ABC的面积S= 1 222 (a+b-c)，则C为（） 4 A. B.C.D. 4632 111 222 (a+b-c),得absinC=2abcosC,tanC=1,C=. 4244 答案A 解析由S

25、= 二、填空题 9.在ABC中，b= 4 ,c=2 2,A=45,那么a的长为 . 3 答案 2 10 3 解析由余弦定理，得a=b+c-2bcosA= 222 21616416 16 72 4840 +8-22 2 =+8-=, 2939399 所以a= 2 10 . 3 10.在ABC中，AB=3,BC= 13,AC=4,则边AC上的高为 . 答案 3 2 3 2 3 解析如图，cosA= sinA= .BD=ABsinA= 1 42 13 ， 2234 2 3 . 2 3 2 3. 11.在ABC中，已知BC=8,AC=5,三角形面积为 12，则 cos2C= . 答案 7 25 解析由

26、题意得 SABC= 1 ACBCsinC=12, 2 即 13 58sinC=12,则 sinC=. 25 2 cos2C=1-2sinC=1-2（ 2 3 2 7 ） =. 525 12.在ABC中，B=60,b=ac,则三角形的形状为. 答案等边三角形 解析由余弦定理得b=a+c-ac, b=ac, a+c-2ac=0,(a-c) =0, a=c. 又B=60,A=C=60. 故ABC为等边三角形. 三、解答题 13.在ABC中，A+C=2B,a+c=8,ac=15,求b. 解析解法一：在ABC中，由A+C=2B，A+B+C=180，知B=60. 22 2 2 222 由a+c=8,ac=

27、15,则a、c是方程x-8x+15=0 的两根. 解得a=5,c=3 或a=3,c=5. 由余弦定理，得b=a+c-2accosB=9+25-235 b= 19. 解法二：在ABC中，A+C=2B,A+B+C=180， B=60. 由余弦定理，得b=a+c-2accosB=(a+c) -2ac-2accosB=8 -215-215 b 19. 14.(2011大纲文，18)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA+csinC- 2asinC=bsinB. (1)求B； （2）若A=75,b=2,求a,c. 分析 利用三角形正弦定理，将已知条件asinA+csinC- 2asinC=bsinB中的角转化为边，再利用余弦 定理即可求得B角，然后再利用正弦定理求得a，c的值. 解析 （1）asinA+csinC- 2asinC=bsinB a+c- 2ac=b2 2 2 22 2 222 22 222 2 1 19. 2 1 19. 2 a+c-b= 2ac 2aca2 c2b22 cosB= 2ac22ac B=45 (2)由(1)得B=45 C=180-A-B=180-75