高考真题理科数学解析汇编：概率

1、20122012 年高考真题理科数学解析汇编：概率年高考真题理科数学解析汇编：概率 一、选择题 1 （2012 年高考（辽宁理） ）在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点C 现作一矩形,领边长分 别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积小于 32cm 的概率为 A 2 （） D 1 6 B 1 3 C 2 3 4 5 2 （2012 年高考 （湖北理） ）如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概 率是（） A1 C 2 11 B 2 2 D 1 3 （2012 年高考（广东理） ）(概率)从个位数与十位数之

2、和为奇数的两位数中任取一个,其 个位数为 0 的概率是 A （） 4 9 B 1 3 C 2 9 D 1 9 D在区域 0 x 2 4 （2012 年高考（北京理） ）设不等式组表示的平面区域为 0 y 2 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2 的概率是（） A 4 B 2 2 C 6 4 D 5 4 4 5 （2012 年高考 （上海理） ）设10 x 1 x 2 x 3 x 4 10,x 5 10. 随机变量 1 取值x 1 、 x 2 、x3、x4、x5的概率均为 0.2,随机变量 2 取值 的概率也为 0.2. 若记D1、D2分别为1、 2 的方差,则 AD1D2.BD1=

3、D2. x1x2 2 、 x2x3 2 、 x3x4 2 、 x4x5 2 、 x5x1 2 （） CD1D2而迅即攻下此题. 二、填空题 6. 解析 设概率p=k,则n C3C3C3 27,求k,分三步:选二人,让他们选择的 n 21 项目相同,有C3种;确定上述二人所选择的相同的项目 ,有C3种;确定另一人所选 222 211 的项目,有C2种. 所以k C3. 2C 3 C 2 18,故p=18 273 1 7. 14 15 3 . 5 8.【答案】 【考点】等比数列,概率. 【解析】以 1 为首项,3为公比的等比数列的10 个数为1,-3,9,-27,其中有5 个负数,1 个正数1 计

4、 6 个数小于8, 从这10 个数中随机抽取一个数 ,它小于8 的概率是 9.【解析】使用寿命超过1000 小时的概率为 63 =. 105 3 8 2 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,50 ) 得:三个电子元件的使用寿命超过1000 小时的概率为p 1 2 3 4 2 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率P 1(1 p) 1 那么该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为p 2 p 1 p 三、解答题 3 8 10.【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事件的相互独立性、 离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识

5、解决简单实际问题 的能力. 依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 12 ,去参加乙游戏的概率为.设 33 “ 这4个 人 中 恰 有 人 去 参 加 甲 游 戏 ” 为 事 件A i (i 0,1,2,3,4) , 则 i 1 i 2 4iP(A i ) C 4 ( ) ( ). 33 2 (1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为P(A 2 ) C 4 ( )2( )2 1 3 2 3 8 . 27 (2)设“这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件B,则 B A 3 A 4 ,由于A 3 与A 4 互斥,故 1 3 1 3 2 4 1 4P(B)

6、 P(A 3 ) P(A 4 ) C 4 ( ) ( )C 4 ( ) 3339 所以这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 1 . 9 (3)的所有可能的取值为0,2,4,由于A 1 与A 3 互斥,A 0 与A 4 互斥,故 P(0) P(A 2 ) 所以的分布列为 84017 ,P(2) P(A 1)P(A3) ,P(4) P(A 0)P(A4) 278181 p 024 840 2781 84017148 随机变量的数学期望E 0.24 27818181 17 81 【点评】 应用性问题是高考命题的一个重要考点,近年来都通过概率问题来考查,且常考 常新,对于此类考

7、题,要注意认真审题,从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质, 将问题成功转化为古典概型,独立事件、 互斥事件等概率模型求解,因此对概率型应用性 问题,理解是基础,转化是关键. 11.【解析】(1)当n 16时,y 16(105) 80 当n 15时,y 5n5(16n) 10n80 得:y 10n80(n 15) (nN) (n 16) 80 (2)(i)X可取60,70,80 P(X 60) 0.1,P(X 70) 0.2,P(X 80) 0.7 X的分布列为 X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7 EX 600.1700.2800.7 76 DX 1620.1620.2420.

8、7 44 (ii)购进 17 枝时,当天的利润为 y (14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.54 76.4 76.4 76 得:应购进 17 枝 12.【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点. () X的可能取值有:3,4,5,6. 31C 5 C 5 2C 4 520 ;P(X 4) ;P(X 3) 3 342C 9 42C 9 123C 5C4 15C 4 2 ;.P(X 5) P(X 6) 334242C 9 C 9 故,所求X的分布列为 X P 3 5 42 4 2010 4221 5 155 4214 6 21 4221 () 所求X的数学期望

9、E(X)为: 613 E(X)= i P(X i) . 3 i 4 【答案】()见解析;() 13 . 3 13.【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,考查运用 概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响 ,注意应 用相互独立事件同时发生的概率公式. 解:设A k ,B k 分别表示甲、乙在第k次投篮投中,则 11 PA k ,PB k , k1,2,3 32 (1)记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的 概率计算公式知,PC PA 1 P A 1 B 1A2 P A 1 B 1 A 2 B 2 A 3

10、 PA 1 P A 1 P B 1 PA 2 P A 1 P B 1 P A 2 P B 2 PA 3 1211 2 11 3323 32 3 11113 392727 (2)的所有可能为:1,2,3 由独立性知:P1 PA 1 P A 1B1 22 1212 3323 22 211 2 12 P 2 P A 1 B 1 A 2 P A 1 B 1 A 2B2 323 3 2 9 2 11 P 3 P A 1 B 1 A 2 B 2 3 2 9 22 综上知,有分布列 P 123 2 3 22113 从而,E123(次) 3999 1491 P= ,解得 P=4 分 10505 1 0 1 3

11、 (2)由题意,P(=0)=C（） 3 101000 127 1 1 2 P(=1)=C（） （1） 3 10101000 1 2 243 2 1 P(=2)=C（） （1） 3 10101000 1 3 729 3 1 0 P(=3)=C（） （1） 3 10101000 1 1-P(C)=1- 所以,随机变量的概率分布列为: 2 9 1 9 14.解析(1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么 P 0123 1 1000 27 1000 243 1000 729 1000 故随机变量 X 的数学期望为: E=00 12724372927 .1 23 100010001000100

12、010 点评本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、 数学期望等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力. 15.解析:设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布列如下: Y P 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1 (1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4 分钟开始办理业务”,则事件A 对应三种情形: 第一个顾客办理业务所需的时间为1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3 分 钟;第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1 分钟;第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2 分钟

13、. 所以P(A) P(Y 1)P(Y 3) P(Y 3)P(Y 1) P(Y 2)P(Y 2) 0.10.30.30.10.40.4 0.22 (2)解法一X所有可能的取值为0,1,2 X 0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2 分钟, 所以P(X 0) P(Y 2) 0.5 X 1对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时 间超过 1 分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2 分钟. 所以P(X 1) P(Y 1)P(Y 1) P(Y 2) 0.10.90.4 0.49 X 2对应两个顾客办理业务所需时间均为1 分钟, 所以P(X 2) P(Y 1)P(Y 1

14、) 0.10.1 0.01 所以X的分布列为 X0 0.5 1 0.49 2 0.01P EX 00.510.4920.01 0.51 解法二X所有可能的取值为0,1,2 X 0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2 分钟, 所以P(X 0) P(Y 2) 0.5 X 2对应两个顾客办理业务所需时间均为1 分钟, 所以P(X 2) P(Y 1)P(Y 1) 0.10.1 0.01 P(X 1)1 P(X 0) P(X 2) 0.49 所以X的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01 EX 00.510.4920.01 0.51 16.解析:()P 31 2 1 1 1 27 ;

15、( ) C 2 4343 336 ()X 0,1,2,3,4,5 P(X 0) 11 2 13111 1 1 21 ( ) .P(X 1) ( )2,P(X 2) C 2 , 4336431243 39 3 1 1 21121321 P(X 3) C 2 ,P(X 4) ( )2,P(X 5) ( )2 43 33439433 012345X P1111 361293 111111415 EX=0+1+2+3+4+5= 3. 361293931212 17.【答案及解析】 1 9 1 3 (I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而22列联表如 下: 由 22 列联

16、表中数据代入公式计算,得: 因为 3.0303.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关. (II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25,将频率视为概率,即从观众中 抽取一名“体育迷”的概率为 1 ,由题意, 4 ,从而 X 的分布列为: 【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、 独立性检验、离散型随机变量的分布 列,期望E(X)和方差D(X),考查分析解决问题的能力、 运算求解能力,难度适中.准确 读取频率分布直方图中的数据是解题的关键. 18. 【解析】 3 解:(1)从 6 个点中随机地选取 3 个点共有C 6 20种选法,选取的 3 个点与原点 O 在同 13

17、一个平面上的选法有C 3C4 12种,因此 V=0 的概率P(V 0) 123 205 (2)V 的所有可能值为0, V0 1 1 2 4 ,因此 V 的分布列为 6 3 3 3 1124 6333 P 3 5 1 20 3 20 3 20 1 20 由 V 的分布列可得: EV=0 3111323419 562032032032040 【点评】 本题考查组合数,随机变量的概率,离散型随机变量的分布列、 期望等. 高考中, 概率解答题一般有两大方向的考查.一、 以频率分布直方图为载体,考查统计学中常见的 数据特征:如平均数,中位数,频数,频率等或古典概型;二、 以应用题为载体,考查条件概 率,

18、独立事件的概率,随机变量的期望与方差等.来年需要注意第一种方向的考查. 19.【答案】 解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体 8 个顶点中的一个,过任意 1 个顶点恰 有 3 条棱, 共有8C 3 2对相交棱. 8C 3 2 834 P( 0)= 2 . C 12 6611 (2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或2,其中距离为2的共有6 对, P(2)= 661416 P(1)=1 P(0) P(2)=1=., 2C 12 66111111 11 随机变量的分布列是 : P() 01 2 46 1111 6162 其数学期望E()=12=. 111111 1 11 【考点】概率分布、数

19、学期望等基础知识. 【解析】(1)求出两条棱相交时相交棱的对数 ,即可由概率公式求得概率P( 0). (2)求出两条棱平行且距离为2的共有6 对,即可求出P(2),从而求出P(1)(两 条棱平行且距离为1 和两条棱异面),因此得到随机变量的分布列 ,求出其数学期望 . 20.【解析】(1)由已知,得25 y 10 55,x y 35,所以x 15, y 20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的 100 位顾客一次购物的 结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得 153303251 , p(X 1.5) , p(X 2) , 10020100101004 2

20、01101 p(X 2.5) , p(X 3) . 100510010 X的分布为 p(X 1) X P X 的数学期望为 11.522.53 3 20 3 10 1 4 1 5 1 10 E(X) 1 33111 1.522.531.9. 20104510 ()记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2 钟”,X i (i 1,2)为该顾客前面第 位顾客的结算时间,则 P(A) P(X 1 1且X 2 1) P(X 1 1且X 2 1.5) P(X 1 1.5且X 2 1). 由于顾客的结算相互独立,且X1,X 2 的分布列都与 X 的分布列相同,所以 P(A) P(X 1 1)P(X 2

21、1) P(X 1 1)P(X 2 1.5) P(X 1 1.5)P(X 2 1) 3333339 . 20202010102080 9 . 80 故该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率为 【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、 分析问题能力.第一问中根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%知 25 y 10 10055%, x y 35,从而解得x, y,计算每一个变量对应的概率 ,从而 求得分布列和期望;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得 P P 该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟的概率. 21.考点

22、分析:本题考察条件概率、 离散型条件概率分布列的期望与 方差. 解析:()由已知条件和概率的加法公式有: P(X 300) 0.3, P(300 X 700) P(X 700) P(X 300) 0.70.3 0.4, P(700 X 900) P(X 900) P(X 700) 0.90.7 0.2. P(X 900) 1 P(X 900) 10.9 0.1. A A 4 4 G G F F 3 3 5 5 D D E E B B C C 图图 所以Y的分布列为: Y P 0 0.3 2 0.4 6 0.2 10 0.1 于是,E(Y) 00.3 20.460.2100.1 3; D(Y)

23、(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8. 故工期延误天数Y的均值为 3,方差为9.8. ()由概率的加法公式,P(X 300) 1 P(X 300) 0.7， 又P(300 X 900) P(X 900) P(X 300) 0.90.3 0.6. 由条件概率,得P(Y 6 X 300) P(X 900 X 300) P(300 X 900)0.66 . P(X 300)0.77 6 . 7 故在降水量X至少是300mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是 22.解析:()由0.00630.010.054 x10 1,解得x 0.018. ()分数在80,

24、90、90,100的人数分别是500.01810 9人、500.00610 3人. 所以的取值为 0、1、2. 11C 3 0C 9 2 366C 3C9 279C 3 2C 9 0 31 ,P 2,P 0 2 ,P1 2 2C 12 6611C 12 6622C 12 6622 所以的数学期望是E 0 691111 1 2. 112222222 23.【考点定位】本题主要考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、数 学期望等基础知识,考查数据处理能力、应用意识、考查必然与或然思想. 解:(1)设“品牌轿车甲首次出现故障在保修期内”为事件A,则P(A) (2)依题意X1,X 2 的

25、分布列分别如下: 231 . 5010 123 X 1 p X 2 p 1.8 1 10 2.9 9 10 1 25 3 50 9 10 (3)由(2)得 E(X 1) 1 13919 23 2.86E(X 2 ) 1.82.9 2.79 2550101010 E(X 1) E(X2 ),所以应生产甲品牌的轿车. 24.【命题意图】 本试题主要是考查了独立事件的概率的求解,以及分布列和期望值的问题. 首先要理解发球的具体情况,然后对于事件的情况分析、 讨论,并结合独立事件的概率求 解结论. 解:记 A i为事件“第i次发球,甲胜”,i=1,2,3,则 P(A 1) 0.6,P(A2 ) 0.6,P(A 3) 0.4. ()事件“开始第4次发球时,甲、乙的比分为比2”为 A 1 A 2 A 3 A 1A2 A 3 A 1 A 2 A 3, 由互斥事