抽样调查-第9章二重抽样

1、9.1 引言,一、二重抽样的定义,二重抽样（double sampling),也称二相抽样，是指分两步抽取样本。先从总体N中抽样一个较大的样本 ，称为第一重样本，对其进行调查以获取总体的某些信息，为下一步的抽样估计提供条件；然后在第一重样本中再进行第二次抽样。这种抽样方法称为二重抽样。,二、二重抽样与两阶段抽样的区别,1.两阶段抽样是先从总体N个单元中抽出n个样本 单元，却并不对n个样本都进行调查，而是从中再抽出 若干个二级单元进行调查。,2。两阶段抽样的第二阶段抽样单元与第一阶段抽样 单元往往是不同的。而二重抽样的第二重样本往往是 第一重样本的子样本。,三、二重抽样的作用,（一）有利于筛选主

2、调查对象 （二）节约调查费用 （三）提高抽样效率 （四）可用于研究样本轮换中的某些问题 （五）降低无回答偏倚,9.2 为分层的二重抽样,分层抽样是一种应用广泛的抽样方程，但进行分层抽 样有一个前提，即需要将总体N个单元划分为L个互不重 叠的层，而且需要知道各层的权重。如果事先无法知道 总体的层权，可以采用二重抽样方法。,一、符号说明,用下标h表示层数，,总体第h层的单元数:,总体单元数：,第一重样本第h层的单元数:,第一重样本单元数：,第二重样本第h层的单元数：,第二重样本单元数：,总体单元第h层的权重：,第一重样本第h层的权重：,第二重样本第h层的抽样比：,第二重样本第h层j单元的观测值：,

3、第二重样本第h层样本单元的平均数：,总体方差：,第h层的总体方差：,第一重样本第h层方差：,第二重样本第h层方差：,二、抽样方法,第一步： 利用简单随机抽样，从总体的N个单元中随机 抽取第一重样本，样本单元数为 ；根据已知的分层标 志将第一重样本分层，令 ，则 是总体层权 的无偏估计。,第二步：利用分层随机抽样，从第一重样本中抽取出 第二重样本，样本单元数为n ，第h层样本单元数为,三、估计量及其性质,（一）均值估计量,采用二重分层抽样，对总体均值 的估计量为：,（二）均值估计量 的性质,性质1 估计量 是 的无偏估计。即,因为,所以有,性质2 的方差为：,式中， 为总体方差； 为第h层的总体

4、方差； 为第二重样本第h层的抽样比。,性质3 的样本估计量为：,式中， 为 的近似无偏估计； 为第二重样 本第h层方差。,【例9.1】某银行要调查其客户的资产情况，已知该银 行的客户数为8000，针对客户规模差异较大的特点，拟 采用分层抽样。但由于缺乏现有的分层资料，决定采用 二重分层抽样方法。第一重样本量 =1000，根据其自 报的资产情况可分为4层：第一层为300万元以下；第二 层为300万元1000万元；第三层为1000万元件2000万 元；第四层为2000万元以上。然后在第一重样本分层的 基础上，在各层分别抽取第二重样本。第二重样本量为,，对这200个客户进行详细的调查，取,得有关数据

5、如下表，试估计该银行所有客户的资产总额 及其抽样标准误差。,解 根据上表可计算各层的权重：,该银行客户的平均资产额估计为：,（百万元）,该银行共有8000个客户，故全部客户资产总额为：,（百万元）,的方差估计为：,因此，,该银行客户资产总额的抽样标准误的估计：,（百万元）,四、二重分层抽样样本量的最优分配,二重分层抽样中有两次抽样，这两次抽样的样本量 即 和 ，直接影响估计的精度。第一重抽样 越大， 对分层信息的了解和估计就越精确，从而可以减少估计 量的误差；同样，第二重抽样 越大，估计量的方差越 小。调查的经费是有限的，因此，需要在给定费用的条 件下，选择 和 ，使得估计量的方差 最小。,假

6、设第一重抽样的单元平均调查费用为 ，第二重 抽样第 h 层的单元平均费用为 。忽略其他费用，则 费用函数可以表示为：,由于 是随机变量，所以选择 和 的期望费用 为：,而总体均值估计量的方差为：,要在一定的费用约束下使估计方差最小化，则有,由,在实际应用中，要确定最优的 和 ，需要对 总体事先有一定的了解，例如对 有一些 粗略的估计。,9.3 为比率估计的二重抽样,一、二重抽样比率估计的抽样方法,第一步 从总体的N个单元中随机抽取第一重样本，样 本单元数为 ；对于第一重样本，仅观测辅助变量信息， 用辅助变量的样本均值 估计总体均值 。,第二步 从第一重样本中随机抽取出第二重样本，样 本单元数为

7、 ；对于第二重样本，观测目标变量与辅助 变量，并用获得的 和 ，计算 ，构造比率估计。,二、二重抽样的比率估计及其性质,二重抽样对总体均值 的比率估计：,式中， 分别为第二重样本目标变量与辅助变量 的样本平均数； 为第一重样本辅助变量的平均数。,性质4 与简单随机抽样下的比例估计一样， 是个有 偏估计，其偏倚随着样本量的增加而缩小。当第二重 样本的样本量 足够大时， 是近似无偏的。即,因此， 是 的近似无偏估计。,性质5 二重抽样比率估计的方差为：,通常 可忽略，因此,式中， 分别为Y和X的总体方差和总体 协方差，,性质6 二重抽样比率估计方差的样本估计：,【例9.2】 某住宅小区共有200个

8、住户，现估计小区住户家庭月平均收入的平均水平。家庭收入的数据不易调查，而家庭支出的资料相对容易获取，而且家庭月平均收入与家庭月平均支出之间强相关，因此拟采用二重抽样比率估计方法。先从住户中随机抽取100个住户作为第一重样本，调查家庭月平均支出，结果家庭月平均支出的样本均值为1500元，然后从这100个住户中随机抽选 10户作为第二重样本，调查家庭月平均收入和家庭月平均支出，资料见下表。试估计该小区家庭月平均收入，并计算估计量标准差。,某小区住户家庭收支的样本数据,解： 由题知 ，从上表计算得,该小区住户的平均家庭月收入估计为：,的方差估计为：,的标准差的估计为：,三、二重抽样比率估计时样本量的

9、最优分配,问题：在给定的费用条件下，选择第一重样本量 和第二重样本量 ，（其中 为抽样比），使得估计 量的方差 最小。,费用函数：,其中， 为第一重抽样的单元平均调查费用； 为第二重抽样的单元平均调查费用。,求最优值：,因总体均值估计量的方差为,由 及 得,9.4 为回归估计的二重抽样,一、二重抽样回归估计的抽样方法,第一步： 从总体的N个单元中随机抽取第一重样本，样 本单元数为 ；对于第一重样本，仅观测辅助变量信息 ，用辅助变量的样本均值 估计其总体 均值,第二步： 从第一重样本中随机抽取出第二重样本，样本 单元数为 ；对于第二重样本，观测目标变量 与辅助 变量 ，并计算 和回归系数 ，构造

10、回归估计。,二、二重抽样的回归估计及其性质,（一）二重抽样的回归估计,二重抽样对总体均值 的回归估计：,式中 和 分别为第一重样本和第二重样本中辅助 变量的平均值； 为根据第二重样本计算的目标变量的 样本平均数， 为根据第二重样本计算的 对 的回归 系数。,（二）二重抽样回归估计的性质,性质7 是个有偏估计，其偏倚随着样本量的增大 而縮小。当第二重样本的样本量 n 足够大时，,是近似无偏的。即,证明：,性质8 二重抽样回归估计的方差为：,式中，,因此,性质9 二重抽样回归估计方差的样本估计：,式中是用第二重样本的方差 估计 ，用相关 系数 估计 。,【例9.3】以例9。2的数据，用二重抽样进行回归估 计。试估计该小区家庭月平均收入，并计算估计量的 标准差。,解：由题知 由表可计算出,该小区家庭月平均收入估计为：,的方差估计为：,的标准差的估计：,在实际应用中，二重抽样容量n较大条件下，才能 有效消除用样本回归系数进行回归估计可能产生的 偏倚。,三、二重抽样回归估计时样本量的最优分配,在给定的费用条件下，选择第一重样本量 和第二 重样本量 ， 其中 为抽样比，使得估计量的方差 最小。,假设第一重抽样的单元平均调查费用为 ，第二 重抽样的单元平均调查费用为,费用函数为：,总体均值估计量的方差为：,要在一定的费用约束下令估计方差最小化