高中数学课题之导数及其应用

1、导数及其运用 知识网络知识网络 导数的定义 导数的概念 导数的物理及几何意义 基本初等函数的导数公式 导数 导数的运算 导数的四则运算法则及复合函数的导数 函数的单调性研究 导数的应用函数的极值与最值研究 最优化问题 计算定积分 定积分与微积分 的基本定理 定积分的应用 第第 1 1 讲讲导数的概念及运算导数的概念及运算 知知 识识 梳理梳理 1.用定义求函数的导数的步骤. （1）求函数的改变量y； （2）求平均变化率 yy .（3）取极限，得导数 f （x0）=lim. x0 xx 2.导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线 f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线

2、的 物理意义：若物体运动方程是s=s（t） ，在点 P（i0，s（t0） ）处导数的意义是 t=t0处 的 解析：斜率.；瞬时速度. 3. 几种常见函数的导数 nn1 ；(x ) nx（nR） ；c0（c为常数） (sin x) ；(cos x)； (ln x) 11 ； (log a x) logae； xx (ex)ex；(ax)axlna. 解析：cosx;sin x; 4.运算法则 求导数的四则运算法则： u (u v)uv；(uv) ； (v 0). v uvuv 解析：uvuv； 2v 复合函数的求导法则：f x (x) f (u)(x)或y x yuux 重重 难难 点点 突突

3、破破 1.1.重点重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法 2.2.难点：难点：切线方程的求法及复合函数求导 3.重难点：重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题. （1 1）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。 问题问题 1 1.比较函数f (x) 2与g(x) 3,当x1,2时,平均增长率的大小. 点拨:解题规律技巧妙法总结: 计算函数的平均增长率的基本步骤是 (1)计算自变量的改变量x x2 x 1 (2)计算对应函数值的改变量y f (x2) f (x2)

4、(3)计算平均增长率: xx yf (x 2 ) f (x 1) xx 2 x 1 y 1 22213231 x y 23,又对于g(x) 3,8对于f (x) 2, x 1 21x 2 21 x 故当x1,2时,g(x)的平均增长率大于f (x)的平均增长率. （2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则, 问题 2. 已知y (1 cos2x),则y . 点拨：点拨：复合函数求导数计算不熟练,其2x与x系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解 为:y 2sin2x(1 cos2x). 2 设y u,u 1cos2x,则 y x y u u x 2u(1 cos2x)

5、2u (sin 2x)(2x) 2 2u(sin2x)2 4sin2x(1 cos2x)y 4sin2x(1 cos2x). （3）求切线方程时已知点是否切点至关重要。 问题 3. 求y 2x2 3在点P(1,5)和Q(2,9)处的切线方程。 点拨：点拨：点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是 y 在x 1处的函数值； 点Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线 切忌切忌直接将P，Q看作曲线上的点 用导数求解。 y 2x23, y 4x. y x1 4 即过点P的切线的斜率为 4，故切线为：y 4x 1 设过点Q的切线的切点为T(x0, y0)，则切线的斜率

6、为4x0，又k PQ y09 ， x0 2 2x026 故 4x0，2x028x06 0.x01,3。 x0 2 即切线QT的斜率为 4 或 12，从而过点Q的切线为： y 4x 1, y 12x 15 热热 点点 考考 点点 题题 型型 探探 析析 考点考点 1 1: 导数概念 题型 1.求函数在某一点的导函数值 例 1 设函数f (x)在x0处可导，则lim x0 f (x 0 x) f (x 0 ) 等于 x Af (x0)B f (x0)Cf (x0)D f (x0) 【解题思路】由定义直接计算 解析lim x0 f (x 0 x) f (x 0 )fx 0 (x) f (x 0 )

7、lim f (x 0 ).故选B x0 x(x) 【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式lim x0 f (xx) f (x) f (x 0 ) x 考点 2.求曲线的切线方程 例 2(高明一中 20XX 届高三上学期第四次月考)如图，函数y f (x)的图象在点P处的切线方程是y x 8，则 f (5) f (5)= . 【解题思路】区分过曲线P处的切线与过P点的切线的不同，后者的P点不一定在曲线上 .解析:观察图形,设 P(5, f (5),过 P 点的切线方程为 y f (5) f (5)(x5)即y f (5)x f (5)5f (5) 它与y x 8重合,比较系数知:f (5) 1

8、, f (5) 3 故f (5) f (5)=2 【名师指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐 标 题型 3.求计算连续函数y f (x)在点x x 0 处的瞬时变化率 例 3一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10 s 内其运动方程是 s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5 时 的加速度. 【解题思路】计算连续函数y f (x)在点x x 0 处的瞬时变化率实际上就是y f (x)在点x x 0 处的导数. s(5t)s(5)(5t)252 lim 解析：加速度 v=lim t0t0 tt lim (10+t)=1

9、0 m/s. t0 加速度 v=2t=25=10 m/s. 【名师指引】计算连续函数y f (x)在点x x 0 处的瞬时变化率的基本步骤是 yf (x 0 x) f (x 0 ) xx y 2. 计算lim x0 x 1. 计算 【新题导练】. 1 2 和y x在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 . x 1 2 解析：曲线y 和y x在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是 y=x+2 和 y=2x1，它们与x轴所围 x 3 成的三角形的面积是. 4 1.1. 曲线y 点拨:与切线有关的问题,应有运用导数的意识,求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可. 2.2. 某质点

10、的运动方程是S t (2t 1)，则在 t=1s 时的瞬时速度为 2 （） A1 x0 B3C7D13 解:B点拨:计算lim ss(1t)s(1)即可 tt 3.3. 已知曲线 C1:y=x2与 C2:y=(x2)2,直线 l 与 C1、C2都相切，求直线 l 的方程. 解：设 l 与 C1相切于点 P(x1,x12),与 C2相切于 Q(x2,(x22)2) 对于 C1：y=2x,则与 C1相切于点 P 的切线方程为 yx12=2x1(xx1),即 y=2x1xx12 对于 C2：y=2(x2),与 C2相切于点 Q 的切线方程为 y+(x22)2=2(x22)(xx2),即 y=2(x2

11、2)x+x224 两切线重合，2x1=2(x22)且x12=x224,解得 x1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0 直线 l 方程为 y=0 或 y=4x4 点拨:利用解方程组求交点,利用直线间的位置和待定系数法求斜率. 考点 2导数的运算 题型题型 1:1:求导运算求导运算 例 1 求下列函数的导数： （1） y e cosx （2）y x tan x（3）y ln(x1) 【解题思路】按运算法则进行 解析 （1）Q y e cosx,y e 2 x2 x cosxe (cosx) e x xxcosxexsin x （2）Q y x tan x,y x 2 sin x cos2xsin

12、 x(sin x) () 2x 2cosxcos x 2x 1 cos2x 11 （3）y (x1) x1x1 x 【名师指引】 注意复合函数的求导方法（分解求导回代） ；注意问题的变通：如y xe的导数容易求错，但 y x 的导数不易求错. ex 题型题型 2:2:求导运算后求切线方程求导运算后求切线方程 例例 2.2. ( ( 广州市 20XX 届二月月考)已知函数f (x) 2 3x 2ax23x(xR R ). 3 （1）若a 1，点 P 为曲线y f (x)上的一个动点，求以点 P 为切点的切线斜率取最小值时的切线方程； （2）若函数y f (x)在(0,)上为单调增函数，试求满足条

13、件的最大整数a. 【解题思路】先按运算法则求导,再按几何意义求切线方程. 解析： （1）设切线的斜率为 k，则k f (x) 2x 4x 3 2(x 1) 1 又f (1) 22 55 ，所以所求切线的方程为：y x 1 即3x 3y 2 0. 33 【名师指引】求三次函数图象的切线在高考中经常出现. 与曲线y 1 2x 相切于 P(e,e)处的切线方程是（ D ） e Ay ex2 By ex2 Cy 2xe Dy 2xe 题型题型 3:3:求导运算后的小应用题求导运算后的小应用题 例例 3.3. 某市在一次降雨过程中 ,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y f (t

14、) 10t,则在时刻 t 40min的降雨强度为() 11 mm/minD.mm/min 24 【解题思路】先对t的求导,再代t的数值. A.20mmB.400mmC. 1 选 D 2 10t10t4004 【名师指引】求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率,即那一时刻的导数值. 【新题导练】. 解析:f (t) 1 10 5 , f (40) 5 4.4. 设函数f (x) x(xk)(x2k)(x3k)，且f (0) 6，则k A0 B-1 C3 D-6 思路分析: 按导数乘积运算法则先求导,然后由已知条件构造关于k的方程求解. 解 : f (x) (xk)(x2k)(x3k)+x(x2k)

15、(x3k)+x(xk)(x3k)+x(xk)(x2k) 故f (0) 6k3又f (0) 6,故k 1 5.5. 设函数f (x) (xa)(xb)(xc)， （a、b、c是两两不等的常数） ， 则 abc f (a)f (b)f (c) 解析:f (x) (xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)代入即得 0. 6.6. 质量为10kg的物体按s(t) 3t2t 4的规律作直线运动,动能E 解析:先求瞬时速度后,再代入公式求解提 3125J 抢抢 分分 频频 道道 基础巩固训练基础巩固训练 1.1. ( 广 东 省 六 校 20XX 届 高 三 第 二 次 联 考 试 卷 )f (x)

16、是 f (x) 是 解析: f (x) x 2故f (1)=3 2.2. (广东省 20XX 届六校第二次联考)y xcosx在x 2 1 2 mv,则物体在运动4s后的动能是 2 1 3x 2x1 的 导 函 数 ， 则f (1)的 值 3 3 处的导数值是_. 解析：y cosx xsin x故填 13 26 上求一点 P，当PAB3. 已知直线 x+2y4=0 与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点，O 是坐标原点，P 是抛物线的弧 面积最大时，P 点坐标为. 解析：|AB|为定值，PAB面积最大，只要 P 到 AB 的距离最大，只要点 P 是抛物线的平行于 AB 的切线的切点， 设

17、 P（x,y）.由图可知，点 P 在 x 轴下方的图象上 y=2 x,y= 1111 ,kAB=, 22xx x=4,代入 y2=4x(y0)得 y=4.P(4,4) 17 4.(广东省深圳市 20XX 年高三年级第一次调研考试)已知 f (x) lnx ，g(x) x2mx（m 0） ， 直线l与函数 f (x) 、 22 g(x) 的图像都相切，且与函数 f (x) 的图像的切点的横坐标为1求直线l的方程及m的值； 解：依题意知：直线l是函数f (x) lnx在点(1,0)处的切线，故其斜率 1 k f (1)1， 1 所以直线l的方程为y x1 又因为直线l与g(x)的图像相切，所以由

18、y x1 1 2 9 1 2 7 x (m1)x 0， 22y x mx 22 得 (m1)29 0 m 2（m 4不合题意，舍去） ； 5.( (湛江市实验中学湛江市实验中学 20XX20XX 届高三第四次月考届高三第四次月考) ) 已知函数f (x) ln x,g(x) 1 2x a(a为常数),直线l与函数f (x),g(x)的图象都相切，且l与函数f (x)图象 2 的切点的横坐标为 1,求直线l的方程及a的值； 解由f (x) | x1 1，故直线l的斜率为 1，切点为(1, f (1) 即（1，0）l : y x 1 又g(x) x 1, 1 切点为(1, a) 2 1 a 2 1

19、1 比较和的系数得 a 1,a 22 l : y ( a) x 1 即y x 综合拔高训练综合拔高训练 6. 对于三次函数f (x) ax bx cxd(a 0)，定义：设f (x)是函数y f (x)的导函数y f (x)的导数，若 32 f (x) 0有实数解x 0，则称点(x0 , f (x 0 )为函数y f (x)的“拐点” 。现已知f (x) x 3x 2x2,请解答下列 1 2 32 问题: （1）求函数f (x)的“拐点”A 的坐标; （2）求证f (x)的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结 论不要求证明）. 解析（1）f (

20、x) 3x 6x2，f (x) 6x6.令f (x) 6x6 0得 x 1，f (1)1 322 2.拐点A(1,2) 32 （2）设P(x0, y0)是y f (x)图象上任意一点， 则y 0 x 0 3x 0 2x 0 2，因为P(x 0 , y 0 )关于A(1,2)的对称点 2 3 为P(2 x0,4 y0)，把 P 代入y f (x)得 32 左边 4 y0 x 0 3x 0 2x 0 2, 3232 右边 (2 x 0 ) 3(2 x 0 ) 2(2 x 0 )2 x 0 3x 0 2x 0 2 右边=右边P(2 x 0,4 y0 )在y f (x)图象上y f (x)关于 A 对

21、称 7.已知定义在正实数集上的函数f (x) 公共点，且在公共点处的切线相同。 （1）若a 1，求b的值； （2）用a表示b，并求b的最大值。 解： （1）设y f (x)与y g(x)(x 0)在公共点(x0, y0)处的切线相同 1 2x 2ax,g(x) 3a2ln xb，其中a 0。设两曲线y f (x), y g(x)有 2 f (x) x2,g(x) 3 x 1 2x 0 2x 0 3ln x 0 b 2 由题意知f (x0) g(x0), f (x0) g (x0)， 3 x 0 2 x 0 由x02 即有b 3 得，x01，或x0 3（舍去） x 0 5 2 （2）设y f (

22、x)与y g(x)(x 0)在公共点(x0, y0)处的切线相同 3a2 f (x) x2a,g(x) x 1 22x 2ax 3a ln x 0 b 00 2 由题意知f (x0) g(x0), f (x0) g (x0)， 23a x 0 2a x 0 3a2 由x 0 2a 得，x0 a，或x0 3a（舍去） x 0 1 2 5 a 2a23a2lna a23a2lna 22 5 令h(t) t23t2lnt(t 0)，则h(t) 2t(13ln t)，于是 2 即有b 当2t(13ln t) 0，即0 t e时，h(t) 0； 当2t(13ln t) 0，即t e时，h(t) 0 1

23、3 1 3 1 3 2 3 2 3 故h(t)在(0,)的最大值为h(e ) e3，故b的最大值为e3 22 32 8. 设三次函数f (x) ax bx cxd(a b c),在x 1处取得极值，其图象在x m处的切线的斜率为3a。求 证：0 b 1； a 2 解：()方法一、f (x) 3ax 2bx c . 由题设，得f (1) 3a2bc 0 f(m) 3am22bmc 3a a bc，6a 3a2bc 6c，a 0,c 0。 由代入得3am2 2bm2b 0， 4b2 24ab 0， 得( ) b a 2 6bbb 0, 6或 0 aaa b 1 a 将c 3a2b代入a b c中，

24、得1 由、得0 b 1； a 方 法 二 、 同 上 可 得 ： 1）3a2bc 0（ 将 （ 1 ） 变 为 ：3a 2bc代 入 （ 2 ） 可 得 ： 23m a2bm3ac 0（2） m2cm2cb 2b 2 0，所以a b 0，则0 1 m m1 (m 1 )2 3 a 24 1）3a2bc 0（ 3am22b(m1) 0， 方法三： 同上可得：将 （1） 变为：（2） 可得：c 3a2b代入 2 3m a2bm3ac 0（2） b3m2 显然m 1，所以 a1m 因为f (x) 3ax 2bx c图象的开口向下，且有一根为x1=1 由韦达定理得x 1 x 2 2 cc ,x2 0

25、x 1 3a3a b3m2cb 0，由a bc得：1f (m) 3a 0,所以m(,1)，即m 1，则 a1m3aa 所以：0 b 1 a 第第 2 2 讲讲导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 知知 识识 梳理梳理 1. 函数的单调性与导数的关系 一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间(a,b)内，如果f (x)0，那么函数yf(x)在这个区间内；如果f (x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内 . 解析：单调递增；单调递减 2. 判别 f (x0)是极大、极小值的方法 若x 0 满足f (x0) 0，且在x 0 的两侧f(x)的导数异号， 则x 0 是f(x

26、)的极值点，f(x 0 )是极值， 并且如果f (x) 在x 0 两侧满足“左正右负” ，则x 0 是f(x)的，f(x 0 )是极大值；如果f (x)在x 0 两侧满足“左负右正” ，则 x 0 是f(x)的极小值点，f(x 0 )是 解析：极大值点；极小值. 3解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤: (1) 确定函数的定义区间，求导数f(x). (2) 求方程 f ( x)=0的根. (3) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查 f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x)

27、在这个根处 取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值. 4求函数最值的步骤： （1）求出f(x)在(a,b)上的极值. （2）求出端点函数值f(a),f(b). （3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值. 重重 难难 点点 突突 破破 1.1.重点重点：熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路，熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值的方法 2.2.难点：难点：与参数相关单调性和极值最值问题 3.重难点：借助导数研究函数与不等式的综合问题重难点：借助导数研究函数与不等式的综合问题 （1）在求可导函数的极值时，应注意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。 问

28、题问题 1.1. 设a0，f(x)x1ln2x2alnx(x0)令F (x)xf(x)，讨论F (x)在(0 ， )内的单调性并求极值； 点拨:根据求导法则有f (x) 1 2lnx2a，x 0， xx 2x2，x 0， xx x F(x) 故F (x) xf(x)x2lnx2a，x0，于是F (x) 1 列表如下： (0 ， 2) 2 (2 ，) 2)内是减函数，在(2 ，)内是增函数，所以，在x2处 故知F (x)在(0 ， 取得极小值F (2) 22ln22a （2 2）借助导数处理函数的单调性，进而研究不等关系关键在于构造函数）借助导数处理函数的单调性，进而研究不等关系关键在于构造函数

29、. . 减 0 极小值F (2) 增 F (x) 问题问题 2.2.已知函数f(x)是(0, )上的可导函数，若xf(x)f(x)在x0时恒成立. （1）求证：函数g(x) f (x) 在(0,)上是增函数； x （2）求证：当x1 0,x2 0时，有f (x1 x2) f (x1 x2). 点拨:由xf (x) f (x)转化为 f (x) 为增函数是解答本题关键.类似由 x xf (x) f (x) 0转化为xf (x)为增函数等思考问题的方法是我们必须学会的. f (x)xf (x) f (x) 得g(x) ,因为xf (x) f (x)， 2xx f (x) 所以g(x) 0在x 0时

30、恒成立，所以函数g(x) 在(0,)上是增函数. x f (x) （2）由（1）知函数g(x) 在(0,)上是增函数，所以当x1 0,x2 0时， x （1）由g(x) 有 f (x 1 x 2 )f (x 1 )f (x 1 x 2 )f (x 2 ) , 成立， x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 2 x 1 x 2f (x 1 x 2 ), f (x 2 ) f (x 1 x 2 ) x 1 x 2 x 1 x 2 从而f (x1) 两式相加得f (x1 x2) f (x1) f (x2) 热热 点点 考考 点点 题题 型型 探探 析析 考点考点 1 1: 导数与函数的单调性 题

31、型 1.讨论函数的单调性 1 ，x 1 例例 1(081(08 广东高考广东高考) )设kR R，函数f (x) 1 x，F(x) f (x)kx，xR R，试讨论函数F(x)的单调性 x1，x1 【解题思路】先求导再解f (x) 0和f (x) 0 1 kx, 1 x 【解析】F(x) f (x)kx x1kx, 对于F(x) 1 k, 2 x 1, (1 x) F (x) 1 k,x 1, 2 x1 x 1, x 1, 1 kx(x 1)， 1 x 当k 0时，函数F(x)在(,1)上是增函数； 当k 0时，函数F(x)在(,1 11 )上是减函数，在(1,1)上是增函数； kk 对于F(

32、x) 1 k(x 1)， 2 x1 当k 0时，函数F(x)在1,上是减函数； 当k 0时，函数F(x)在1,1 1 1 1, 上是减函数，在 上是增函数。 2 4k24k 【名师指引】解题规律技巧妙法总结: 求函数单调区间的一般步骤. （1）求函数f (x)的导数f (x)（2）令f (x) 0解不等式，得x的范围就是单调增区间;令f (x) 0解不等式，得 x的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论. 误区警示求函数单调区间时，容易忽视定义域，如求函数y ln(x1) 试，该题正确答案为(1,0). 题型 2.由单调性求参数的值或取值范围 例 2: 若f (x) ax x在区间1,1上

33、单调递增，求a的取值范围. 【解题思路】解这类题时,通常令f (x) 0(函数f (x)在区间a,b上递增)或 f (x) 0(函数f (x)在区间a,b上递减),得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解. 解析：Q f (x) 3ax 1又f (x)在区间1,1上单调递增 2 3 1 2x x的单调增区间，错误率高，请你一 2 f (x) 3ax21 0在1,1上恒成立 即a 11 在1,1的最大值为 xt 3x23 11 a 故a的取值范围为, 33 【名师指引】:本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系,要特别注意导数值等于零的用法. 题型 3.借助单调性处理不等关系 例 3

34、. 当x 0，求证e 1 x 【解题思路】先移项,再证左边恒大于 0 解析：设函数f (x) e (1 x) Q f (x) e 1 x0 当x 0时， e e 1， f (x) e 1 0故f (x)在0,)递增，当x 0时，f (x) f (0),又 x xx x f (0) e0(10) 0， f (x) 0，即ex(1 x) 0，故ex1 x 【名师指引】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性来证明 【新题导练】. 1. 若函数 f(x)=x3ax2+1 在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是 A.a3B.a=2C.a3D.0a0 恒成立，y=

35、x3+x 在(,+)上为增函数，没有减区间. 答案：A 3. 已知函数f (x) ln x,g(x) a (a 0),设F(x) f (x) g(x) x （）求函数F(x)的单调区间； （）若以函数y F(x)(x(0,3)图像上任意一点P(x0, y0)为切点的切线的斜率k 小值； 解析： （I）Fx f x gx ln x 1 恒成立，求实数a的最 2 a1axa x 0，F x 2 2 x 0 xxxx a 0，由Fx0 xa,， Fx在a,上单调递增。 由Fx0 x0,a，Fx在0,a上单调递减。 Fx的单调递减区间为0,a，单调递增区间为a,。 （II）F x xa 0 x 3，

36、2 x x 0 a11 2 a x x0 x 3 恒成立 00 0 22x 0 2 max k F x 0 1 2 1 x 0 x 0 取得最大值。 22 11 a ，amin 22 当x01时， 考点考点 2 2: 导数与函数的极值和最大(小)值. 题型 1.利用导数求函数的极值和最大(小)值 例 1. 若函数f (x) mcosx 1 sin2x在x 处取得极值,则m . 24 【解题思路】若在x0附近的左侧f (x) 0，右侧f (x) 0，且f (x0) 0,那么f (x0)是f (x)的极大值；若在x0附 近的左侧f (x) 0，右侧f (x) 0，且f (x0) 0,那么f (x0

37、)是f (x)的极小值. 解析因为f (x)可导,且f (x) msin xcos2x,所以f ( ) msin 44 cos 2 0,解得m 0.经验证当m 0 时, 函数f (x) 1 sin2x在x 处取得极大值. 24 【名师指引】 若f (x)是可导函数，注意f (x0) 0是x0为函数f (x)极值点的必要条件.要确定极值点还需在x0左右 判断单调性. 例 2 （2008深圳南中）设函数f (x) x(xa)（xR R） ，其中a 0，求函数f (x)的极大值和极小值 【解题思路】先求驻点，再列表判断极值求出极值。 解析：.f (x) x(xa) x 2ax a x， 2322 2

38、 f (x) 3x24axa2 (3xa)(xa) 令f (x) 0，解得x a 或x a 3 由于a 0，当x变化时，f (x)的正负如下表： x(, ) 3 aa 3 (，a) 3 a a(a,) f (x) 因此，函数f (x)在x a 00 aa4 3 处取得极小值f ()，且f ()a； 33327 函数f (x)在x a处取得极大值f (a)，且f (a) 0 【名师指引】求极值问题严格按解题步骤进行。 例 3. ( (广东省深圳外国语学校广东省深圳外国语学校 20XX20XX 届高三上学期第二次统测届高三上学期第二次统测) )已知函数f (x) xlnx. （）求f (x)的最小

39、值； （）若对所有x 1都有f (x) ax 1，求实数a的取值范围. 【解题思路】先求极值再求端点值,比较求出最大(小)值.当区间只有一个极大(小)值时,该值就是最大(小)值 解析：解析：f (x)的定义域为(0，+)， 1 分 f (x)的导数f (x) 1ln x. 3 分 11 ；令f (x) 0，解得0 x . ee 1 1 从而f (x)在0，单调递减，在 ，+单调递增. 5 分 e e 11 所以，当x 时，f (x)取得最小值. 6 分 ee （）解法一：解法一：令g(x) f (x)(ax1)，则g(x) f (x)a 1aln x，8 分 若a 1，当x 1时，g(x) 1

40、aln x 1a 0， 故g(x)在(1 ，+)上为增函数， 所以，x 1时，g(x) g(1)1a 0，即f (x) ax 1. 10 分 a1 若a 1，方程g(x) 0的根为 x 0 e ， 此时，若x(1 ，x0)，则g(x) 0，故g(x)在该区间为减函数. 令f (x) 0，解得x 所以x(1 ，x0)时，g(x) g(1)1a 0， 即f (x) ax 1，与题设f (x) ax 1相矛盾.13 分 综上，满足条件的a的取值范围是(， 1.14 分 解法二：解法二：依题意，得f (x) ax 1在1 ， )上恒成立， 1 ， )恒成立 . 8 分对于x1 x 11 1 1 1 令

41、g(x) ln x，则g(x) 2 1. 10 分 xxxxx 1 1 当x 1时，因为g(x) 1 0， xx ， )上的增函数， 所以g(x)的最小值是g(1)1， 13 分故g(x)是(1 1. 14 分所以a的取值范围是(， 即不等式a lnx 【名师指引】求函数f (x)在闭区间a,b上的最大值（或最小值）的步骤：求f (x)在a,b内的极大（小）值， 将极大（小）值与端点处的函数值进行比较，其中较大者的一个是最大者，较小的一个是最小者 题型 2.已知函数的极值和最大(小)值，求参数的值或取值范围。 例 3 （广东省六校 20XX 届高三第二次联考） 已知函数f x x ax bxc

42、 图像上的点P1,2处的切线方程为y 3x1 32 （1）若函数f x在x 2时有极值，求 fx的表达式 （2）函数f x在区间2,0上单调递增，求实数b 的取值范围 【解题思路】求函数的解析式一般用待定系法法，求参数的取值范围一般需建立关于参数的不等式（组） 解析：f x 3x22axb， -2分 因为函数f x在x 1处的切线斜率为-3， 所以f 1 32ab 3，即2ab 0 ，-3分 又f 1 1abc 2得abc 1。-4分 （1）函数f x在x 2时有极值，所以 f 2 124ab 0，-5 分 解得a 2,b 4,c 3，-7分 所以f x x 2x 4x3 -8分 32 （2）

43、因为函数f x在区间2,0上单调递增，所以导函数 fx 3x2bxb 在区间2,0上的值恒大于或等于零，-10分 则 f 2 122bb 0, 得b4，所以实数b的取值范围为4,-14 分 f 0 b 0, 【名师指引】已知f (x)在x x0处有极值，等价于f (x) 0。 【新题导练】 4y x 2x3在区间a,2上的最大值为 A. 2 3 2 B. 1 2 15 ，则a=（） 4 113 C. D.或 222 15151 ，解之a 或a 1且在x a时，y 最大 a22a3 ， 442 解析：选 B Q y (x1)2 4在a,2上的最大值为 31 a （舍去） ，a 选 B. 22 5

44、f (x) x 3x 2在区间1,1上的最大值是 A2B0C2D4 2 解析f (x) 3x 6x 3x(x2)，令f (x) 0可得x 0或2（2 舍去） ，当1 x 0时，f (x)0，当0 x 1 32 时，f (x)0，所以当x 0时，f（x）取得最大值为 2.选 C 6已知函数f (x) ax cxd(a 0)是R上的奇函数，当x 1时f (x)取得极值2. （1）求f (x)的单调区间和极大值； （2）证明对任意x 1,x2 (1,1),不等式| f (x 1) f (x2 )| 4恒成立. 解析（1）由奇函数定义，有f (x) f (x),xR.即 ax cxd ax cxd,d

45、 0.因此， 33 3 f (x) ax3cx,f (x) 3ax2c. 由条件f (1) 2为f (x)的极值，必有f (1) 0, 故 ac 2 3ac 0 ,解得a 1,c 3. 因此f (x) x33x, f (x) 3x23 3(x1)(x1),f (1) f (1) 0. 当x(,1)时，f (x) 0，故f (x)在单调区间(,1)上是增函数. 当x(1,1)时，f (x) 0，故f (x)在单调区间(1,1)上是减函数. 当x(1,)时，f (x) 0，故f (x)在单调区间(1,)上是增函数. 所以，f (x)在x 1处取得极大值，极大值为f (1) 2. （2）由(1)知，

46、f (x) x33x(x1,1)是减函数，且 f (x)在1,1上的最大值为M f (1) 2,最小值为m f (1) 2. 所以，对任意x 1,x2 (1,1),恒有| f (x 1) f (x2 )| M m 2(2) 4. 方法技巧善于用函数思想不等式问题,如本题| f (x 1) f (x2 )| f (x) max f (x) min . 抢抢 分分 频频 道道 基础巩固训练基础巩固训练 1 1 （广东省六校 20XX 届高三第二次联考试卷） y 函数f (x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f (x)在(a,b) y=f(x) 数f (x)在(a,b)内有极小值点共有（） b a

47、 ox A1 个 B2 个 C 3 个 解析：观察图象可知，只有一处是先减后增的，选解析：观察图象可知，只有一处是先减后增的，选 A A 2 2 、函数y 13x x3有（） A. 极小值1，极大值 1B. 极小值2，极大值 3 C. 极小值2，极大值 2D. 极小值1，极大值 3 内的图象如图所示，则函 D 4 个 解析：y 33x 3(1 x)(1 x)，令y 0得x 1, 2x 1 当x 1时，y 0；当1 x 1时，y 0；当x 1，y 0 x 1时，y 极小 1，当x 1y 极大 3，故选 D. D.0 3 3函数 y=f(x)=lnxx,在区间(0,e上的最大值为 A.1eB.1C

48、.e 解析：y= 1 1,令 y=0,即 x=1,在(0，e上列表如下： x x(0,1)1 +0y y增函数极大值1 由于 f(e)=1e,而11e,从而 y最大=f(1)=1. 答案：B (1,e) 减函数 e 1e 4 4( (广东深圳外国语学校广东深圳外国语学校 2008200820092009 学年高三第二次月考学年高三第二次月考) )若a 1，求函数f (x) 调区间. 解析f (x) x ln(x a)(x(0,)的单 1 2 x 1 1 , x a 1 2 x x a 4x (x a)2, x a 令f (x) 0,得 2 x f (x) 0 x2 (2a 4)x a2 0,

49、同样, f (x) 0 x2(2a 4)x a2 0, 22 (2a 4) 4a 16(1a), （当a.1 时，对 x（0，+）恒有f (x)0，当a.1 时，f(x)在（0，+）上为增函数； 5 5 （汕头市金山中学 20XX 届高三上学期 11 月月考）已知函数f（x）=ax+3xx+1，问是否存在实数 a，使得f（x） 在（0，4）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。 2 解： f （x）=3ax+6x1. 要使 f（x）在0，4递减，则当 x（0，4）时， f （x）0。 32 a 0 a 0 f (0) 0 a 0 或 f (0) 0或f (4) 0，解得a3.

50、0 f (4) 0 1 4或 1 0 aa 综合拔高训练综合拔高训练 6 （东莞高级中学 20XX 届高三上学期 11 月教学监控测试）已知函数f(x)=ax +bx 3x 在 x=1 处取得极值. （）求函数 f(x)的解析式； （）求证：对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|4； （）若过点 A（1，m） （m2）可作曲线 y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围. 解： （I）f(x)=3ax +2bx3，依题意，f(1)=f(1)=0， 2 32 即 3a 2b 3 0, 2 分 3a 2b 3 0 解得 a=1，b=0. f(x)=x 3x.4

51、 分 （II）f(x)=x 3x,f(x)=3x 3=3(x+1)(x1)， 当1x1 时，f(x)0，故 f(x)在区间1，1上为减函数， fmax(x)=f(1)=2，fmin(x)=f(1)=26 分 对于区间1，1上任意两个自变量的值 x1，x2， 都有|f(x1)f(x2)|fmax(x) fmin(x)| |f(x1)f(x2)|fmax(x)fmin(x)|=2(2)=48 分 （III）f(x)=3x 3=3(x+1)(x1)， 曲线方程为 y=x 3x，点 A（1，m）不在曲线上. 3 设切点为 M（x0，y0） ，则点 M 的坐标满足y 0 x 0 3x 0 . 2 因f

52、(x0) 3(x01)，故切线的斜率为 3 2 32 3 3x 0 3x 0 m ，3(x 1) x 0 1 2 0 32 整理得2x03x0 m 3 0. 过点 A（1，m）可作曲线的三条切线， 32 关于x0方程2x03x0 m 3=0 有三个实根.10 分 322 设 g(x0)=2x03x0 m 3，则 g(x0)=6x0 6x0， 由 g(x0)=0，得x0=0 或x0=1. g(x0)在（，0） ， （1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减. 32 函数 g(x0)=2x03x0 m 3的极值点为 x0=0，x0=112 分 32 关于 x0方程2x03x0 m 3=0 有三个

53、实根的充要条件是 g(0) 0 ，解得3m2. g(1) 0 故所求的实数 a 的取值范围是3m2.14 分 7 （广东省北江中学 20XX 届高三上学期 12 月月考 ） 已知f (x) ax ln x,x(0,e,g(x) ln x ，其中e是自然常数，aR. x （）讨论a 1时, f (x)的单调性、极值； （）求证：在（）的条件下，f (x) g(x) 1 ; 2 （）是否存在实数a，使f (x)的最小值是 3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 解： （）f (x) x ln x，f (x) 1 / 1x 1 1 分 xx 当0 x 1时，f (x) 0，此时f (x)单调递

54、减 当1 x e时，f (x) 0，此时f (x)单调递增3 分 f (x)的极小值为f (1) 14 分 （）f (x)的极小值为 1，即f (x)在(0,e上的最小值为 1， f (x) 0，f (x)min15 分 令h(x) g(x) / 1ln x11ln x ，6 分，h(x) 2x2x 当0 x e时，h(x) 0，h(x)在(0,e上单调递增7 分 h(x) max h(e) 1111 1| f (x)| min e222 1 9 分 2 在（1）的条件下，f (x) g(x) （）假设存在实数a，使f (x) ax ln x（x(0,e）有最小值 3， f/(x) a 1ax

55、 1 9 分 xx 4 （舍去） ，所以，此时f (x)无最小 e 当a 0时，f (x)在(0,e上单调递减，f (x) min f (e) ae 1 3 ，a 值.10 分 当0 111 e时，f (x)在(0,)上单调递减，在(,e上单调递增 aaa 1 f (x) min f ( ) 1 lna 3，a e2，满足条件. 11 分 a 当 14 ，所以，此时f (x)无最小 e时，f (x)在(0,e上单调递减，f (x) min f (e) ae 1 3 ，a （舍去） ae 2 值.综上，存在实数a e，使得当x(0,e时f (x)有最小值 3. 8(潮南区 0809 学年度第一学

56、期期末高三级质检)已知函数f (x) (1) 求 f(x)的单调区间； (2) 证明：lnx0，f(x)在(0,)上递增 x 1 aln x（aR） 1ax2a x1 2 x1x2x x1 222 当a 0时，令x 2a x1得x 4a x4a 0解得： ，故在(0,2a22a a21)上f (x)0，f(x)递增. （2）由（1）知g(x) x1ln x在(0,2 2 2)内递减，在(2 2 2, )内递增. g(x)min g(22 2) 12 ln(22 2) 故 x1ln x 12 ln(2 2 2)，又因22 2 5 e2 2 1 0，得x1 ln x 2 故1 2 ln(2 2 2

57、) 12 lne 第 3 讲 导数的实际应用 知知 识识 梳理梳理 利用导数解决生活、生产优化问题，其解题思路是： 优化问题函数模型 优化问题的解 解决数学问题 重重 难难 点点 突突 破破 1.1.重点重点：利用于数学知识建立函数模型，借助于导数解决最优化问题。 2.2.难点：难点：建模的过程 3.重难点：重难点：认真审题，建立数学模型，解决与函数有关的最优化问题. （1）关注由导数的定义和物理意义处理实际应用问题 问题 1：路灯距地平面为8m,一个身高为1.6m的人以84m/min的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿 某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v. 点拨：利用导数的物理意义解决 设路灯距地平面的距离为DC，人的身高为EB.设人从C点运动到B处路程为x米，时间为t(单位：秒)，AB