第五章二型习题解答p232~236.doc

1、第五章 二次型习题解答p.2322361.()用非退化线性替换化下列二次型为标准形,并利用矩阵验算所得结果.(1) 解: 先作线性替换,再令,得相应的替换矩阵为,则.(2) f(x1,x2,x3)=x12+2x1x2+2x22+4x2x3+4x23.解： f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+x22+4x2x3+4x23 =(x1+x2)2+(x2+2x3)2+0令 即 则f(x1,x2,x3)=y12+y22. 用矩阵验算(3) f(x1,x2,x3)=x12-3x22-2x1x2+2x1x3-6x2x3解： f(x1,x2,x3)=(x1-x2+x3)2-(x2-x3)2-3x22-6

2、x2x3 =(x1-x2+x3)2-4x22-4x2x3- x32 =(x1-x2+x3)2-(2x2+x3)2.令 即则f(x1,x2,x3)=y12-y22验算有：(4) f(x1,x2,x3,x4)=8x1x4+2x3x4+2x2x3+8x2x4.解: 令 f(x1,x2,x3,x4)=8(y21-y24)+2y3(y1-y4)+2y2y3+8y2(y1-y2)=8y21-8y24+8y1y2+2y1y3+2y2y3-8y2y4-2y3y4令 即则矩阵验算略(5) f(x1,x2,x3,x4)=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4解： 则.(6) f(x1,x2,x

3、3,x4)=.解: 由配方法可得且非退化的线性替换为 故替换矩阵为 且有 (7) 解： 则即令X=则.() 把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。解:(1) 已求得二次型的标准形为且非退化线性替换为.(a)在实数域上，若作非退化线性替换 ,则可得规范形为 (b) 在复数域上，若作非退化线性替换,则可得规范形为 (2) 已求得二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x1x2+2x22+4x2x3+4x23的标准形为这也是该二次型在实数域上的规范形和复数域上的规范形(3) 已求得二次型f(x1,x2,x3)=x12-3x22-2x1x2+2x1x3-6

4、x2x3的标准形为这已经是它在实数域上的规范形.再令,得该二次型在复数域上的规范形为(4) 已求得二次型f(x1,x2,x3,x4)=8x1x4+2x3x4+2x2x3+8x2x4的标准形为.(a) 在实数域上,再令非退化的线性替换为 ,可得二次型的规范形为(b) 在复数域上，若作非退化线性替换,可得二次型的规范形为(5) 已求得二次型f(x1,x2,x3,x4)=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4的标准形为.(a) 在实数域上,再令非退化的线性替换为,可得二次型的规范形为(b) 在复数域上，若作非退化线性替换,可得二次型的规范形为(6) 已求得二次型f(x1,x2,x

5、3,x4)=的标准形为(a) 在实数域上,再令非退化的线性替换为,可得二次型的规范形为(b) 在复数域上，若作非退化线性替换,可得二次型的规范形为(7) 已求得二次型的标准形为.(a) 在实数域上,再令非退化的线性替换为,可得二次型的规范形为(b) 在复数域上，若作非退化线性替换,可得二次型的规范形为2. 证明秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩为1的对称矩阵之和.证明: 设R(A)=r，则存在可逆矩阵C,使得那么，d1E11,d2E22,drErr的秩都等于1，且为对称的, 得其中Bi是对称矩阵, 且RR，A为r个秩为1的对称阵之和.3. 证明与合同,其中i1,i2,in是1,2,n的一个排列.

6、证法1: 对于,有 ,.又为的一个排列，所考虑标准单位向量,作,则C的n列线性无关，C可逆，且,故A与B合同.证法2: 与矩阵A,B相对应的二次型为.作非退化的线性替换yk=xik,则fB变为fA,所以A与B合同. 4. 设A是一个n级矩阵, 证明:(1) A是反对称矩阵当且仅当对任何n维向量X, XTAX=0.(2) 如果A是对称矩阵, 且对任一个n维向量X有 XTAX=0, 则A=0.证明: (1) 必要性. 设A是反对称矩阵,则AT= -A, 对任一个n维向量X有 XTAX=( XTAX) T= - XTAX, 所以XTAX=0.充分性. 因为.取X=ei, i=1,2,.,n, 则将代

7、入上式有 得 eiTA ei=aii=0.再取X=(es +et), 则.(es +et) TA(e s +et) T=ast+ats=0，得ast=-ats. 所以AT=-A.(2) 取X=ei, i=1,2,.,n, 得 eiTA ei=aii=0.再取X=(e i +ej), (e i +ej) TA(e i +ej) T=aij+aji=2 aij =0，得aij =0, A=0.5. 如果把实n级对称矩阵按合同分类, 即两个实对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同, 问共有几类?答: 由于两个实对称矩阵A,B合同当且仅当它们有相同的秩和正正惯性指数, 所以有如下分法: 设A,B的秩分别为

8、rA,rB, 正惯性指数分别为PA,PB.A与B合同rA,=rB且PA=PB. 类共有.6. 证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2 且符号差等于0，或者秩等于1.证明: 若一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多次多项式乘积, ,令再.充分性 (a) 若由于X=CY, 所以Y=C-1X, , 得 .(b)若f的秩为2，符号差为0，则存在可逆矩阵C, 使得当作线性替换X=CY后, f=y12-y22. 由于Y =C-1 X , 可设 ,则f=, 其中.7. 判断下列二次型是否正定：判定解 k=1,2,n. 故A正定，二次型.(4) .判别证:

9、由三对角形行列式, 2A的k阶顺序主子式: 所以A的k阶顺序主子式. 8. t去什么值时,下列二次型是正定的:(2)解：0即对任何 都有主子式大于.9. 证明: 如果A是正定矩阵, 那么A的主子式都大于零, 所谓主子式就是行指标和列指标相同的子式.证明: 必要性. 设B是A的任一个k级主子式, 设= 所以B为k级正定矩阵,从而|B|0. 充分性: 显然,因为主子式正定, 则顺序主子式正定. 10. 设A是实对称矩阵，证明：当实数t充分大之后，tE + A是正定矩阵., , 其k级顺序主子式为.当t充分大时, 这是一个严格对角占优行列式, 从而必有Pk(t)0. 所以tE + A是正定的.11.

10、 如果A是正定矩阵, 证明A -1也是正定矩阵.证: 由于AT(A-1)A=AT=A, 所以A -1也是正定矩阵. 12.设A为一个n级实对称矩阵，且|A| 0，证明必存在n维向量X0使得X TAX 0.证明: 作二次型f(X)=XTAX, 因为A是实对称矩阵, 这是一个实二次型, 所以存在实可逆矩阵C使得经非退化线性替换X=CY后,把f(X)化为规范形, 考虑到|A|0,所以规范形必有系数为-1的项, 即, 且pn. 取Y0=(1,0,0,1)T, X0=CY0, 则f(X0)=f(CY0)=1-1=0.13. 设A, B都是正定矩阵, 证明A+B也是正定矩阵.证: 设则由A, B正定,有正

11、定,即要作,也有任,所以f正定, 即(A+B)正定14. 证明:二次型是半正定的充要条件是它的秩等于其正惯性指数.证: 设二次型f(X)的秩为r, 正惯性指数是p, 并假设非线性替换X=CY,使 “充分性 若P=r, 则负系数平方项不出现. 任取 “必要性,若p0, k=1,2,n-1, Pn=0. 16. 设是一个实二次型, 若有实n维向量X1, X2使,证明存在实n维向量X0,使证明: 证法1.由条件可知, f是一个不定二次型, 所以存在非退化线性替换X=CY使得,且0pp, 所以上述线性方程组方程的个数小于未知量的个数, 从而有非零解，设为(y10,y20,yn0)(该向量的后n-p个分

12、量为零), 将其代入(1)式, 得f(y10,y20,yn0)0. 再将其代入得f(y10,y20,yn0) 0, 矛盾. 所以. 同理. (即: ,另一方面).4. 设是一个对称矩阵, |A11|0, 证明存在使得其中, *表是一个与A22同型的矩阵.证明: 分块矩阵也可以作初等变换, 由于|A11|0, 所以令, 则取为所求.5. 设A是一个反对称矩阵,证明A合同与矩阵: .证明: 用第二类数学归纳法证明之.当n=1, 显然A=0, 结论成立.当n=2, 若A=0,显然若.假设对于阶数nk时结论成立, 那么对于n=k+1的情形:.如果最后一行元素全为零, 则由归纳假设结论成立. 若最后一行

13、元素不全为零, 可设akk+10,否则可以经过合同变换变为akk+10. 对A作合同初等变换, 可以使得A变为.由于A1仍为反对称故归纳假设对A1: .再把如上矩阵的最后两行和两列交换到前面去即得所证.6. 设A是n阶实对称矩阵, 证明存在一正实数c使对任一个n维实向量X都有 证明: 由本章习题第10题, 一定存在c10, c20, 使得c1E+A和c2E-A均为正定矩阵. 取c=maxc2,c2, 则cE-A和cE+A均正定. 对于任意X00, XT0(cE+A)X00, XT0(cE-A)X00,7. 主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵. (1) 设A是一个对称矩阵, T为特殊

14、上三角矩阵, 而B=TTAT, 证明A与B的顺序主子式有相同的值.(2) 证明: 如果对称矩阵A的顺序主子式全不为零, 那么一定有一特殊的上三角矩阵T使TTAT成对角形.(3) 利用以上结果证明定理7的充分性.证明: (1) 设, 将 T分块, T1是特殊的上三角矩阵. 则B的k阶顺序主子式的矩阵为的左上角k阶方阵, 即为. (2) 用归纳证明, 当n=1, 显然结论成立. 假设对n-1阶矩阵结论成立. 考虑n的情形: 把A分块为,由于A1是满足条件的n-1阶矩阵, 所以由归纳假设, 存在n-1阶的特殊上三角矩阵T1使得为对角形. 令, 则G仍为特殊的上三角矩阵, 并使得 又 所以D1可逆.

15、再令, 则H仍为特殊的上三角矩阵, 且 由于A可逆, 所以B可逆, 于是上式最右端的行列式位于右下角的元素不为零. 故取C=GH, 则C仍为特殊上三角, 且为对角形矩阵. 则 所以D正定, 于是A正定.8. 证明(1) 如果是正定二次型, 则是负定二次型.(2) 如果A是正定矩阵, 那么|A|annPn-1, 这里Pn-1是A的n-1阶顺序主子式.(3) 如果A是正定矩阵, 那么|A|a11a22ann.(4) 如果T=(tij)是一个实可逆矩阵, 那么证明: (1) 因为原二次型正定, 所以其矩阵可逆, 即A-1存在且仍为正定矩阵, 所以. 由于|A| 0, A-1正定, 所以-|A|A-1负定.(2) 把矩阵A分块为: , 令, 则|A2|=annPn-1, 由(1)的结论, |A1|0, 得A|annPn-1.(3) 依次应用由第(2)题的结论, 得(4) 令A=TTT, 因为T实可逆,所以A是一个正定矩阵, 由(3)的结论, |A|a11a22ann. , 所以|A|=9. 证明实对称矩阵A半正定的充要条件是A的一切主子式均大于或等于零.证明: 必要性. 设