高考数学习题函数导数不等式带

1、20XX 年高考解答题题型训练函数、导数、不等式 1.(20XX 年广东卷文)（本小题满分 14 分） 已知二次函数y g(x)的导函数的图像与直线y 2x平行,且y g(x)在x=1 处取得最小值 k 1 1 244m1k1 1m1k ，函数y f xkx有两个零点 x ； m 21kk 1 1 , 函数y f xkx有一 m 当k 1时，方程*有一解 44m1k 0,k 1 零点x g(x) m1(m 0).设函数f (x) x 1 k 1 2 （ 2009 浙 江 理 ） （ 本 题 满 分 14 分 ） 已 知 函 数 f (x) x (k k 1)x 5x2， 322 (1)若曲线y

2、 f (x)上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2,求 m 的值 (2)k(k R)如何取值时,函数y f (x) kx存在零点,并求出零点. 解（1）设gx ax2bxc，则 g x 2axb ； 又 g x的图像与直线y 2x 平行2a 2a 1 又gx在x 1取极小值， b 2 1 ，b 2 g1 abc 12c m1，c m； fx gx x x m x 2， 设Px o, y o 2 则PQ 2 x2y 2 2 00 2 x 0 x m 2 m2 0 x 2x 0 x2 2 2 2m22 00 2 2m22 4m 2 2 ； （2）由y f xkx 1kx m x 2 0

3、， 得 1kx2 2xm 0 * 当k 1时，方程*有一解x m 2 ，函数y f xkx有一零点x m 2 ； 当k 1时，方程*有二解 44m1k 0，若m 0，k 1 1 m ， 函数y f xkx有两个零点 x 244m1k1 1m1k ；若 21k k 1 m 0， g(x) k2x2kx1， 其中kR I）设函数p(x) f (x) g(x)若p(x)在区间(0,3)上不 单调 ，求k的取值范围； II）设函数q(x) g(x), x 0, f (x), x 0. 是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一 的非零实数x2（x2 x 1 ），使得q(x2) q(x 1) 成立？

4、若存在，求k的值；若不存 在，请说明理由 解（I） 因P(x) f (x) g(x) x3(k 1)x2(k 5)1， p x3x2 2(k 1)x(k 5)， 因p(x)在区间(0,3)上不单调， 所以 p x0 在0,3上有实数解， 且无重根， 由 p x0 得 k(2x1) (3x22x5), k (3x22x5) 2x1 3 4 2x1 9 2x1 10 3 ，令t 2x1,有t1,7，记 h(t) t 9 t ,则ht在1,3上单调递减，在3,7上单调递增，所以有ht6,10， 于是 2x1 9 2x1 6,10，得k5,2，而当k 2时有 p x0 在0,3上有两个相 等的实根x

5、1，故舍去，所以k5,2； II）当x 0时有 q x f x3x2 2(k2k 1)x5； 当x 0时有 q x g x 2k2xk ，因为当k 0时不合题意，因此k 0， 下面讨论k 0的情形，记A (k,)，B=5,（）当x 1 0时， q x在0,上单 调递增， 所以要使 q x 2 q x 1 成立， 只能x 2 0且A B， 因此有k 5， （） 当x 1 0 （ （ （ 时， q x在0,上单调递减，所以要使 q x 2 q x 1 成立，只能x 2 0且A B，因 此k 5，综合（）（）k 5； 当k 5时 A=B，则x 1 0,qx 1 B A，即x 2 0,使得 q x 2

6、 q x 1 成立，因为 q x在0,上单调递增，所以x 2 的值是唯一的； 同理，x 1 0，即存在唯一的非零实数x 2 (x 2 x 1) ，要使 q x 2 q x 1 成立，所以k 5 满足题意 3（2009 江苏卷）(本小题满分 16 分) 设a为实数，函数 f (x) 2x2(xa)| xa|. (1)若 f (0) 1，求a 的取值范围； (2)求 f (x) 的最小值； (3)设函数h(x) f(x),x(a,)，直接写出 (不需给出演算步骤)不等式h(x) 1的解集. 解本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运 用数形结合、分类讨论的思想方

7、法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16 分 （1）若 f (0) 1，则a|a|1 a 0 a 1 a21 （2）当x a时，f (x) 3x22ax a , f (a),a 0 2a2 2 ,a f (x) min a 0 ( 3 ),a 0 2a2 f 3 ,a 0 当x a时，f (x) f (a),a 0 2a2 x22axa2,f (x) ,a min f (a),a 0 0 2a2,a 0 2a2,a 综上f (x) min 0 2a2 3 ,a 0 （3）x(a,)时，h(x) 1得3x22axa21 0， 4a212(a21)128a2 当a 6 2 或a 6 2 时，

8、 0,x(a,)； 当 66 2 a 2 时，0,得： (x a32a2 )(x a32a2 ) 0 33 x a 讨论得：当a( 2 2 , 6 2 )时，解集为(a,); 当a( 6a32a2a32 2 , 2 2 )时，解集为(a, 3 a2 3 ,); 当a 22a32a2 2 , 2 时，解集为 3 ,). 4设函数f (x) xekx(k 0) （）求曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线方程； （）求函数f (x)的单调区间； （）若函数f (x)在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围. 解析本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查 综合

9、分析和解决问题的能力 （）f x1kxekx, f01, f0 0, 曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线方程为y x. （）由f x1kxekx 0，得x 1 k k 0， 若k 0，则当x , 1 k 时，f x0 ，函数f x单调递减， 当x 1 k , 时，f x0，函数fx单调递增， 若k 0，则当x , 1 k 时，f x0，函数fx单调递增， 当x 1 k , 时，f x0，函数fx单调递减， （）由（）知，若k 0，则当且仅当 1 k 1， 即k 1时，函数f x1,1内单调递增， 若k 0，则当且仅当 1 k 1， 即k 1时，函数f x1,1内单调递增， 综上可

10、知，函数f x1,1内单调递增时，k 的取值范围是1,0U 0,1. 5已知函数f (x) x32bx2cx2的图象在与x轴交点处的切线方程是y 5x10。 （I）求函数f (x)的解析式； （II）设函数g(x) f (x) 1 3 mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得 极值时对应的自变量x的值. 【解析】（I）由已知,切点为(2,0),故有f (2) 0,即4bc3 0 又f (x) 3x24bxc，由已知f (2) 128bc 5得8bc7 0 联立，解得b 1,c 1. 所以函数的解析式为f (x) x32x2 x24 分 （II）因为g(x) x32x2

11、 x2 1 3 mx 令g(x) 3x24x1 1 3 m 0 当函数有极值时，则 0，方程3x24x1 1 3 m 0有实数解， w.w.w.s.5.u.c.o.m 由 4(1m) 0，得m 1. 当m 1时，g(x) 0有实数x 2 3 ，在x 2 3 左右两侧均有g(x) 0，故函数g(x)无极值 当m 1时，g(x) 0有两个实数根x 11 1 3 (2 1m),x 2 3 (2 1m),g(x),g(x)情况如 下表： x (,x 1) x 1 (x 1,x2 )x 2 (x 2 ) g(x) +0-0+ g(x) 极大值极小值 所以在m(,1)时，函数g(x)有极值； 当x 1 3

12、 (2 1m)时，g(x)有极大值；当x 1 3 (2 1m)时，g(x)有极小值； 12 分 6已知函数f (x) x2 aln x在(1,2是增函数,g(x) x a x在(0,1)为减函数 （I）求f (x)、g(x)的表达式； （II）求证:当x 0时,方程f (x) g(x) 2有唯一解； (III）当b 1时,若f (x) 2bx 1 x2 在(0,1内恒成立,求b的取值范围 I）f (x) 2x a x 2x2 解：（ a x ，依题意f (x) 0在x(1,2上恒成立 即a 2x2在x(1,2上恒成立，2x2 2（x(1,2，a 2 又g(x) 1 a 2 x 2 x a 2

13、x 依题意g(x) 0在x(0,1)时恒成立, 即a 2 x,x(0,1)恒成立 2 x 2（x(0,1)），a 2 ，由、得a 2 f (x) x22ln x,g(x) x 2 x （II）由(1)可知,方程f (x) g(x) 2,即x22ln x x 2 x 2 0 设h(x) x2 2ln x x 2 x 2,则h(x) 2x 2 x 1 1 x 令h(x) 0,并由x 0,得( x 1)(2xx 2x x 2) 0解得 x 1 令h(x) 0,由x 0,解得0 x 1 列表分析: x 0,1 1 1, h(x)-0+ h(x) 递减 0 递增 知h(x)在x 1处有一个最小值 0，当

14、x 0且x 1时,h(x)0 h(x) 0在(0,+)上只有一个解 即当 x0 时,方程f (x) g(x) 2有唯一解 （III）设(x) x22ln x2bx 12 x2 则 (x) 2x x 2b 2 x3 0 (x)在(0,1上为减函数，(x) min (1)12b1 0 又b 1 所以1b 1为所求范围 7.（2009 全国卷理）本小题满分12 分。（注意：在试题卷上作答无效）注意：在试题卷上作答无效） 设函数f x x33bx23cx 在两个极值点x 1 、x 2 ，且x 1 1， 0,x 2 1,2. （I）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点b,c

15、的区域； (II)证明：10 f x 2 1 2 分析（I）这一问主要考查了二次函数根的 分布及线性规划作可行域的能力。 大 部 分 考 生 有 思 路 并 能 够 得 分 。 f x3x2 6bx3c 由 题 意 知 方 程 f x0有两个根x 1 、x 2 且x 1 1， 0, x 2 1,2.则有 f 10， f 0 0，f 1 0，f 20 故有 右图中阴影部分 即是满足这些条件 的点b,c的区域。 (II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要 利用消元的手段，消去目标f x 2 2 x 3 2 3bx 2 3cx 2 中的b，（如果消 c

16、会较繁琐）再利用x 2 的范围，并借助（I）中的约束条件得c2,0进而求解，有较强的技巧性。 解析由题意有 f x 2 3x 2 2 6bx 2 3c 0 又f x 2 2 x 3 2 3bx 2 3cx 2 消去b可得f x 1 3 3c 2 2 x 2 2 x 2 又Q x10 f (x 1 2 1,2，且c2,0 2 ) 2 8（2009 浙江文）（本题满分15 分）已知函数f (x) x3(1a)x2a(a2)xb(a,bR R) （I）若函数f (x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值； （II）若函数f (x)在区间(1,1)上不单调 ，求a的取值范围 解析（）由

17、题意得f (x) 3x2 2(1 a)x a(a 2) 又 f (0) b 0 f (0) a(a 2) 3 ，解得b 0，a 3或a 1 （）函数f (x)在区间(1,1)不单调，等价于 导函数f (x)在(1,1)既能取到大于 0 的实数，又能取到小于0 的实数 即函数f (x)在(1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有 f (1) f (1) 0， 即：3 2(1 a) a(a 2)3 2(1 a) a(a 2) 0 整理得：(a 5)(a 1)(a 1)2 0，解得5 a 1 9（2009 北京文）（本小题共 14 分） 设函数f (x) x33ax b(a 0). （）若曲线y f

18、 (x)在点(2, f (x)处与直线y 8相切，求a,b的值； （）求函数f (x)的单调区间与极值点. 解析本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分 析和解决问题的能力 （）f x3x23a, 曲线y f (x)在点(2, f (x)处与直线y 8相切， f2 0 a 4, f28 34a 0 86ab 8 b 24. （）f x3x2aa 0, 当a 0时，f x0，函数f (x)在,上单调递增， 此时函数f (x)没有极值点. 当a 0时，由f x 0 x a ， 当x, a 时， fx0，函数f (x)单调递增， 当x a, a 时， fx0，函数f

19、 (x)单调递减， 当x a,时，fx0，函数f (x)单调递增， 此时x a是f (x)的极大值点，x a是f (x)的极小值点. 10.(2009 山东卷文)（本小题满分 12 分） 已知函数f (x) 1 3 ax3bx2 x3,其中a 0 （1）当a,b满足什么条件时,f (x)取得极值? （2）已知a 0,且f (x)在区间(0,1上单调递增,试用a表示出b的取值范围. 解:(1)由已知得f (x) ax22bx 1,令f (x) 0,得ax22bx1 0, f (x)要取得极值,方程ax22bx1 0必须有解, 所以 4b24a 0,即b2 a,此时方程ax22bx1 0的根为 x

20、 2b4b24abb2a2b4b24abb2a 1 2a a ,x2 2a a , 所以f (x) a(x x 1)(x x2 ) 当a 0时, x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+) f(x)00 f (x)增函数极大值减函数极小值增函数 所以f (x)在 x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 当a 0时, x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+) f(x)00 f (x)减函数极小值增函数极大值减函数 所以f (x)在 x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 综上,当a,b满足b2 a时,f (x)取得极值. (2)要使f (x)在区间(0,1上单调递增,需使f

21、 (x) ax22bx1 0在(0,1上恒成立. 即b ax 2 1 2x , x(0,1恒成立, 所以b ( ax1 2 2x ) max a(x2 1 ) 设g(x) ax 2 1 2x ,g(x) a1 a 2 2x2 2x2 , 令g(x) 0得x 1 a 或x 1 a (舍去), 当a 1时,0 1 a 1,当x(0, 1 a )时g(x) 0,g(x) ax 2 1 2x 单调增函数; 当x( 1 a ,1时g(x) 0,g(x) ax1 2 2x 单调减函数, 所以当x 1 a 时,g(x)取得最大,最大值为g( 1 a ) a. 所以b a 当0 a 1时, 1 a 1,此时g

22、(x) 0在区间(0,1恒成立,所以g(x) ax1 2 2x 在区间(0,1上 单调递增,当x 1时g(x)最大,最大值为g(1) a1 2 ,所以b a1 2 综上,当a 1时, b a; 当0 a 1时,b a1 2 【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区 间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运 用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. 11.设函数f (x) 1 3 3 x (1a)x24ax24a，其中常数 a1 ()讨论 f(x)的单调性; ()若当 x0 时，f(x

23、)0 恒成立，求 a 的取值范围。 解析解析本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是 通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出 不等式条件从而求出的范围。不等式条件从而求出的范围。 解析（I）f (x) x2 2(1 a)x 4a (x 2)(x 2a) 由a 1知，当x 2时，f (x) 0，故f (x)在区间(,2)是增函数； 当2 x 2a时，f (x

24、) 0，故f (x)在区间(2,2a)是减函数； 当x 2a时，f (x) 0，故f (x)在区间(2a,)是增函数。 综上，当a 1时，f (x)在区间(,2)和(2a,)是增函数，在区间(2,2a)是减函数。 （II）由（I）知，当x 0时，f (x)在x 2a或x 0处取得最小值。 f (2a) 1 3 (2a)3(1 a)(2a)2 4a2a 24a 4 3 a3 4a2 24a f (0) 24a 由假设知 a 1 a 1, f (2a) 0,即 4 a(a 3)(a 6) 0, 解得1a6 f (0) 0, 3 24a 0. 故a的取值范围是（1，6） 12.（2009 广东卷理）

25、（本小题满分 14 分） 已知二次函数y g(x)的导函数的图像与直线y 2x平行，且y g(x)在x 1处取得极小值 m1(m 0)设f (x) g(x) x （1）若曲线y f (x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为 2，求m的值； （2）k(k R)如何取值时，函数y f (x)kx存在零点，并求出零点 解析（1）依题可设g(x) a(x 1)2 m 1(a 0)，则g(x) 2a(x 1) 2ax 2a； 又 g x的图像与直线y 2x 平行2a 2a 1 g(x) (x 1)2 m 1 x2 2x m，f x gx x x m x 2， 设Px 2x222 m o, y o

26、，则| PQ | 0 (y 0 2) x 0 (x 0 x )2 0 2x2 0 m2 x2 2m 2 2m2 2m 2 2 | m| 2m 0 当且仅当2x2 0 m2 2 x2 时，| PQ |取得最小值，即| PQ |取得最小值 2 0 当m 0时， (2 2 2)m 2 解得m 2 1 当m 0时， (2 2 2)m 2 解得m 2 1 （2）由y f xkx 1kx m x 2 0(x 0)，得1kx22xm 0 * 当k 1时，方程*有一解x mm 2 ，函数y f xkx有一零点x 2 ； 当k 1时，方程*有二解 44m1k 0， 若m 0，k 1 1 m ， 函数y f xk

27、x有两个零点x 244m(1k) 2(1k) ，即 x 1 1 m(1 k) k 1 ； 若m 0，k 1 1 m ， 函数y f xkx有两个零点x 244m(1k)1 1 m(1 k) 2(1k) ，即x k 1 ； 当k 1时，方程*有一解 44m1k 0,k 1 1 m , 函数y f xkx有一零点x 1 k 1 m 综上，当k 1时, 函数y f xkx有一零点x m 2 ； 当k 1 1 m (m 0)，或k 1 1 m （m 0）时， 函数y f xkx有两个零点x 1 1 m(1 k) k 1 ； 当k 1 1 m 时，函数y f xkx有一零点x 1 k 1 m. 13（2

28、009 江西卷文）（本小题满分12 分） 设函数f (x) x3 9 2 x26xa （1）对于任意实数x，f (x) m恒成立，求m的最大值； （2）若方程f (x) 0有且仅有一个实根，求a的取值范围 解析(1) f(x) 3x29x6 3(x1)(x2), 因为x(,),f (x) m, 即3x29x(6m) 0恒成立, 所以 8112(6m) 0, 得m 3 4 ，即m的最大值为 3 4 (2)因为 当x 1时, f(x) 0;当1 x 2时,f(x) 0;当x 2时,f(x) 0; 所以 当x 1时,f (x)取极大值f (1) 5 2 a; 当x 2时,f (x)取极小值f (2)

29、 2a; 故当f (2) 0或f (1) 0时, 方程f (x) 0仅有一个实根. 解得a 2或a 5 2 . 14（2009 江西卷理）（本小题满分12 分） ) ex 设函数f (x x (1)求函数f (x)的单调区间； (1)若k 0，求不等式f (x)k(1 x) f (x) 0的解集 解析(1)f (x) 1 x2 ex 1 x ex x1 x x2 e , 由f (x) 0,得x 1. 因为 当x 0时,f (x) 0； 当0 x 1时,f(x) 0； 当x 1时,f(x) 0； 所以f (x)的单调增区间是:1,)； 单调减区间是:(,0)， (0,1. (2)由 f(x)k(

30、1 x) f (x) x1kxkx2 x (x1)(kx1) x x2 e x2 e 0, 得：(x1)(kx1) 0. 故：当0 k 1时, 解集是：x1 x 1 k ； 当k 1时，解集是：； 当k 1时, 解集是：x 1 k x 1. 15（2009 天津卷文）（本小题满分12 分） 设函数f (x) 1 3 x3 x2 (m21)x,(xR,)其中m 0 （）当m 1时，曲线y f (x)在点（1，f（1 ）处的切线斜率 （）求函数的单调区间与极值； （）已知函数f (x)有三个互不相同的零点 0，x1,x2，且x1 x2。若对任意的若x11 x2,则f (1) (1 x1)(1 x2

31、) 0，而f (x1) 0，不合题意 若1 x1 x2,则对任意的xx1,x2有x x1 0,x x2 0, 1 3 xx 1 ,x 2 ，f (x) f (1)恒成立，求 m 的取值范围。 答案（1）1（2）f (x)在(,1 m)和(1 m,)内减函数，在(1 m,1 m)内增函数。函数 1 x(x x )(x x ) 0又f (x ) 0，所以函数f (x)在xx ,x 的最小值为 则f (x) f (x)在x 1 m处取得极大值f (1 m)，且f (1 m)= 2 3 m3 m2 1 3 函数f (x)在x 1m处取得极小值f (1 m)，且f (1 m)= 2 32 1 3 m m

32、 3 解析解析当m 1时，f (x) 1 32/2 3 x x , f (x) x 2x,故f (1) 1 所以曲线y f (x)在点（1，f（1 ）处的切线斜率为 1. 2）解析 f(x) x2 2x m21，令f(x) 0，得到x 1 m,x 1 m 因为m 0,所以1 m 1 m 当 x 变化时，f (x), f (x)的变化情况如下表： x (,1 m) 1 m (1 m,1 m) 1 m (1 m,) f(x) +0-0+ f (x) 极小值极大值 f (x)在(,1 m)和(1 m,)内减函数，在(1 m,1 m)内增函数。 函数f (x)在x 1 m处取得极大值f (1 m)，且

33、f (1 m)= 2 3 m3 m2 1 3 函数f (x)在x 1m处取得极小值f (1 m)，且f (1 m)= 2 32 1 3 m m 3 （3）解析由题设， f (x) x( 1 3 x2 x m21) 1 3 x(x x 1 )(x x 2 ) 所 以 方 程 1 3 x2 xm21 =0由 两 个 相 异 的 实 根 x 1 ,x 2 ， 故 x 1 x 2 3 ， 1 4 3 (m21) 0，解得m 11 2 (舍)，m 2 因为x xx 3 1 2 ,所以2x 2 x 1 x 2 3,故 2 2 1 3 12112 0，于是对任意的 xx) f (1)恒成立的充要条件是f (

34、1) m2 1 1 ,x 2 ，f (x 3 0,解得 3 3 m 3 3 综上，m 的取值范围是( 1 , 3 23 ) 【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不 等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。 16.（2009 四川卷文）（本小题满分12 分） 已知函数f (x) x32bx2cx2的图象在与x轴交点处的切线方程是y 5x10。 （I）求函数f (x)的解析式； （II）设函数g(x) f (x) 1 3 mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得 极值时对应的自变量x的值. 解析解析（I）由已知,切点为

35、(2,0),故有f (2) 0,即4bc3 0 又f (x) 3x24bxc，由已知f (2) 128bc 5得8bc7 0 联立，解得b 1,c 1. 所以函数的解析式为f (x) x32x2 x24 分 （II）因为g(x) x32x2 x2 1 3 mx 且令g(x) 3x24x1 1 3 m 0 当函数有极值时，则 0，方程3x24x1 1 3 m 0有实数解， 由 4(1m) 0，得m 1. （ 当m 1时，g(x) 0有实数x 2 3 ，在x 2 3 左右两侧均有g(x) 0，故函数g(x)无极值 当m 1时，g(x) 0有两个实数根 x 1 3 (2 1m),x 1 12 3 (

36、2 1m),g(x),g(x)情况如下表： x (,x 1) x 1 (x 1,x2 )x 2 (x 2 ) g(x) +0-0+ g(x) 极大值极小值 所以在m(,1)时，函数g(x)有极值； 当x 1 3 (2 1m)时，g(x)有极大值；当x 1 3 (2 1m)时，g(x)有极小值； 12 分 17.（2009 全国卷理）(本小题满分 12 分) 设函数f x x2aIn1 x有两个极值点x 1 、x 2 ，且x 1 x 2 （I）求a的取值范围，并讨论f x的单调性； （II）证明：f x In2 2 12 4 解: （I） f x 2x a 1 x 2x22xa 1 x (x 1

37、) 令g(x) 2x22xa， 其对称轴为x 1 2 。 由题意知x 1 、x 2 是方程g(x) 0的两个均大于1 的不相等的实根，其充要条件为 48a 0 ，得 g(1) a 0 0 a 1 2 当x(1,x 1) 时， f x 0, f (x)在(1,x 1) 内为增函数； 当x(x 1,x2 )时， f x0, f (x) 在(x 1,x2 )内为减函数； 当x(x2,)时， f x0, f (x)在(x 2, )内为增函数； （II）由（I）g(0) a 0, 1 x 2 0，a (2x2 2 2 +2x 2 ) fx 2 2 x 2 aln1 x 2 x 22 2 (2x 2 +2

38、x 2 )ln1 x 2 设hx x2(2x22x)ln1 x(x 1 2 )， 则 h x 2x2(2x1)ln1 x2x 2(2x1)ln1 x 当x( 1 ,0)时， h x 0,h(x)在 1 22 ,0)单调递增； 当x(0,)时， h x 0 ，h(x)在(0,)单调递减。 当x( 1112ln 2 ,0)时,hx h( 2 2 ) 4 故f x h(x 12In2 22 ) 4 。（2009 湖南卷文）（本小题满分13 分） 已知函数f (x) x3bx2cx的导函数的图象关于直线 x=2 对称. （）求 b 的值； （）若f (x)在x t处取得最小值，记此极小值为g(t)，求

39、g(t)的定义域和值域。 解: （）f (x) 3x22bxc.因为函数f (x)的图象关于直线 x=2 对称， 所以 2b 6 2，于是b 6. （）由（）知，f (x) x36x2cx，f (x) 3x212xc 3(x2)2c12. （）当 c 12 时，f (x) 0，此时f (x)无极值。 （ii）当 c12 时，f (x) 0有两个互异实根x1,x2.不妨设x1x2，则x12x2. 当 xx1时，f (x) 0，f (x)在区间(,x 1) 内为增函数； 当x1xx2时，f (x) 0，f (x)在区间(x 1,x2 )内为减函数; 当x x2时，f (x) 0，f (x)在区间(

40、x2,)内为增函数. 所以f (x)在x x 1 处取极大值，在x x2处取极小值. 因此，当且仅当c 12时，函数f (x)在x x2处存在唯一极小值，所以t x2 2. 18 于是g(t)的定义域为(2,).由 f (t) 3t212t c 0得c 3t212t. 于是g(t) f (t) t36t2ct 322t 6t ,t(2,). 当t 2时，g(t) 6t212t 6t(2 t) 0,所以函数g(t) 在区间(2,)内是减函数，故g(t)的值域为(,8). 19（2009 辽宁卷文）（本小题满分12 分） 设f (x) ex(ax2 x1)，且曲线 yf（x）在 x1 处的切线与

41、x 轴平行。 (2)求 a 的值，并讨论 f（x）的单调性； (1)证明：当0, 2 时， f(cos)f(sin) 2 解析（）f (x) ex(ax2 x12ax 1).有条件知， f (1) 0，故a32a 0 a 1. 2 分 f (x) ex(x2 x2) ex(x2)(x1). 故当x(,2)(1,)时，f (x)0； 当x(2,1)时，f (x)0. 从而f (x)在(,2)，(1,)单调减少，在(2,1)单调增加.6 分 （）由（）知f (x)在0,1单调增加，故f (x)在0,1的最大值为f (1) e， 最小值为f (0) 1. 从而对任意x1，x 2 0,1，有f (x

42、1) f (x2 ) e1 2. 10 分 而当0, 2 时，cos,sin0,1. 从而 f (cos) f (sin) 2 12 分 20（2009 辽宁卷理）（本小题满分12 分） 已知函数 f(x)= 1 2 x2ax+(a1)ln x，a 1。 （1）讨论函数f (x)的单调性； （2）证明：若a 5，则对任意 x 1) f (x2 ) 1 ，x 2 (0,)，x f (x 1 x 2 ，有 x x 1。 12 解析(1)f (x)的定义域为(0,)。 f(x) xa a1x2axa1(x1)(x1a) x x x 2 分 （i）若a11即a 2,则 f(x) (x1)2 x 故f

43、(x)在(0,)单调增加。 于是(ii)若a11,而a 1,故1 a 2,则当x(a1,1)时，f(x) 0; 当x(0,a1)及x(1,)时，f (x) 0 故f (x)在(a1,1)单调减少，在(0,a1),(1,)单调增加。 (iii)若a11,即a 2,同理可得f (x)在(1,a1)单调减少，在(0,1),(a1,)单调增加. (II)考虑函数g(x) f (x) x 1 2 x2ax(a1)ln x x 则g(x) x(a1) a1 x 2 xga1 x (a1)1( a11)2 由于 1a1,则| f (a)|12a212a.故当x1,4a时| f(x)|12a不恒成立. 所以使

44、| f (x)|12a(x1,4a)恒成立的 a 的取值范围是(1, 4 4 5 . 26.（2009 天津卷理）（本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 已知函数f (x) (x2ax2a23a)ex(xR),其中aR (1)当a 0时，求曲线y f (x)在点(1,f (1)处的切线的斜率； (2)当a 2 3 时，求函数f (x)的单调区间与极值。 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识， 考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12 分。 （I）解析 当a 0时，f (x) x2ex，f (x) (x2 2x)ex，故f (1) 3e. 所

45、以曲线y f (x)在点(1, f (1)处的切线的斜率为3e. （II）解：f (x) x2 (a 2)x 2a2 4aex. 令f (x) 0，解得x 2a，或x a 2.由a 2 3 知， 2a a 2. 以下分两种情况讨论。 （1）若a 2 3 ，则2aa 2.当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表： ， 2a 2a 2a，a 2 a 2 a 2， +00+ 极 极 大值小值 所以f (x)在(， 2a)， (a 2， )内是增函数，在(2a，a 2)内是减函数. 函数f (x)在x 2a处取得极大值f (2a)，且f (2a) 3ae2a. 函数f (x)在x a 2处取

46、得极小值f (a 2)，且f (a 2) (43a)ea2. （2）若a 2 3 ，则2aa2，当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表： ，a 2 a 2 a 2， 2a 2a 2a， +00+ 极 极 大值小值 所以f (x)在(，a 2)， (2a， )内是增函数，在(a 2， 2a)内是减函数。 函数f (x)在x a 2处取得极大值f (a 2)，且f (a 2) (43a)ea2. 函数f (x)在x 2a处取得极小值f (2a)，且f (2a) 3ae2a. 27.（2009 四川卷理）（本小题满分 12 分） 已知a 0,且a 1函数f (x) log x a (1a

47、 )。 （I）求函数f (x)的定义域，并判断f (x)的单调性； （II）当a e（e为自然对数的底数）时，设h(x) (1ef (x)(x2m1)，若函数h(x)的极值 存在，求实数m的取值范围以及函数h(x)的极值。 本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。 解析（）由题意知1ax 0 当0 a 1时，f (x)的定义域是（0， ）；当a 1时，f (x)的定义域是（， 0） f(x)= -axlnaax 1ax glog a e ax1 当0 a 1时，x(0,).因为ax1 0,ax 0,故f(x)0,因为 n 是正整数，故 0a1时，g

48、(x)0在R上恒成立， 故函数g(x)在R上为增函数 （2）当 44k 0,即当k=1时，(x) ex(x1)2 g (x2k)2 0(x 0) K=1 时，g（x）在 R 上为增函数 （3） 44k 0,即当0k1,证明对任意的 c,都有 M2: ()若 MK 对任意的 b、c 恒成立，试求 k 的最大值。 本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理 论证的能力和份额类讨论的思想（满分14 分） （I）解析 Q f (x) x22bx c，由f (x)在x 1处有极值 4 3 f (1) 12bc 0 可得 f (1) 1 3 bcbc 4 3 解得 b

49、1 1, 或 b 1 c c 3 若b 1,c 1，则f (x) x2 2x1 (x1)2 0，此时f (x)没有极值； 若b 1,c 3，则f (x) x22x3 (x1)(x1) 当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表： x (,3) 3 (3,1) 1 (1,) f (x) 0+0 f (x) 极小值 极大值 12 Z 4 3 当x 1时，f (x)有极大值 4 3 ，故b 1，c 3即为所求。 （）证法 1：g(x) | f (x)|(xb)2b2c| 当|b|1时，函数y f (x)的对称轴x b位于区间1.1之外。 f (x)在1,1上的最值在两端点处取得 故M应是g(

50、1)和g(1)中较大的一个 2M g(1) g(1)|12bc|12bc|4b| 4,即M 2 证法 2（反证法）：因为|b|1，所以函数y f (x)的对称轴x b位于区间1,1之外， f (x)在1,1上的最值在两端点处取得。 故M应是g(1)和g(1)中较大的一个 假设M 2，则 g(1)|12bc| 2 g(1)|12bc| 2 将上述两式相加得： 4 |12bc|12bc| 4|b| 4，导致矛盾，M 2 （）解法 1：g(x) | f (x)|(xb)2b2c| （1）当|b|1时，由（）可知M 2； （2）当|b|1时，函数y f (x）的对称轴x b位于区间1,1内， 此时M

51、maxg(1),g(1),g(b) 由f (1) f (1) 4b,有f (b) f (1) b(m1)2 0 若1 b 0,则f (1) f (1) f (b), g(1) maxg(1),g(b)， 于是M max| f (1),| f (b)| 111 2 (| f (1)| f (b)|) 2 | f (1) f (b)| 1 2 (b1)2 2 若0 b 1，则f (1) f (1) f (b),g(1) maxg(1),g(b) 于是M max| f (1)|,| f (b)| 1 (| f (1)| | f (b)|) 1 | f (1) f (b)| 1 (b1)2 1 222

52、 2 综上，对任意的b、c都有M 1 2 而当b 0,c 1 2 时，g(x) x2 11 2 在区间1,1上的最大值M 2 故M k对任意的b、c恒成立的k的最大值为 1 2 。 解法 2：g(x) | f (x)|(xb)2b2c| （1）当|b|1时，由（）可知M 2； （2）当|b|1时，函数y f (x)的对称轴x b位于区间1,1内， 此时M maxg(1),g(1),g(b) 4M g(1) g(1) 2g(h) |12bc|12bc| 2|b2c| |12bc(12bc)2(b2c)|2b2 2| 2，即M 1 2 下同解法 1 .（2009 安徽卷理）（本小题满分（本小题满分

53、 1212 分）分） 已知函数f (x) x 2 x a(2ln x),(a 0)，讨论f (x)的单调性. 本小题主要考查函数的定义域、 利用导数等知识研究函数的单调性， 考查分类讨论的思想方法和 运算求解的能力。本小题满分12 分。 解析f (x)的定义域是(0,+),f (x) 1 2ax2ax2 x2 x x2 . 设g(x) x2ax2,二次方程g(x) 0的判别式 a28. 当 a28 0，即0 a 2 2时，对一切x 0都有f (x) 0,此时f (x)在(0,)上是 增函数。 当 a28 0,即a 2 2时，仅对x 2有f (x) 0,对其余的x 0都有 f (x) 0,此时f

54、 (x)在(0,)上也是增函数。 当 a28 0，即a 2 2时， 0有两个不同的实根x aa28aa2 方程g(x) 8 1 2 ,x2 2 ,0 x 1 x 2 . x (0,x 1) x 1 (x 1,x2 )x 2 (x 2 ,) f (x) +0_0+ 单调递增 f (x) 极 单调递 极单调 Z 大减小递增 此时f (x)在(0, aa28aa28 aa2 2 )上单调递增, 在( 2 , 8 2 )是上单调递减, 在 ( aa28 2 ,)上单调递增. 25.（2009 安徽卷文）（本小题满分14 分） 已知函数，a0， （）讨论的单调性； （）设 a=3，求在区间1，上值域。期

55、中 e=2.71828是自然对数的底数。 【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就 根据第一问中所涉及到的单调性来求函数f (x)在 1,e2 上的值域。 解析(1)由于f (x) 1 2a x2 x 令t 1 得y 2t2 x at 1(t 0) 当 a28 0,即0 a 2 2时,f (x) 0恒成立. f (x)在(,0)及(0,)上都是增函数. 当 a28 0,即a 2 2时 由2t2at 1 0得t aa28aa28 4 或t 4 0 x aa28 4 或x 0或x aa28 4 又由2t2at 0得 aa28aa28aa28aa2 4

56、t 4 2 x 8 2 综上当0 a 2 2时,f (x)在(,0)及(0,)上都是增函数. 当a 2 2时,f (x)在( aa28 2 , aa28 2 )上是减函数, 在(,0)(0, aa28 2 )及( aa28 2 ,)上都是增函数. (2)当a 3时,由(1)知f (x)在1,2上是减函数. 在 2,e2 上是增函数. 又f (1) 0, f (2) 23ln2 0f (e2) e2 2 e2 5 0 函数f (x)在 1,e2 上的值域为 23ln2,e2 2 e2 5 16.(2009 湖北卷理)(本小题满分 14 分) （注意：在试题卷上作答无效（注意：在试题卷上作答无效 ） 在 R 上定义运算: pq 1 2 3 pcqb 4bc（b、c 为实常数）。记f 1 2c， f 2 2b， R.令f f 1 f 2 . 如果函数 f在1处有极什 4 3 ,试确定 b、c 的值； 求曲线y f上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点； 记gx fx|1 x 1的最大值为M .若M k对任意的 b、c 恒成立，试示k的 最大值。 解 当b 1时，函数y f (x)得对称轴 x=b 位于区间1,1之外 此时M maxg(1),g(1),g(b) 由f (1) f (1) 4b,有f (b) f (1) (bm 1)2 0 若1 b 0,则f(1) f(-1)