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文档简介

1、第八章,二、全微分的计算,第三节,一、全微分的定义,全微分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、全微分的定义,回忆一元函数 y = f (x) 的微分,，且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在点( x , y )处,可以写成,其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，,称为函数,在点 (x, y) 的全微分, 记作,则称函,f ( x, y ) 在点( x, y)处 可微，,的全增量,数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数在D 内可微.,则称,若函数在域 D 内每一点处都可微，,可微,设函数可微，,得,

2、连续,即,2. 可微与连续的关系,由微分定义 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1(必要条件),若函数 z = f (x, y) 在点(x, y),可微,必存在,且有,3. 可微与可偏导的关系:,，即,习惯上把自变量的增量写成微分,得全微分计算公式,则函数在该点的偏导数,可微,偏导数存在,定理表明：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1: 设,易知,但,因此,函数在点 (0,0) 不可微 .,证明：函数在点(0, 0)处可偏导，但不可微。,证：,（可偏导），,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2 (充分条件),则函数在该点可微。,4. 函数可微的充分条件:,说明:,函数在其

3、定义区域内是连续的 ,故初等函数在定义域内,可微。,因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,而初等,可微,偏导数连续,定理表明：,在已知可微的前提下，按计算公式计算全微分。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推广:,类似可讨论三元及三元以上函数的,例如, 三元函数,且有叠加原理,的全微分为,可微性问题.,称,为函数关于 x 的偏微分；,的偏微分；,为函数关于 y,为函数关于 z 的偏微分。,函数的全微分等于函数关于各个自变量的偏微分之和.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算函数,在点 (2,1) 处的全微分.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求函数,的全微分.,解:,例4. 计算函数,的全微分.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 计算函数,的全微分.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 微分定义:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 重要关系:,极限存在,函数可微,偏导数连续,函数连续,偏

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